Un altre exercici sobre successions i càlcul de límits

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$
      $h_n=\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{(n+1)}\right| \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

El primer terme de la successió és igual a

$h_1=1-\left|\sqrt{2}\right|$

Fent una taula de valors, es comprova que és una s. monòtona decreixent. Calculem, a continuació, el límit per a $n \rightarrow \infty$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)$

passant al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty - \infty$ que resoldrem multiplicant i dividint per l'expressió conjugada $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)=\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)\cdot \big(\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|\big) }{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}$
que és igual a
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\big(\left|\sqrt{n}\right|-\left|\sqrt{n+1}\right|\big)\cdot \big(\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|\big) }{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}$

i, multiplicant els binomis del numerador, ens queda igual a

$-\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{\left|\sqrt{n}\right|+\left|\sqrt{n+1}\right|}=0$

la successió és, doncs, monòtona creixent, és fitada, i convergeix a $0$

$1-\left|\sqrt{2}\right| \le h_n < 0$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $\displaystyle i_n=\dfrac{\frac{5}{n^3}}{\frac{4}{n^2}} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

Simplificant l'expressió del terme general veiem que

$i_n=\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1}{n}$

Trobem que

$i_1=\dfrac{5}{4}$

i, fàcilment, comprovem que

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{1}{n} = 0$

Per tant, la successió és monòtona decreixent, és fitada, i convergeix a $0$

$\dfrac{5}{4} \le i_n < 0$ $\square$

Un exercici de sumes infinites

Enunciat:

Calculeu el límit:
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \big(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\ldots\big)$

Solució:

En l'argument del límit trobem la suma dels $n$ termes successius d'una s. geomètrica de raó igual a $\dfrac{1}{2}$

El valor d'aquesta suma és igual a

$\displaystyle s_n=1 \cdot \dfrac{\big(\dfrac{1}{2}\big)^n-1}{\dfrac{1}{2}-1}=2\,\Big(1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\Big)$

Llavors
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\, \big(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\ldots\big) = \lim_{n \rightarrow \infty}\, s_n = \lim_{n \rightarrow \infty}\, 2\,\Big(1-\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\Big) = 2$ atès que

$\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^n\overset{n\gg 1}{\longrightarrow } 0 $

$\square$

A partir de quin terme la sucessió ...

Enunciat:
A partir de quin terme la successió de terme general

$a_n=\dfrac{1}{n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$
es troba pròxima a zero amb un error menor que $10^{-4}$ ?

Resolució:
D'acord amb la informació de l'enunciat (magnitud de l'error) podem escriure la següent desigualtat
$\left|\dfrac{1}{n}-0\right|<10^{-4}$ d'aquí, aïllant $n$, trobem $n > 10^{4}$

$\square$

Un exercici de successions numèriques

Enunciat:
Quins termes de la successió
$b_n=\dfrac{2n}{n+1} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$
s'apropen a $2$ amb un error menor que $10^{-4}$ ?

Resolució:
D'acord amb la informació de l'enunciat (magnitud de l'error) podem escriure la següent desigualtat
$\left|\dfrac{2n}{n+1}-2\right|<10^{-4}$ d'aquí, aïllant $n$, resolent la desigualtat $\left|\dfrac{2n-2n-2}{n+1}\right|<10^{-4}$ $\left|-\dfrac{2}{n+1}\right|<10^{-4}$ $2 \cdot 10^{4}-1 < n$ i, d'aquí, $n > 19\,999$
$\square$

Un exercici de càlcul de límits de successions

Enunciat:
Calculeu el límit:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n\big)$


Resolució:
Si passem al límit, ens trobem amb una indeterminació del tipus $\infty-\infty$, que podem resoldre multiplicant i dividint per l'expressió conjugada de l'argument del límit
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n\big)$
és igual a
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{\Big( \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|-n \big) \cdot \big( \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n \big)\Big)}{ \left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n} $
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{-3n+2}{\left|\sqrt{n^2-3n+2}\right|+n } $
Observem que, ara, en tornar a passar al límit, obtenim una indeterminació del tipus
$\dfrac{\infty}{\infty}$
la qual resoldrem dividint numerador i denominador per $n$ (la potència de $n$ d'exponent més gran que trobem a l'expressió)
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{-3+\dfrac{2}{n}}{\left|\sqrt{1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{2}{n^2}}\right|+1}=-\dfrac{3}{2} $
$\square$

Disponemos de tres tarjetas (...)

