ENUNCIADO. Se considera el número complejo $z=-1+i$. Calcúlese $z^5$.
SOLUCIÓN. Como la parte real de $z$ es $-1$ y la parte imaginaria es $1$, su afijo está en el segundo cuadrante y $\text{arg}(z)=\arctan\,\left(\dfrac{1}{-1}\right)=\dfrac{3}{4}\,\pi$ rad. Y el módulo de $z$ es $|\sqrt{(-1)^2+1^2}|=|\sqrt{2}|$
Por la fórmula de De Moivre, tenemos que $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \cos\,(5\cdot \dfrac{3}{4}\,\pi) + i\,\sin\,(5\cdot \dfrac{3}{4}\,\pi) \right)$$ esto es $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \cos\,(\dfrac{15}{4}\,\pi) + i\,\sin\,(\dfrac{15}{4}\,\pi) \right)\quad \quad [1]$$ Teniendo en cuenta ahora que $\dfrac{15}{4}=3+\dfrac{3}{4}$ podemos escribir $$\dfrac{15}{4}\,\pi = 3\,\pi+\dfrac{3}{4}\,\pi = 2\,\pi + (\pi +\dfrac{3}{4}\,\pi ) = 2\,\pi + \dfrac{7}{4}\,\pi$$ siendo $\dfrac{7}{4}\,\pi=\dfrac{3}{2}\,\pi + \dfrac{1}{4}\,\pi$ y por tanto está en el cuarto cuadrante. Por consiguiene $$\cos\,(\dfrac{15}{4}\,\pi)=\cos\,(2\,\pi+\dfrac{7}{4}\,\pi)=\cos\,(\dfrac{7}{4}\,\pi)=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$ y $$\sin\,(\dfrac{15}{4}\,\pi)=\sin\,(2\,\pi+\dfrac{7}{4}\,\pi)=\sin\,(\dfrac{7}{4}\,\pi)=-\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$ luego, sustituyendo en [1], $$z^5=(|\sqrt{2}|)^5\,\left( \dfrac{|\sqrt{2}|}{2}-i\,\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}\right)$$ y simplificando obtenemos $$z^5=\dfrac{(|\sqrt{2}|)^6}{2}\,( 1-i)=\dfrac{2^3}{2}\,(1-i)=4\,(1-i)$$
$\square$
martes, 28 de mayo de 2019
Rectas tangentes y rectas normales en las curvas cónicas
Las recta tangente a una cónica en un punto dado de su lugar geométrico viene dado por una de las bisectrices de las rectas que soportan los vectores de posición de dicho punto tomando como orígenes los respectivos focos. En el caso de una parábola, en la que sólo hay un foco, la recta tangente en un cierto punto dado del lugar geométrico viene dada por una de las bisectrices de la recta perpendicular a la recta directriz que pasa por el punto pedido y la recta que soporta el vector de posición del mismo tomando como origen de dicho vector el foco.
La otra bisectriz obtenida de esta manera, en cualquiera de los tres tipos de cónicas, corresponde a la recta normal a la curva en el punto por donde se ha trazado la recta tangente.
Ejemplo:
Recta tangente a una elipse en un punto dado de su lugar geométrico: [ 1 | 2 ]
Nota: Lo he hecho esta mañana en clase de repaso, para los que tenéis que preparar los exámenes globales extraordinarios, y, también para el resto de vosotros, pues me parece que también puede interesaros.
La otra bisectriz obtenida de esta manera, en cualquiera de los tres tipos de cónicas, corresponde a la recta normal a la curva en el punto por donde se ha trazado la recta tangente.
Ejemplo:
Recta tangente a una elipse en un punto dado de su lugar geométrico: [ 1 | 2 ]
Nota: Lo he hecho esta mañana en clase de repaso, para los que tenéis que preparar los exámenes globales extraordinarios, y, también para el resto de vosotros, pues me parece que también puede interesaros.
lunes, 27 de mayo de 2019
El plano vectorial. Paralelismo y perpendicularidad
ENUNCIADO. Se consideran los vectores cuyas coordenadas con respecto de la base canónica son $\vec{u}=(2,-4)$ y $\vec{v}=(-1,a)$. Calcúlense los valores de $a$ para que:
a) $\vec{u} \parallel \vec{v}$
b) $\vec{u} \perp \vec{v}$
SOLUCIÓN.
