Resolución de ecuaciones trigonométricas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu l'equació $-3\,\sin{x}+\cos^{2}{x}=3$ per a $0 \le x \le 2\,\pi$

Resolució:
De la identitat trigonomètrica: $\cos^{2}{x}=1-\cos^{2}{x}$, expressió que
substituïda a l'equació ens permet escriure-la de tal manera que únicament aparegui la raó sinus: $-3\,\sin{x}+1-\sin^{2}{x}=3$ que, ordenada de grau més gran a grau més petit queda $\sin^{2}{x}+3\,\sin{x}+2=0$. Anomenant, a continuació, $y$ a $\sin{x}$, podrem transformar l'equació trigonomètrica en una e. polinòmica: $y^2+3\,y+2=0$. El valors de la variable $y$ que són solució d'aquesta equació són $y_1=-1$ i $y_2=-2$, tal i com podeu comprovar fàcilment. Finalment, cal desfer el canvi de nom per trobar els valors de la variable $x$ que compleixen l'equació original:

• $\text{Si} \quad y_1 := \sin{x_1}=-1 \Rightarrow x_1 = \dfrac{3}{2}\,\pi \quad \text{rad}$
  

• Si $y_2=-2$ (valor del sinus igual a -2 [!]), no és possible trobar valors per a la variable $x$ (l'argument del sinus)

[nota del autor]

Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad ( Artículo escrito en catalán )

Farem ús de les següents fórmules, que ja s'han explicat: $\sin{(\alpha \pm \beta)}= \sin{\alpha}\,\cos{\beta} \pm \sin{\beta}\,\cos{\alpha}$ $\cos{(\alpha \pm \beta)} = \cos{\alpha}\,\cos{\beta} \mp \sin{\beta}\,\sin{\alpha}$ En concret, per a la suma i la diferència de la raó sinus dels angles $\alpha$ $\pm$ $\beta$ tenim: $\sin{(\alpha + \beta)}= \sin{\alpha}\,\cos{\beta} + \sin{\beta}\,\cos{\alpha} \quad \quad (1)$ $\cos{(\alpha + \beta)}= \cos{\alpha}\,\cos{\beta} + \sin{\beta}\,\sin{\alpha} \quad \quad (2)$ En particular, si $\alpha =\beta$ trobem aquestes dues fórmules: $\sin{(2\,\alpha)}= 2\,\sin{\alpha}\,\cos{\beta} \quad \quad (3)$ $\cos{(2\,\alpha)}= \cos^{2}{(\alpha)}-\sin^{2}{(\alpha)} \quad \quad (4)$ I dividint membre a membre: $\tan{(2\,\alpha)}=\dfrac{2\,\tan{\alpha)}}{1-\tan^{2}{\alpha)}} \quad \quad (5)$ A continuació deduirem les fórmules corresponents a l'angle meitat. Per això, partirem de $(4)$. Tenint en compte la i.f. de la trigonometria $\sin^{2}{(\alpha)}+\cos^{2}{(\alpha)}=1 \quad \forall \; \alpha$, podrem escriure: $\cos{(2\,\alpha)}= \cos^{2}{(\alpha)}-\big(1-\cos^{2}{(\alpha)\big)}$ i, simplificant, $\cos{(2\,\alpha)}= -1+2\, \cos^{2}{(\alpha)} \Rightarrow \cos{(\alpha)}=\sqrt{\dfrac{1+\cos{(2 \,\alpha)}}{2}}$. Si anomenem $\theta$ a $2\,\alpha$ podem escriure la fórmula del cosinus de l'angle meitat de la forma $\cos{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1+\cos{(\theta)}}{2}}\quad \quad (6)$ També podrem escriure $(4)$ de la forma $\cos{(2\,\alpha)}= \big(1-\sin^{2}{(\alpha)}\big)-\sin^{2}{(\alpha)}$ i, simplificant, $\cos{(2\,\alpha)}= 1-2\, \sin^{2}{(\alpha)} \Rightarrow \sin{(\alpha)}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(2 \,\alpha)}}{2}}$. De manera semblant al que hem fet a dalt, podem escriure la fórmula del sinus de l'angle meitat de la forma $\sin{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(\theta)}}{2}}\quad \quad (7)$ Dividint membre a membre la igualtat $(7)$ entre la igualtat $(6)$, deduïm la fórmula de la tangent de l'angle meitat $\tan{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(\theta)}}{1+\cos{(\theta)}}} \quad \quad (8)$ $\square$