ENUNCIADO. Disponemos de tres tarjetas, cuyas caras (anverso y reverso) pueden ser de color blanco o negro. Una de las tarjetas es blanca por las dos caras; otra es negra por las dos caras, y la restante tiene una cara blanca y otra cara negra. Se elige al azar una de las tres tarjetas y se pone encima de la mesa, sin conocer el color de la cara que queda oculta. ¿ Cuál es la probabilidad de que dicha tarjeta tenga sus dos caras del mismo color ? ¿ Y de que tenga sus dos caras de colores distintos ?

SOLUCIÓN.
Vamos a construir el espacio muestral de manera que todos sus elementos sean equiprobables; de esta forma, podremos aplicar la regla de Laplace para calcular las probabilidades pedidas.

Al realizar la elección al azar, elegimos la tarjeta y también el anverso o el reverso de la misma. Podemos imaginar las tarjetas numeradas, del $1$ al $3$: el número $1$ para la tarjeta con las dos caras blancas; el número $2$, para la tarjeta con las dos caras negras, y el número $3$ para la tarjeta con las dos caras de distinto color. Para anotar el color del anverso ( que consideraremos que es la cara que mira hacia arriba cuando ponemos la tarjeta elegida sobre la mesa ) convendremos escribirlo en mayúscula, con la letra que designa el color ( B para blanco y N para negro ), a la izquierda; y el de la otra cara, en minúscula, a la derecha. Así por ejemplo, $Bb|_1$ y $bB|_1$ son los elementos del espacio muestral que corresponden, uno y otro, a haber elegido la carta con las dos caras blancas ( que etiquetamos con un $1$ ).

Así, el espacio muestral viene dado por $$\Omega=\{Bb|_1,bB|_1,Nn|_2,nN|_2,Nb|_3,Bn|_3\}$$ Denotemos por $M$ al suceso ( compuesto ) "obtener una tarjeta con las dos caras del mismo color", y por $D$ al suceso (compuesto ) "obtener una tarjeta con las dos caras de distinto color".

Es evidente que $M=\{Bb|_1,bB|_1,Nn|_2,nN|_2\}$, siendo por tanto $\text{cardinal}(M)=4$. Por otra parte $D=\{Nb|_3,Bn|_3\}$, con $\text{cardinal}(D)=2$. Y, desde luego, $\text{cardinal}(\Omega)=6$

Entonces, por la regla de Laplace obtenemos:
$P(M)=\dfrac{\text{cardinal}(M)}{\text{cardinal}(\Omega)}$
    $=\dfrac{4}{6}$
      $=\dfrac{2}{3}$
y
$P(D)=\dfrac{\text{cardinal}(D)}{\text{cardinal}(\Omega)}$
    $=\dfrac{2}{6}$
      $=\dfrac{1}{3}$

NOTA. Al observar la tarjeta elegida con el color blanco ( o bien el negro ) boca arriba, y de tener que apostar a que ésta tuviese las dos caras del mismo color o bien a que ésta tuviese las dos caras de distinto color, es claro que deberíamos hacerlo por la primera opción, pues su probabilidad es el doble que la de la segunda opción.
$\square$

Demostració del valor d'un límit d'una successió, segons la definició de límit

Enunciat:
Demostreu que:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, \dfrac{2\,n+1}{n}=2 \quad \quad (\;n \in \mathbb{N}-\{0\}\;)$