a)
$\vec{0}\neq \vec{u} \parallel \vec{v}\neq \vec{0} \Leftrightarrow (2,-4)\propto (1,-2) = \lambda\,(-1,a)\; \Rightarrow a=2 \; \forall \lambda \in \mathbb{R}$
b)
$\vec{0}\neq \vec{u} \propto \,(1,-2) \perp \vec{v} \neq \vec{0} \Leftrightarrow \langle (1, -2),(-1,a)\rangle =0 \Rightarrow 1\cdot (-1)+(-2)\cdot a =0 \Rightarrow$
$ \Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$
a) $\vec{u} \parallel \vec{v}$
b) $\vec{u} \perp \vec{v}$
SOLUCIÓN.
a)
$\vec{0}\neq \vec{u} \parallel \vec{v}\neq \vec{0} \Leftrightarrow (2,-4)\propto (1,-2) = \lambda\,(-1,a)\; \Rightarrow a=2 \; \forall \lambda \in \mathbb{R}$
b)
$\vec{0}\neq \vec{u} \propto \,(1,-2) \perp \vec{v} \neq \vec{0} \Leftrightarrow \langle (1, -2),(-1,a)\rangle =0 \Rightarrow 1\cdot (-1)+(-2)\cdot a =0 \Rightarrow$
$ \Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$
domingo, 26 de mayo de 2019
Clasificación de dos curvas cónicas y estudio de la incidencia entre ellas
ENUNCIADO. Se consideran las curvas cónicas $\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$ y $\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$. Dígase a qué tipo de cónicas corresponde cada una de ellas y estúdiese la incidencia de dichas curvas.
SOLUCIÓN.
$\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$
$\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0$
$\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2$, luego esta curva es una circunferencia de centro $(2,0)$ y radio $r=4$
$\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$
$\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0$
$\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0$
$\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16$
$\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1$
$\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1$, tratándose pues de una elipse de centro $(2,0)$; semiejes $a=4$ y $b=3$
Los vértices de la elipse son $A_{2}(4+2,0)$, $A'_{2}(-4+2,0)$; $B_{2}(0,3)$ y $B'_{2}(0,-3)$. Y los de la circunferencia $A_{1}(4+2,0)$, $A'_{1}(-4+2,0)$; $B_{1}(0,4)$ y $B'_{1}(0,-4)$. Por consiguiente la elipse $\mathcal{C}_2$ es tangente interior a la circunferencia $\mathcal{C}_1$ en $A_{1}=A_{2}$ y en $A'_{1}=A'_{2}$
$\square$
SOLUCIÓN.
$\mathcal{C}_1\equiv x^2+y^2-4x-12=0$
$\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2-4+y^2-12=0$
$\mathcal{C}_1\equiv (x-2)^2+(y-0)^2=4^2$, luego esta curva es una circunferencia de centro $(2,0)$ y radio $r=4$
$\mathcal{C}_2\equiv 9\,x^2+16\,y^2-36\,x-108=0$
$\mathcal{C}_2\equiv x^2+\dfrac{16}{9}\,y^2-4\,x-12=0$
$\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2-4+\dfrac{16}{9}\,y^2-12=0$
$\mathcal{C}_2\equiv (x-2)^2+\dfrac{16}{9}\,y^2=16$
$\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{16}+\dfrac{(y-0)^2}{9}\,y^2=1$
$\mathcal{C}_2\equiv \dfrac{(x-2)^2}{4^2}+\dfrac{(y-0)^2}{3^2}\,y^2=1$, tratándose pues de una elipse de centro $(2,0)$; semiejes $a=4$ y $b=3$
Los vértices de la elipse son $A_{2}(4+2,0)$, $A'_{2}(-4+2,0)$; $B_{2}(0,3)$ y $B'_{2}(0,-3)$. Y los de la circunferencia $A_{1}(4+2,0)$, $A'_{1}(-4+2,0)$; $B_{1}(0,4)$ y $B'_{1}(0,-4)$. Por consiguiente la elipse $\mathcal{C}_2$ es tangente interior a la circunferencia $\mathcal{C}_1$ en $A_{1}=A_{2}$ y en $A'_{1}=A'_{2}$
$\square$
Cónicas. Ecuación de una elipse cuyos ejes son paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad dada, semieje mayor dado y centro dado.
ENUNCIADO. Hállese la ecuación de una elipse con los ejes paralelos a los ejes de coordenadas, de excentricidad $\epsilon=0,6$, con semieje mayor $a=15$, y centrada en $C(2,-1)$. Determínense los elementos notables de la misma.