[nota del autor]

Ejercicio de clasificación de cónicas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Classifiqueu les següents corbes còniques (seccions còniques) a partir de l'equació quadràtica general

                        $\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0$

a)   $y^2+3x+5y-8=0$
b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
c)   $y^2 + x - y -4 =0$
d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$

Solució:
Recordem el criteri de classificació (estudiat i justificat a classe)
    A partir del valor
        $\delta = b^2-4\,ac$
    tenim les següents possibilitats:
        Si $\delta$ < $0 \, \rightarrow$ el·lipse
        Si $\delta \succ 0$ $\, \rightarrow$ hipèrbola
        Si $\delta$ = 0 $\, \rightarrow$ paràbola

[No hem posat aquí els casos particulars de degeneració, que porten a rectes paral·leles, secants, coincidents, o fins i tot a rectes imaginàries, punts, etcètera]

Recordem, per altra banda, que si $b \ne 0$, els eixos de la cònica (o la recta de simetria, si es tracta d'una paràbola) no són paral·lels als eixos cartesians.

Llavors,
a)   $y^2+3x+5y-8=0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola ( amb la recta de simetria paral·la a l'eix - d'abcsisses, en aquest cas - atès que $b = 0$ )

b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
      $b=0$, $a=2$, $c=4$, d'on $\delta=-32 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos paral·lels als eixos de coordenades atès que $b = 0$ )

c)   $y^2 + x - y -4 =0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola
(amb la recta de simetria paral·lela a un dels dos eixos de coordenades atès que $b = 0$ )

d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
      $b=1$, $a=1$, $c=1$, d'on $\delta=-4 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )

e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
      $b=0$, $a=1$, $c=-1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ hipèrbola (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )

f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$
      $b=0$, $a=c=1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ el·lipse, i donat que $a=c$ és, com a cas particular, una circumferència (excentricitat nul·la).
$\blacksquare$

[nota del autor]

Ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas

[nota del autor]

Sea el triángulo de vértices A(1,0), B(3,2) y C(-2,1). Calcular las coordenadas del incentro del mismo y el radio de la circunferencia inscrita.

ENUNCIADO:
Sea el triángulo de vértices A(1,0), B(3,2) y C(-2,1). Calcular las coordenadas del incentro del mismo y el radio de la circunferencia inscrita.

SOLUCIÓN:

Para determinar las coordenads del incentro, basta realizar la interseccción de dos de las tres rectas bisectrices de los respectivos ángulos del triángulos. A continuación, obtendremos el radio de la circunferencia inscrita calculando la distancia entre la recta de que contiene a uno de los lados del triángulo y el punto incentro.

Determinemos, pues, la recta bisectriz $s_{12}$ dl ángulo $\angle ACB$; para ello, escribimos las ecuaciones de las rectas: a) $r_1$, que pasa por A(1,0) y B(3,2); y b) $r_{2}$, la recta que pasa por los puntos A(1,0) y C(-2,1):
$r_{1}:\,-x+5y-7=0$
y
$r_{2}:\,x+3y-1=0$

Sabemos que la recta bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
$\text{dist}(P,r_{1})=\text{dist}(P,r_{2})$

es decir

$\dfrac{-x+5y-7}{\left|\sqrt{25}\right|}=\dfrac{x+3y-1}{\left|\sqrt{10}\right|}$

agrupando y simplificando términos semejantes,

$s_{12}:\,0,06x+y-0,87=0$, donde se han realizado los cálculos aproximando a las centésimas

A continuación, determinamos la segunda recta bisectriz, $s_{23}$, de ángulo $\angle BAC$; así que escribiendo las ecuaciones de las rectas: a) $r_2$, que pasa por A(1,0) y C(-2,1); y b) $r_{3}$, la recta que pasa por los puntos A(1,0) i B(3,2):
$r_{3}:\,-x+y+1=0$
y
$r_{2}:\,x+3y-1=0$

Entonces, esta otra recta bisectriz es
$\text{dist}(P,r_{2})=\text{dist}(P,r_{3})$

es decir

$\dfrac{-x+y+1}{\left|\sqrt{2}\right|}=\dfrac{x+3y-1}{\left|\sqrt{10}\right|}$

que, agrupando y simplificando, la escribimos de la forma
$s_{23}:\,0,97x+0,23y-0,97=0$