Resolució:
Per demostrar el valor del límit no n'hi ha prou a fer ús de les regles de càlcul; cal fer ús de la definició de límit d'una successió.
És a dir, cal demostrar que, per a tot nombre real $\epsilon > 0$, és possible trobar un nombre enter positiu $m$ tal que per a tot $n > m$ es compleix la següent condició:
$\left|\dfrac{2n+1}{n}-2\right| < \epsilon \quad \quad \quad (1)$ Efectivament, de la desigualtat trobem que $\left|\dfrac{2n+1-2n}{n}\right| < \epsilon$ és a dir $\dfrac{1}{n}<\epsilon$ i, d'aquí, trobem que $n > \dfrac{1}{\epsilon}$
és a dir
$m = \left[\dfrac{1}{\epsilon}\right]+1$
(els claudàtors indiquen l'operació part entera)

Per exemple, si $\epsilon=0,12$
$m=\left[\dfrac{1}{0,12}\right]+1=9$

Comprovem la condició resenyada (1):
$\left|\dfrac{2\cdot 9+1}{9}-2\right| \approx 0,111 < \epsilon$ $\square$

Càlcul de límits de funcions

Apliqueu les definicions, propietats i regles de càlcul per trobar el valor dels límits proposats al final de la pàgina. En algun d'aquests exercics, els límits laterals no coincideixen; o, fins i tot, algun d'aquests no existeix, raons per les quals el límit global - en aquests casos - no existeix. Per entendre-ho bé, de forma visual, us pot ajudar l'ús d'algun programa de representació gràfica (GeoGebra, per exemple). Abans, però, convé que repasseu les notes del llibre de text i que llegiu la següent

      a.1)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      a.2)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      a.3)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      b.1)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}$

      b.2)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}$

      b.3)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}\;\dfrac{1}{3-x}$

      c.1)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      c.2)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      c.3)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      d.1)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

      d.2)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

      d.3)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$


Solucions:
APARTAT a

Observant la figura és ben clar que:
a.1) límit lateral per la dreta:
    $ \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}=-1$
a.2) límit lateral per l'esquerra:
    $ \nexists \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
a.3) límit global:
    $ \nexists \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$
  atès que un dels dos límits laterals (el límit lateral per l'esquerra) no existeix

Resolució:
APARTAT b

Observant el gràfic de la funció (hipèrbola) localitzem l'asímptota (vertical) $\text{av:}\,x=3$ (el denominador s'anul·la per a $x=3$ i la funció divergeix per a aquest valor, trencant-se la continuïtat).
b.1) límit lateral per la dreta:
    $\lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}=-\infty$
b.2) límit lateral per l'esquerra:
    $\lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}=+\infty$
b.3) Com que els límits laterals no coincideixen el límit global no existeix:

Resolució:
APARTAT c

Si passem al límit (substituint directament la variable independent pel valor al qual tendeix el límit) ens trobem amb una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$

Resoldrem aquesta indeterminació simplificant l'argment del límit; descomponent els polinomis del numerador i del denominador en factors, trobem:
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
i
$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3$
Havent simplificat (cancel·lant els factors $x-1$ del numerador i del denominador), tornem a passar a límit i ens adonem que ha desaparegut la indeterminació (provada per la presència del factor $(x+1)^2$ a l'expressió original). La funció donada és equivalent a la hipèrbola equilàtera $y=1/x$ desplaçada horitzontalment una unitat a l'esquerra:
$f(x)=\dfrac{1}{x+1}$

Per tant, com que el denominador s'anul·la per a $x=-1$, la funció no és contínua per a $x=-1$: (asímptota vertical: $\text{av:}\,x=-1$ (vegeu el gràfic). És clar que els límits laterals (que divergeixen, és clar) ho fan vers $-\infty$ i $+\infty$, respectivament; és a dir, no coincideixen; i, doncs, cal concloure que no existeix el límit global per a $x=-1$.
d.1) límit lateral per la dreta:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}=\lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{1}{x+1}=+\infty$
d.2) límit lateral per l'esquerra:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x+1}=\lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{1}{x+1}=-\infty$
d.3) límit global: no existeix

Resolució:
APARTAT d

Primer de tot, cal observar que en passar al límit (substituint directament la variable independent pel valor al qual tendeix el límit) ens trobem amb una indeterminació del tipus $\frac{0}{0}$