SOLUCIÓN. La ecuación de la elipse en las condiciones del enunciado toma la forma $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{b^2}=1$$ Como $\epsilon = \dfrac{c}{a}$ ( donde $c$ es la semidistancia entre los focos ) tenemos que $$0,6 = \dfrac{c}{15} \Rightarrow c=9$$ por otra parte sabemos que en una elipse ha de cumplirse que $a^2=b^2+c^2$ con lo cual $$b^2=15^2-9^2=144 \Rightarrow b=12$$ Por consiguiente, la ecuación pedida es $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{12^2}=1$$ Así pues, teniendo en cuenta la traslación de la elipse reducida $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ ( centrada en el origen de coordenadas ) al punto $C(2,-1)$, las coordenadas de los dos focos son $F(9+2,0+(-1))$ y $F'(-9+2,0+(-1))$, respectivamente; esto es
$$F(11,-1) \quad \text{y}\quad F'(-7,-1)$$ Por lo que respecta a los vértices, si la elipse centrada en el origen de coordenadas $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ tiene por vértices $A(15,0)$, $A'(-15,0)$: $B(0,12)$ y $B'(0,-12)$, atendiendo a la traslación de dicha elipse al punto $C(2,-1)$, los vértices de la elipse pedida son $A(15+2,0+(-1))$, $A'(-15+2,0+(-1))$, $B(0+2,12+(-1))$ y $B'(0+2,-12+(-1))$; esto es $$A(17,-1), A'(-13,-1), B(2,11) \; \text{y}\, B'(2,-13)$$
$\square$
SOLUCIÓN. La ecuación de la elipse en las condiciones del enunciado toma la forma $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{b^2}=1$$ Como $\epsilon = \dfrac{c}{a}$ ( donde $c$ es la semidistancia entre los focos ) tenemos que $$0,6 = \dfrac{c}{15} \Rightarrow c=9$$ por otra parte sabemos que en una elipse ha de cumplirse que $a^2=b^2+c^2$ con lo cual $$b^2=15^2-9^2=144 \Rightarrow b=12$$ Por consiguiente, la ecuación pedida es $$\dfrac{x-2}{15^2}+\dfrac{y-(-1)}{12^2}=1$$ Así pues, teniendo en cuenta la traslación de la elipse reducida $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ ( centrada en el origen de coordenadas ) al punto $C(2,-1)$, las coordenadas de los dos focos son $F(9+2,0+(-1))$ y $F'(-9+2,0+(-1))$, respectivamente; esto es
$$F(11,-1) \quad \text{y}\quad F'(-7,-1)$$ Por lo que respecta a los vértices, si la elipse centrada en el origen de coordenadas $\dfrac{x}{15^2}+\dfrac{y}{b^2}=1$ tiene por vértices $A(15,0)$, $A'(-15,0)$: $B(0,12)$ y $B'(0,-12)$, atendiendo a la traslación de dicha elipse al punto $C(2,-1)$, los vértices de la elipse pedida son $A(15+2,0+(-1))$, $A'(-15+2,0+(-1))$, $B(0+2,12+(-1))$ y $B'(0+2,-12+(-1))$; esto es $$A(17,-1), A'(-13,-1), B(2,11) \; \text{y}\, B'(2,-13)$$
$\square$
Parábola no centrada en el origen de coordenadas y con recta de simetría paralela a uno de los ejes de coordenadas
ENUNCIADO. Escríbase las posibles ecuaciones de una parábola cuyo vértice se sitúa en el punto $V(1,0)$ y que pasa por el punto $P(3,3)$ así como las coordenadas del foco $F$ y las ecuaciones de la recta de simetría ( que ha de ser paralela a uno de los ejes de coordenadas ) y de la recta directriz.
SOLUCIÓN.
