Farem ús de les següents fórmules, que ja s'han explicat:
$\sin{(\alpha \pm \beta)}= \sin{\alpha}\,\cos{\beta} \pm \sin{\beta}\,\cos{\alpha}$
$\cos{(\alpha \pm \beta)} = \cos{\alpha}\,\cos{\beta} \mp \sin{\beta}\,\sin{\alpha}$
En concret, per a la suma i la diferència de la raó sinus dels angles $\alpha$ $\pm$ $\beta$ tenim:
$\sin{(\alpha + \beta)}= \sin{\alpha}\,\cos{\beta} + \sin{\beta}\,\cos{\alpha} \quad \quad (1)$
$\cos{(\alpha + \beta)}= \cos{\alpha}\,\cos{\beta} + \sin{\beta}\,\sin{\alpha} \quad \quad (2)$
En particular, si $\alpha =\beta$ trobem aquestes dues fórmules:
$\sin{(2\,\alpha)}= 2\,\sin{\alpha}\,\cos{\beta} \quad \quad (3)$
$\cos{(2\,\alpha)}= \cos^{2}{(\alpha)}-\sin^{2}{(\alpha)} \quad \quad (4)$
I dividint membre a membre:
$\tan{(2\,\alpha)}=\dfrac{2\,\tan{\alpha)}}{1-\tan^{2}{\alpha)}} \quad \quad (5)$
A continuació deduirem les fórmules corresponents a l'angle meitat. Per això, partirem de $(4)$. Tenint en compte la i.f. de la trigonometria $\sin^{2}{(\alpha)}+\cos^{2}{(\alpha)}=1 \quad \forall \; \alpha$, podrem escriure:
$\cos{(2\,\alpha)}= \cos^{2}{(\alpha)}-\big(1-\cos^{2}{(\alpha)\big)}$ i, simplificant,
$\cos{(2\,\alpha)}= -1+2\, \cos^{2}{(\alpha)} \Rightarrow \cos{(\alpha)}=\sqrt{\dfrac{1+\cos{(2 \,\alpha)}}{2}}$. Si anomenem $\theta$ a $2\,\alpha$ podem escriure la fórmula del cosinus de l'angle meitat de la forma $\cos{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1+\cos{(\theta)}}{2}}\quad \quad (6)$
També podrem escriure $(4)$ de la forma
$\cos{(2\,\alpha)}= \big(1-\sin^{2}{(\alpha)}\big)-\sin^{2}{(\alpha)}$ i, simplificant,
$\cos{(2\,\alpha)}= 1-2\, \sin^{2}{(\alpha)} \Rightarrow \sin{(\alpha)}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(2 \,\alpha)}}{2}}$. De manera semblant al que hem fet a dalt, podem escriure la fórmula del sinus de l'angle meitat de la forma
$\sin{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(\theta)}}{2}}\quad \quad (7)$
Dividint membre a membre la igualtat $(7)$ entre la igualtat $(6)$, deduïm la fórmula de la tangent de l'angle meitat
$\tan{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(\theta)}}{1+\cos{(\theta)}}} \quad \quad (8)$
$\square$
|