Resoldrem aquesta indeterminació simplificant l'argment del límit; descomponent els polinomis del numerador i del denominador en factors, trobem:
$x^5-1=(x-1)\,(x^4+x^3+x^2+x+1)$
i
$x^7-1=(x-1)\,(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
Havent simplificat (cancel·lant els factors $x-1$ del numerador i del denominador), tornem a passar a límit i ens adonem que ha desaparegut la indeterminació (provada per la presència del factor $x-1$ a l'expressió original)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\,\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\lim_{x \rightarrow 1}\,\dfrac{x^4+x^3+x^2+x+1}{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1}=\dfrac{5}{7}$
Adonem-nos també que, com que el denominador no s'anul·la per cap valor de $x$, la funció és contínua en tots els punts del domini d'existència (vegeu el gràfic), per tant els límits laterals existeixen i tenen el mateix valor:
d.1) límit lateral per la dreta:
    $ \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
d.2) límit lateral per l'esquerra:
    $ \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
d.3) límit global:
    $\lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}=\dfrac{5}{7}$
$\square$

Un exercici de composició de funcions

Enunciat:

  Donades les funcions $g(x)=3^x$ i $f(x)=1-2x$, determineu les següents funcions:
    a)   $g \circ f$   (efa composada amb ge)
    b)   $f \circ g$   (ge composada amb efa)
    c)   $f^{-1}$   (recíproca de efa)
    d)   $g^{-1}$   (recíproca de ge)
    e)   $g \circ f^{-1}$   (recíproca de efa composada amb ge)
    f)   $f \circ g^{-1}$   (recíproca de ge composada amb efa)
    g)   $f^{-1} \circ g$   (ge composada amb la recíproca de efa)
    h)   $g^{-1} \circ f$   (efa composada amb la recíproca de ge)
    i)   $f^{-1} \circ g^{-1}$   (recíproca de ge composada amb la recíproca de efa)
    j)   $g^{-1} \circ f^{-1}$   (recíproca de efa composada amb la recíproca de ge)
    k)   $\big(f \circ g\big)^{-1}$   (recíproca de la funció 'ge composada efa')
    l)   $\big(g \circ f\big)^{-1}$   (recíproca de la funció 'efa composada ge')

Resolució:

    a)   $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(1-2x)=3^{1-2\,x}$
    b)   $(f \circ g)(x)=f(3^x)=1-2\cdot 3^x$
    c)   $f^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{1-x}{2}$
    d)   $g^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}$
    e)   $\displaystyle (g \circ f^{-1})(x)=g\big(\dfrac{1-x}{2}\big)=3^{\frac{1-x}{2}}$
    f)   $\displaystyle (f \circ g^{-1})(x)=f\Big(\frac{\ln{x}}{\ln{3}} \Big)=\ldots=1-\dfrac{\ln{x^2}}{\ln{3}}$
    g)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g)(x)=f^{-1}\big( 3^x \big) = \ldots = \dfrac{1-3^x}{2}$
    h)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f)(x)=g^{-1}\big(1-2\,x\big)=\ldots=\dfrac{\ln{(1-2\,x)}}{\ln{3}}$
    i)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g^{-1})(x)=f^{-1}\Big( \dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}\Big)=\ldots=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
    j)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f^{-1})(x)=g^{-1}\Big( \dfrac{1-x}{2}\Big)=\ldots=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    k)   $\displaystyle \big(f \circ g\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    l)   $\displaystyle \big(g \circ f\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(f^{-1} \circ g^{-1})(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
$\square$

Un altre exercici d'anàlisi de funcions

Enunciat:

      Donades les funcions $g(x)=3^x$ i $f(x)=1-2x$ i les que s'exposen a sota, feu ús del programa GeoGebra per representar gràficament totes aquestes funcions. Determineu les coordenades dels punts d'intersecció amb els eixos i esbrineu el domini d'existència i el recorregut de cada funció.