Caso I ( La recta de simetría es paralela al eje Ox ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$y^2=4px$$ Sin embargo, teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$y^2=4p(x-1)$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$3^2=4p(3-1)$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{9}{8}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$y^2=4\cdot \dfrac{9}{8}\,(x-1)$$ es decir $$y^2=\dfrac{9}{2}\,(x-1)$$ por lo que podemos escribir las coordenadas del foco, ya que sabemos que éstas son $F(p+1,0)$, esto es $$F(9/8+1,0) \rightarrow (17/8,0)$$ Por otra parte, la recta directriz, tiene por ecuación $x=1-p=1-9/8$ esto es $$\text{recta directriz}\equiv x -\dfrac{1}{8}$$
Caso II ( La recta de simetría es paralela al eje Oy ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$x^2=4py$$ Teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$(x-1)^2=4py$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$(3-1)^2=4p\cdot 3$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{1}{3}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$(x-1)^2=\dfrac{4}{3}\,y$$ que puede expresarse también de la forma $$y=\dfrac{3}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}\,x+\dfrac{3}{4}$$
Podemos escribir las coordenadas del foco teniendo en cuenta la traslación: $F(1,0+p)$, esto es $$F(1,0+1/3)\rightarrow (1,1/3)$$ Por otra parte, por la traslación, la recta directriz, tiene ahora por ecuación $y=-p=-\dfrac{1}{3}$
$\square$
SOLUCIÓN.
Caso I ( La recta de simetría es paralela al eje Ox ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$y^2=4px$$ Sin embargo, teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$y^2=4p(x-1)$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$3^2=4p(3-1)$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{9}{8}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$y^2=4\cdot \dfrac{9}{8}\,(x-1)$$ es decir $$y^2=\dfrac{9}{2}\,(x-1)$$ por lo que podemos escribir las coordenadas del foco, ya que sabemos que éstas son $F(p+1,0)$, esto es $$F(9/8+1,0) \rightarrow (17/8,0)$$ Por otra parte, la recta directriz, tiene por ecuación $x=1-p=1-9/8$ esto es $$\text{recta directriz}\equiv x -\dfrac{1}{8}$$
Caso II ( La recta de simetría es paralela al eje Oy ):
Si el vértice estuviese centrado en el origen de coordenadas, la ecuación de dicha parábola ( e. reducida ) se escribiría $$x^2=4py$$ Teniendo en cuenta ahora la traslación del vértice al punto $(1,0)$, la ecuación de la parábola se escribirá $$(x-1)^2=4py$$ Determinemos ahora $p$ imponiendo que la parábola pase por el punto $P(3,3)$, con lo cual $$(3-1)^2=4p\cdot 3$$ de donde despejando $p$ obtenemos $$p=\dfrac{1}{3}$$ Así, la ecuación de la parábola es $$(x-1)^2=\dfrac{4}{3}\,y$$ que puede expresarse también de la forma $$y=\dfrac{3}{4}\,x^2-\dfrac{3}{2}\,x+\dfrac{3}{4}$$
Podemos escribir las coordenadas del foco teniendo en cuenta la traslación: $F(1,0+p)$, esto es $$F(1,0+1/3)\rightarrow (1,1/3)$$ Por otra parte, por la traslación, la recta directriz, tiene ahora por ecuación $y=-p=-\dfrac{1}{3}$
$\square$
Cónicas. Ecuación reducida de la parábola ( vértice en el origen de coordenadas )
ENUNCIADO. Demuéstrese que la ecuación de una parábola cuya recta de simetría coincide con el eje Ox ( $y=0$ ) y cuyo vértice se encuentra en el origen de coordenadas, $V(0,0)$, y tal que éste equidista una distancia $p$ de la recta directriz $d$ ( perpendicular al eje Ox ) y del foco $F$ ( que está en el eje Ox, a la derecha del origen de coordenadas ) puede escribirse como $y^2=4px$
SOLUCIÓN. La condición para que un punto genérico $X(x,y)$ pertenezca al lugar geométrico es $$\text{dist}(d,X)=\text{dist}(X,F)$$ Teniendo en cuenta que $F(p,0)$ y que y la recta directriz tiene por ecuación $x=-p$, $$p+x=|\sqrt{(x-p)^2+(y-0)^2}|$$ y por tanto $$(p+x)^2=(x-p)^2+y^2$$ esto es $$x^2+2px+p^2=x^2-2px+p^2+y^2$$ y simplificando llegamos a $$y^2=4px$$
NOTA: En el caso de que el foco esté a la izquierda del vértice, tenemos que $F(-p,0)$ y la recta directriz tiene ahora por ecuación $x=p$; repitiendo el mismo proceso que antes, $$p+x=|\sqrt{(x-(-p))^2+(y-0)^2}|$$ por tanto $$(-p+x)^2=(x+p)^2+y^2$$ con lo cual $$x^2-2px+p^2=x^2+2px+p^2+y^2$$ y simplificando se obtiene $$y^2=-4px$$
OBSERVACIÓN: En lo que se ha hecho, $p$ representa la distancia del foco al vértice. Sin embargo, en algunos libros ( como por ejemplo en el libro de texto que hemos utilizado en este curso ) se da la ecuación de la parábola de la forma $$y^2=2px$$ ( habitualmente usando la misma letra '$p$' ), donde $p$ hay que interpretarla en estos casos como la mitad de la distancia del vértice al foco.