Determinemos, ahora, las coordenadas del punto incentro $I$, teniendo en cuenta que $I \in s_{23} \cap s_{12}$; pera ello, debemos resolver el sistema de ecuaciones

$\left.\begin{matrix} 0,06x+y-0,87=0\\ \\ 0,97x+0,23y-0,97=0\\ \end{matrix}\right\}$

obteniendo como solución: $I(0,81\;,\;0,83)$

Para terminar, calculemos el valor del radio, $r$, de la circunferencia inscrita, teniendo en cuenta que cualesquiera de las distancias $\text{dist}(I,r_1)$, $\text{dist}(I,r_2)$, ó $\text{dist}(I,r_3)$, son igual al valor del radio de la circunferencia inscrita, ya que que las rectas que pasan por el punto incentro y cualesquiera de los tres puntos de tangencia entre dicha circunferencia y los lados respectivos son perpendiculares a los mismos. Así, calculándolo, por ejemplo, a partir de $\text{dist}(I,r_{1})$, encontramos

$r = \dfrac{a_{r_1}\,x_{I}+b_{r_1}\,y_{I}+c_{r_1}}{\left|\sqrt{a_{r_1}^{2}+b_{r_1}^{2}}\right|}$

y, con los datos del problema,

$a_{r_1}=-1$
$b_{r_1}=5$
$c_{r_1}=-7$
$x_{I}=0,81$
$x_{I}=0,83$

concluimos que el radio tiene un valor de $0,72 \, \text{unitats arbitraries de longitud}$

$\square$

[nota del autor]

Determinar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son $A(0,0)$, $B(2,0)$ y $C(3,3)$

ENUNCIADO:
Determinar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son $A(0,0)$, $B(2,0)$ y $C(3,3)$

Sabemos que la intersección de les rectas medianas de un triángulo determina el baricentro, $G$, de un triángulo de vértices

$A(x_A,y_A)$

$B(x_B,y_C)$

$C(x_C,y_C)$

siendo sus coordenadas,

$G\big(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\big)$

Con los datos del ejercicio,

$G\big(\frac{0+2+3}{3},\frac{0+0+3}{3}\big)$

es decir

$G\big(\frac{5}{3},1\big)$


$\square$

[nota del autor]

Calcular el ángulo que forman las rectas ...

ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forman las rectas $r_1:\,\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}$ y $r_2:\,\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{2}$

SOLUCIÓN:
$\angle(r_1,r_2) \equiv \angle(\vec{u_1},\vec{u_2})$ donde $\vec{u_1}$ y $\vec{u_2}$ son dos vectores directores de las respectivas rectas. Entonces $\angle(\vec{u_1},\vec{u_2}) \overset{\text{def}}{=} \text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{u_1},\vec{u_2} \rangle }{\left\|\vec{u_1}\right\|\,\left\|\vec{u_2}\right\|}\right)$

Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{u_1},\vec{u_2} \rangle = \langle (1,-1),(3,2) \rangle=1\cdot 3+(-1) \cdot 2=1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{u_1}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u_1},\vec{u_1} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+(-1)^2}\right| = \left| \sqrt{2} \right|$
y
$\left\|\vec{u_2}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u_2},\vec{u_2} \rangle } \right| = \left| \sqrt{3^2+2^2}\right| = \left| \sqrt{13} \right|$
así, obtenemos
$$\angle(r_1,r_2) \equiv \angle(\vec{u_1},\vec{u_2})=\text{arccos}(\dfrac{1}{\left|\sqrt{2}\right|\,\left|\sqrt{13}\right|}) = \text{arccos}(\dfrac{1}{\left|\sqrt{26}\right|}) \approx 78^{\circ}\,41'$$


$\square$

[nota del autor]

Calcular el ángulo que forman los vectores ...

ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forman los vectores $\vec{u}=(1,2)$ y $\vec{v}=(1,-1)$

SOLUCIÓN:
$\angle(\vec{u},\vec{v}) \overset{\text{def}}{=} \text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{u},\vec{v} \rangle }{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{v}\right\|}\right)$

Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{u},\vec{v} \rangle = \langle (1,2),(1,-1) \rangle=1\cdot1+2\cdot(-1)=-1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{u}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u},\vec{u} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+2^2}\right| = \left| \sqrt{5} \right|$
y
$\left\|\vec{v}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{v},\vec{v} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+(-1)^2}\right| = \left| \sqrt{2} \right|$
obtenemos
$$\angle(\vec{u},\vec{v})=\text{arccos}(\dfrac{-1}{\left|\sqrt{5}\right|\,\left|\sqrt{2}\right|}) = \text{arccos}(\dfrac{-1}{\left|\sqrt{10}\right|}) \approx 108^{\circ}\,26'$$