    a) $\displaystyle (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(1-2x)=3^{1-2\,x}$
    b)   $(f \circ g)(x)=f(3^x)=1-2\cdot 3^x$
    c)   $f^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{1-x}{2}$
    d)   $g^{-1}(x)=\ldots=\dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}$
    e)   $\displaystyle (g \circ f^{-1})(x)=g\big(\dfrac{1-x}{2}\big)=3^{\frac{1-x}{2}}$
    f)   $\displaystyle (f \circ g^{-1})(x)=f\Big(\frac{\ln{x}}{\ln{3}} \Big)=\ldots=1-\dfrac{\ln{x^2}}{\ln{3}}$
    g)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g)(x)=f^{-1}\big( 3^x \big) = \ldots = \dfrac{1-3^x}{2}$
    h)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f)(x)=g^{-1}\big(1-2\,x\big)=\ldots=\dfrac{\ln{(1-2\,x)}}{\ln{3}}$
    i)   $\displaystyle (f^{-1} \circ g^{-1})(x)=f^{-1}\Big( \dfrac{\ln{x}}{\ln{3}}\Big)=\ldots=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
    j)   $\displaystyle (g^{-1} \circ f^{-1})(x)=g^{-1}\Big( \dfrac{1-x}{2}\Big)=\ldots=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    k)   $\displaystyle \big(f \circ g\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)=\dfrac{\ln{\big(\frac{1-x}{2}}\big)}{\ln{3}}$
    l)   $\displaystyle \big(g \circ f\big)^{-1}(x)=[\text{propietat}]=(f^{-1} \circ g^{-1})(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\ln{x}}{\ln{9}}$
$\square$

Resolució:

$\square$

Exercici d'anàlisi de funcions

Enunciat:
Donada la funció $f(x)=x^3$, calculeu:
    a) El valor de la taxa de variació mitjana $\text{TVM}$ de la funció $f$ en el punt d'abscissa $x=2$, prenent $\Delta \, x = 0,1$
    b) El valor de la derivada de $f$ per a $x=2$
    c) L'equació de la recta tangent a la corba que descriu la funció donada, en el punt d'abscissa igual a $2$
    d) Representeu conjuntament, en un sol diagrama cartesià: la corba donada per $f(x)$, el punt $P\big(2,f(2)\big)$, i la recta tangent a $f$ en el punt $P$
Resolució:
    a)
La taxa de variació mitjana en un punt $Q(x,y)$ es calcula fent
$\text{TVM}_{Q(x,y)}=\dfrac{f(x+\Delta \, x)-f(x)}{\Delta \,x}$
I, en particular, en el punt $P$, d'abscissa $x=2$, i prenent un valor de $\Delta \, x$ igual a $1$ (enunciat), és igual a
$\text{TVM}_{P}=\dfrac{f(2+0,1)-f(2)}{0,1}$
i, calculant el segon membre
$\text{TVM}_{P}=\dfrac{f(2+0,1)-f(2)}{0,1}=\ldots=12,61$

    b)
El valor de la derivada de $f$ per a $x=2$ representa el valor del pendent de la recta tangent a la corba donada per la funció $f$ en el punt d'abscissa donada i, segons la definició, és igual al límit del quocient incremental (o taxa de variació mitjana en el punt donat)
$\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta \,x \rightarrow 0} \, \dfrac{f(2+\Delta \, x)- f(2)}{\Delta \, x} \quad \quad (1)$
Desenvolupant el denominador de l'argument del límit $\Delta \, y$, trobem
$f(2+\Delta \, x)-f(2)=(2+\Delta \, x)^3-2^3$
que és igual a
$(\Delta \,x)^3 + 6\,(\Delta \, x)^2 + 12 \, \Delta \, x $
I, posant aquesta expressió en (1), ens queda
$\displaystyle \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0}\, \dfrac{f(2+\Delta \, x)-f(2)}{\Delta \, x} = \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0} \, \dfrac{(\Delta \,x)^3 + 6\,(\Delta \,x)^2 + 12 \, \Delta \, x }{\Delta \, x}$
Per desfer la indeterminació del tipus $0/0$ amb què ens trobem quan passem al límit, traiem $\Delta\,x$ com a factor comú de l'expressió del numerador i simplifiquem, obtenint
$\displaystyle \lim_{\Delta \,x \rightarrow 0}\, \bigg((\Delta\,x)^2 + 6\,(\Delta\,x)+ 12\bigg)=12$
és a dir
$f'(2)=12$
$\square$

    c)
Per determinar l'equació de la recta tangent en el punt $P$ d'abscissa $x=2$ (de la corba donada per la funció $f$), decidim, primer de tot, expressar-la en forma explícita, perquè és la forma que s'obté amb més facilitat a partir de les dades que disposem
és a dir, l'escriurem
$\text{rt:}\,y=m\,x+k$
cal, doncs, calcular els valors dels coeficients $m$ i $k$