SOLUCIÓN. La condición para que un punto genérico $X(x,y)$ pertenezca al lugar geométrico es $$\text{dist}(d,X)=\text{dist}(X,F)$$ Teniendo en cuenta que $F(p,0)$ y que y la recta directriz tiene por ecuación $x=-p$, $$p+x=|\sqrt{(x-p)^2+(y-0)^2}|$$ y por tanto $$(p+x)^2=(x-p)^2+y^2$$ esto es $$x^2+2px+p^2=x^2-2px+p^2+y^2$$ y simplificando llegamos a $$y^2=4px$$
NOTA: En el caso de que el foco esté a la izquierda del vértice, tenemos que $F(-p,0)$ y la recta directriz tiene ahora por ecuación $x=p$; repitiendo el mismo proceso que antes, $$p+x=|\sqrt{(x-(-p))^2+(y-0)^2}|$$ por tanto $$(-p+x)^2=(x+p)^2+y^2$$ con lo cual $$x^2-2px+p^2=x^2+2px+p^2+y^2$$ y simplificando se obtiene $$y^2=-4px$$
OBSERVACIÓN: En lo que se ha hecho, $p$ representa la distancia del foco al vértice. Sin embargo, en algunos libros ( como por ejemplo en el libro de texto que hemos utilizado en este curso ) se da la ecuación de la parábola de la forma $$y^2=2px$$ ( habitualmente usando la misma letra '$p$' ), donde $p$ hay que interpretarla en estos casos como la mitad de la distancia del vértice al foco.
miércoles, 8 de mayo de 2019
Coordenadas del punto de intersección de la recta de regresión de Y sobre X y de la recta de regresión de X sobre Y
En el artículo anterior justifiqué las ecuaciones de las rectas de regresión de $Y$ sobre $X$, con ecuación punto-pendiente $$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$ y de $X$ sobre $Y$ cuya ecuación punto-pendiente es $$x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$
Dichas rectas son coincidentes si el coeficiente de correlación de Pearson es igual a $1$, que es el caso de dependencia funcional.
En el caso de que la correlación sea nula ( dependencia aleatoria ), la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es paralela al eje de abscisas, puesto que al ser la covarianza nula $s_{xy}=0$, la ecuación de la midms es $y=\bar{y}$ ( valor constante ); y, por otra parte, la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es paralela al eje de ordenadas, habida cuenta de que por la misma razón ( la covarianza es nula, $s_{xy}=0$ ), así que la ecuación de esta otra recta es ahora $x=\bar{x}$ ( valor constante ). En consecuencia, no habiendo correlación alguna (aleatoriedad), las dos rectas de regresión son perpendiculares una a la otra.
El caso que reviste mayor interés es el de dependencia es estadística ( correlación no nula, pero no habiendo dependecia funcional ). Siendo así, las rectas son secantes, y el punto de intersección es $I(\bar{x},\bar{y})$, cosa que ya había adelantado en otros artículos y también en clase al empezar a hacer ejercicios prácticos.
A continuación paso a justificar esta propiedad. Para ello hay que resolver el sistema de ecuaciones, con incógnitas $x$ e $y$: $$\left\{\begin{matrix}y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x}) \\ x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y}) \end{matrix}\right.$$
que puede expresarse de la forma $$\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,x+\left( \bar{y}-\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,\bar{x}\right) \\ y=\dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}}\,x+\left( \bar{y}-\dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}}\,\bar{x}\right)\end{matrix}\right.$$
igualando los segundos miembros de ambas igualdades, llegamos a una ecuación con $x$ como incógnita $$\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,x+\left( \bar{y}-\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,\bar{x}\right)=\dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}}\,x+\left( \bar{y}-\dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}}\,\bar{x}\right)$$ y agrupando términos semejantes $$x\,\left( \dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}} - \dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}} \right) = \bar{x}\,\left( \dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}} - \dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}} \right) $$ y simplificando, se obtiene $$x=\bar{x}$$
Sustituyendo en la primera ecuación de (1): $$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(\bar{x}-\bar{x})=0 \Rightarrow y=\bar{y}$$
luego, como queríamos demostrar, el punto de intersección de las rectas de regresión ( de $Y$ sobre $X$, y de $X$ sobre $Y$ ) es $$I(\bar{x},\bar{y})$$
$\square$
Dichas rectas son coincidentes si el coeficiente de correlación de Pearson es igual a $1$, que es el caso de dependencia funcional.