$\square$

[nota del autor]

rectas bisectrices a dos rectas secantes dadas

ENUNCIADO:
Determinar la recta bisectrices, $b_1$ y $b_2$ ( $b_1 \perp b_2$ ), correspondientes a las rectas secantes $r_1:x+y-1=0$ y $r_2:2x-y+1=0$
´
SOLUCIÓN:
Dadas dos rectas secantes: $r_1:A_1x+B_1y+C_1=0$ y $r_2:A_2x+B_2y+C_2=0$, el lugar geométrico de las rectas bisectrices viene dada por el conjunto de puntos $P(x,y)$ cuya distancia a una y otra recta sea la misma, esto es, por la siguiente condición $$\text{dist}(P,r_1)=\text{dist}(P,r_2)$$
es decir $$\dfrac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$$

Vamos a aplicarlo al caso concreto del enunciado. Imponiendo la condición,
$$\dfrac{x+y-1}{\left|\sqrt{1^2+1^2}\right|}=\dfrac{2x-y+1}{\left|\sqrt{2^2+(-1)^2}\right|}$$

con lo cual, una de las dos rectas bisectrices cumple la siguiente ecuación
$$b_1:\,\left|\sqrt{5}\right|\,x+\left|\sqrt{5}\right|\,y-\left|\sqrt{5}\right|=2\left|\sqrt{2}\right|\,x-\left|\sqrt{2}\right|\,y+\left|\sqrt{2}\right|$$

y agrupando términos semejantes,
$$b_1:\,(\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|)x+(\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|)y-(\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|)=0$$

que en forma explícita queda
$$b_1:\,y=-\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}\,x+1$$

Por lo que se refiere a la otra recta bisectriz, $b_2$, al ser perpendicular a $b_1$, su pendiente, $m_{b_2}=-\dfrac{1}{m_{b_1}}$, y como $m_{b_1}=-\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}$, $m_{b_2}=\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}$

Así, $$b_2:\,y=\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}\,x+k$$

Para determinar, $k$, tenemos en cuenta que, al pasar $b_2$ ( y, por supuesto, también $b_1$ ) por el punto de intersección de $r_1$ y $r_2$, cuyas coordenadas son la solución del sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & - & 1 & = & 0 \\
2x & - & y & + & 1 & = & 0 \\
\end{matrix}\right.$$
es decir, el punto $I(0,1)$, entonces de la ecuación de $b_2$ vemos que, $1=0+k$, luego $k=1$; y, por tanto, queda así determinada dicha ecuación:
$$b_2:\,y=\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}\,x+1$$

$\square$

[nota del autor]

Distancia euclídea ( en $\mathbb{R}^2$ ) entre dos puntos

ENUNCIADO:
Calcular la distancia euclídea, en $\mathbb{R}^2$, entre los puntos $P(1,-1)$ y $Q(-1,1)$

SOLUCIÓN:
$\text{dist}(P,Q)=\left\| \vec{PQ} \right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2} \right|$
y, con los datos, obtenemos
$\text{dist}(P,Q)= \left| \sqrt{(-1-1)^2+(1-(-1))^2} \right|= \left| \sqrt{(-2)^2+2^2} \right|$
        $=2\,\left|\sqrt{2}\right|\,\text{unidades de longitud}$
$\square$

[nota del autor]

Distancia ( en el plano ) de un punto a una recta

ENUNCIADO:
Sea la recta $r:x-y+1=0$ y el punto $P(1,1)$. Calcular la distancia del punto $P$ a la recta $r$

SOLUCIÓN:
La distancia de un punto $P(x_P,y_P)$ del plano a una recta $\pi:Ax+By+C=0$ del mismo plano viene dada por
$$\text{disp}(P,\pi)=\left|\dfrac{Ax_P+By_P+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
Poniendo los datos del problema: $A=1$, $B=-1$, $C=1$; $x_P=1$, $y_P=1$, encontramos
$$\text{dist}(P,r)=\left|\dfrac{1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1}{ \sqrt{1^2+(-1)^2}}\right|=\dfrac{1}{\left|\sqrt{2}\right|}\, \text{unidades de longitud}$$
$\square$

[nota del autor]