El pendent $m$ de la recta (tangent), és igual al valor de la derivada de la funció $f$ en aquest punt (calculat a l'apartat anterior: $f'(2)=12$), és a dir
$m=f'(2)=12$
llavors, podem escriure
$\text{rt:}\,y=12\,x+k \quad \quad (2)$
Ara, tan sols falta calcular el valor de l'ordenada a l'origen $k$, que determinarem tenint en compte que $P\big(2,f(2)\big) \, \in \text{rt}$
Com que $f(2)=8$, de (2) escriurem
$8=12 \cdot 2 + k$
i, aillant $k$, queda
$k=-16$
concloent que l'equació de la recta tangent a la corba $f(x)=x^3$ en el punt d'absicssa igual a $2$ s'escriu de la forma (forma explícita)
$\text{rt:}\,y=12\,x-16$
$\square$

    d)

$\square$

Un exercici de geometria analítica per determinar els elements d'una hipèrbola

Enunciat:
Considereu una hipèrbola equilàtera que té per equació $h:\,x\,y=1$ (referida a les seves asímptotes). Determineu els seus elements i feu-ne una representació gràfica.

Resolució:
Sabem que l'equació d'una hipèrbola equilàtera en forma canònica (Figura 1) és
$x^2-y^2=a^2$
i té per asímptotes les rectes $y=\pm x$

Figura 1

Si girem els eixos $45º$ en el sentit contrari a les agulles del rellotge (Figura 2), hem vist que l'equació s'escriu de la forma
$x\,y=\dfrac{a^2}{2}$
i parlem, llavors, d'equació de la hipèrbola referida a les seves asímptotes, ja que en fer el gir de 45º, els nous eixos de coordenades passen a ser les rectes asímptotes [ els antics eixos de coordenades es representen a la figura en forma discontínua ]

Figura 2

Com que
$\dfrac{a^2}{2}=1$
deduïm que
$a=\pm |\sqrt{2}|$

Sabem que les coordenades dels focus són:
$F(a,a)$
$F'(-a,-a)$
per tant, podem especificar els seus valors
$F(|\sqrt{2}|,|\sqrt{2}|)$
$F'(-|\sqrt{2}|,-|\sqrt{2}|)$

El valor de $c$ ve donat per la relació que lliga $a$, $b$ i $c$ en una hipèrbola
$c^2=a^2+b^2$
i com que $a=b$
$c^2=2\,a^2$
és a dir
$c=|\sqrt{2}|\,a$
recordem, però, que
$a=|\sqrt{2}|$
i, per tant,
$c=2$

Amb això, ja podem calcular el valor de l'excentricitat $e=c/a$
$e=\dfrac{2}{|\sqrt{2}|}=|\sqrt{2}| > 1$
(més gran que u, tal i com, s'espera per a una hipèrbola)

Calculem, ara, les coordenades dels vèrtexs A i A'; per això, tenim en compte que
aquests punt són els p. d'intersecció entre la recta d'equació $y=x$ (vegeu la figura) i la hipèrbola $x\,y=1$

resolent el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} x\,y=1\\y=x\\ \end{matrix}\right\}$
trobem
$A(1,1)$
$A'(-1,-1)$

pel que fa als vèrtexs imaginaris B, B', observem que es troben damunt d'una circumferència de radi igual a $a$, igual que els altres dos vèrtexs A i A' (ja determinats): B es situa al 2n quadrant i B' al quart (tots dos damunt la bisectriu $y=-x$)

per tant
$B(-1,1)$
$B'(1,-1)$

$\square$