En el caso de que la correlación sea nula ( dependencia aleatoria ), la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es paralela al eje de abscisas, puesto que al ser la covarianza nula $s_{xy}=0$, la ecuación de la midms es $y=\bar{y}$ ( valor constante ); y, por otra parte, la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es paralela al eje de ordenadas, habida cuenta de que por la misma razón ( la covarianza es nula, $s_{xy}=0$ ), así que la ecuación de esta otra recta es ahora $x=\bar{x}$ ( valor constante ). En consecuencia, no habiendo correlación alguna (aleatoriedad), las dos rectas de regresión son perpendiculares una a la otra.
El caso que reviste mayor interés es el de dependencia es estadística ( correlación no nula, pero no habiendo dependecia funcional ). Siendo así, las rectas son secantes, y el punto de intersección es $I(\bar{x},\bar{y})$, cosa que ya había adelantado en otros artículos y también en clase al empezar a hacer ejercicios prácticos.
A continuación paso a justificar esta propiedad. Para ello hay que resolver el sistema de ecuaciones, con incógnitas $x$ e $y$: $$\left\{\begin{matrix}y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x}) \\ x-\bar{x}=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y}) \end{matrix}\right.$$
que puede expresarse de la forma $$\left\{\begin{matrix}y=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,x+\left( \bar{y}-\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,\bar{x}\right) \\ y=\dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}}\,x+\left( \bar{y}-\dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}}\,\bar{x}\right)\end{matrix}\right.$$
igualando los segundos miembros de ambas igualdades, llegamos a una ecuación con $x$ como incógnita $$\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,x+\left( \bar{y}-\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}\,\bar{x}\right)=\dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}}\,x+\left( \bar{y}-\dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}}\,\bar{x}\right)$$ y agrupando términos semejantes $$x\,\left( \dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}} - \dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}} \right) = \bar{x}\,\left( \dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}} - \dfrac{s_{y}^{2}}{s_{xy}} \right) $$ y simplificando, se obtiene $$x=\bar{x}$$
Sustituyendo en la primera ecuación de (1): $$y-\bar{y}=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(\bar{x}-\bar{x})=0 \Rightarrow y=\bar{y}$$
luego, como queríamos demostrar, el punto de intersección de las rectas de regresión ( de $Y$ sobre $X$, y de $X$ sobre $Y$ ) es $$I(\bar{x},\bar{y})$$
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martes, 7 de mayo de 2019
Obtención de la recta de regresión lineal de Y sobre X por el criterio de mínimos cuadrados
Para determinar la recta que mejor se ajusta a un conjunto de $N$ puntos experimentales $\{(x_i,y_i)\}$ ( $i=1,2,\ldots,N$ ) emplearemos el criterio de mínimos cuadrados, que consiste en encontrar los coeficientes $m$ y $k$ de la recta de regresión lineal de $Y$ sobre $X$ -- para hallar la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ se procederá de manera análoga -- tales que la suma de las diferencias de las ordenadas al cuadrado $(y_i-y'_{i})^2$ correspondientes al punto experimental $(x_i,y_i)$ y al punto $(x_i,y'_{i})$ situado en la perpendicular del primero, por encima ( respectivamente, por debajo ), sobre la recta de regresión a determinar. Es decir, pretendemos que la cantidad $\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,(y'_{i}-y_i)^2$ sea mínima.
Así pues, teniendo en cuenta que la recta a determinar es $y=m\,x+k$, tendremos que $y'_{i}=mx_i+k$ para cada $i=1,2,\ldots,N$, por consiguiente podemos escribir la cantidad que ha de hacerse mínima como una función de $m$ y $k$: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,(m\,x_i+k-y_i)^2$$
Para que se obtenga un extremos relativo, y, en particular un mínimo, sabemos que las derivadas con respecto de $m$ y, también, de $k$ han de ser nulas. Luego derivando primero respecto de $m$ e igualando a $0$ y haciendo lo propio con respecto de $k$ llegamos a: $$\left\{\begin{matrix}\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,2\,(m\,x_i+k-y_i)\,x_i=0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,2\,(m\,x_i+k-y_i)=0 \end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix} \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,(m\,x_i+k-y_i)\,x_i=0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,(m\,x_i+k-y_i)=0 \end{matrix}\right.$$ y por tanto $$\left\{\begin{matrix} \displaystyle m\,\sum_{i=1}^{N}\,x_{i}^2+k\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i-\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i=0 \\ \displaystyle m\,\sum_{i=1}^{N}\,x_{i}+k\,N-\sum_{i=1}^{N}\,y_i=0 \end{matrix}\right. \quad \quad (2)$$ Teniendo en cuenta ahora que $$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i=\bar{x}$$ $$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,y_i=\bar{y}$$ $$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_{i}^{2}=\overline{x^2}$$ podemos escribir las dos ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix} m\,\overline{x^2}+k\,\bar{x}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i \\ m\,\bar{x}+k=\bar{y}\end{matrix}\right.$$ Multiplicando los dos miembros de la segunda ecuación por $\bar{x}$
$$\left\{\begin{matrix} m\,\overline{x^2}+k\,\bar{x}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i \\ m\,(\bar{x})^2+k\,\bar{x}=\bar{y}\,\bar{x}\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos $$m\,\left(\overline{x^2}-(\bar{x})^2\right)=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i - \bar{x}\,\bar{y}$$ Reconocemos en el segundo miembro la covarianza $s_{xy}$ de $X$ e $Y$, y, en el primero, la varianza de $X$: $s_{x}^2$, con lo cual $$m\,s_{x}^2=s_{xy}$$ y por tanto la pendiente de la recta de regresión que es $$m=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}$$ Sustituyendo ahora en la segunda ecuación de (2) y despejando $k$ obtendremos la ordenada en el origen de dicha recta: $$k=\bar{y}-\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,\bar{x}$$
Con todo ello, podemos expresar esta recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en la forma punto-pendiente, que es muy apropiada a la hora de aplicarla para realizar estimaciones de $Y$, $\hat{y}$, a partir de valores dados de la variable $X$: $$(y-\bar{y})=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$
OBSERVACIÓN: Si procedemos de manera análoga para hallar la recta de regresión de $X$ sobre $Y$, obtendremos esta otra recta de regresión que servirá para realizar estimaciones de $X$, $\hat{x}$, a partir de valores dados de la variable $Y$ $$(x-\bar{x})=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$
NOTA: En todo procedimiento de regresión lineal son muy útiles los coeficientes de correlación de Pearson y el coeficiente de determinación a la hora de analizarlo; expresan la naturaleza y la bondad o fuerza del ajuste de la recta de regresión a la nube de puntos experimentales, respectivamente. Se define el coeficiente de correlación de Pearson de la forma $$r\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\,s_{y}}$$ siendo $s_x$ y $s_y$ las desviaciones estándar de $X$ e $Y$, respectivamente, de tal manera que $-1\le r\le 1$. Si $r\prec 0$ ( la covarianza $s_{xy} \prec 0$ ) la recta de regresión tiene pendiente negativa y, por tanto, es una función creciente; en el caso de que $r\succ 0$ ( la covarianza $s_{xy} \succ 0 $ ), la pendiente es positiva ( la función es creciente ). Si $|r|=1$ la dependencia es funcional; si $r=0$ ( la covarianza es nula $s_{xy}=0$ ) y no hay correlación. La fuerza del ajuste se mide mediante el coeficiente de determinación, $R^2$, que se define de la forma $R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2$; se tiene que $0 \le R^2\le 1$ ( que se suele expresar en tanto por ciento ), de modo que, en los casos límite, si $R^2=1$ la fuerza del ajusta es máxima y si $R^2=0$ la fuerza del ajuste es nula.
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Así pues, teniendo en cuenta que la recta a determinar es $y=m\,x+k$, tendremos que $y'_{i}=mx_i+k$ para cada $i=1,2,\ldots,N$, por consiguiente podemos escribir la cantidad que ha de hacerse mínima como una función de $m$ y $k$: $$\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,(m\,x_i+k-y_i)^2$$
Para que se obtenga un extremos relativo, y, en particular un mínimo, sabemos que las derivadas con respecto de $m$ y, también, de $k$ han de ser nulas. Luego derivando primero respecto de $m$ e igualando a $0$ y haciendo lo propio con respecto de $k$ llegamos a: $$\left\{\begin{matrix}\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,2\,(m\,x_i+k-y_i)\,x_i=0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,2\,(m\,x_i+k-y_i)=0 \end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix} \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,(m\,x_i+k-y_i)\,x_i=0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\,(m\,x_i+k-y_i)=0 \end{matrix}\right.$$ y por tanto $$\left\{\begin{matrix} \displaystyle m\,\sum_{i=1}^{N}\,x_{i}^2+k\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i-\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i=0 \\ \displaystyle m\,\sum_{i=1}^{N}\,x_{i}+k\,N-\sum_{i=1}^{N}\,y_i=0 \end{matrix}\right. \quad \quad (2)$$ Teniendo en cuenta ahora que $$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i=\bar{x}$$ $$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,y_i=\bar{y}$$ $$\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_{i}^{2}=\overline{x^2}$$ podemos escribir las dos ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix} m\,\overline{x^2}+k\,\bar{x}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i \\ m\,\bar{x}+k=\bar{y}\end{matrix}\right.$$ Multiplicando los dos miembros de la segunda ecuación por $\bar{x}$
$$\left\{\begin{matrix} m\,\overline{x^2}+k\,\bar{x}=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i \\ m\,(\bar{x})^2+k\,\bar{x}=\bar{y}\,\bar{x}\end{matrix}\right.$$ Sumando ahora miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos $$m\,\left(\overline{x^2}-(\bar{x})^2\right)=\displaystyle \dfrac{1}{N}\,\sum_{i=1}^{N}\,x_i\,y_i - \bar{x}\,\bar{y}$$ Reconocemos en el segundo miembro la covarianza $s_{xy}$ de $X$ e $Y$, y, en el primero, la varianza de $X$: $s_{x}^2$, con lo cual $$m\,s_{x}^2=s_{xy}$$ y por tanto la pendiente de la recta de regresión que es $$m=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^2}$$ Sustituyendo ahora en la segunda ecuación de (2) y despejando $k$ obtendremos la ordenada en el origen de dicha recta: $$k=\bar{y}-\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,\bar{x}$$
Con todo ello, podemos expresar esta recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en la forma punto-pendiente, que es muy apropiada a la hora de aplicarla para realizar estimaciones de $Y$, $\hat{y}$, a partir de valores dados de la variable $X$: $$(y-\bar{y})=\dfrac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}\,(x-\bar{x})$$
OBSERVACIÓN: Si procedemos de manera análoga para hallar la recta de regresión de $X$ sobre $Y$, obtendremos esta otra recta de regresión que servirá para realizar estimaciones de $X$, $\hat{x}$, a partir de valores dados de la variable $Y$ $$(x-\bar{x})=\dfrac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}\,(y-\bar{y})$$
NOTA: En todo procedimiento de regresión lineal son muy útiles los coeficientes de correlación de Pearson y el coeficiente de determinación a la hora de analizarlo; expresan la naturaleza y la bondad o fuerza del ajuste de la recta de regresión a la nube de puntos experimentales, respectivamente. Se define el coeficiente de correlación de Pearson de la forma $$r\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_{xy}}{s_{x}\,s_{y}}$$ siendo $s_x$ y $s_y$ las desviaciones estándar de $X$ e $Y$, respectivamente, de tal manera que $-1\le r\le 1$. Si $r\prec 0$ ( la covarianza $s_{xy} \prec 0$ ) la recta de regresión tiene pendiente negativa y, por tanto, es una función creciente; en el caso de que $r\succ 0$ ( la covarianza $s_{xy} \succ 0 $ ), la pendiente es positiva ( la función es creciente ). Si $|r|=1$ la dependencia es funcional; si $r=0$ ( la covarianza es nula $s_{xy}=0$ ) y no hay correlación. La fuerza del ajuste se mide mediante el coeficiente de determinación, $R^2$, que se define de la forma $R^2\overset{\text{def}}{=}(r)^2$; se tiene que $0 \le R^2\le 1$ ( que se suele expresar en tanto por ciento ), de modo que, en los casos límite, si $R^2=1$ la fuerza del ajusta es máxima y si $R^2=0$ la fuerza del ajuste es nula.
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