Calcular el ángulo que forman las rectas ...

ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forman las rectas $r_1:\,\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}$ y $r_2:\,\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{2}$

SOLUCIÓN:
$\angle(r_1,r_2) \equiv \angle(\vec{u_1},\vec{u_2})$ donde $\vec{u_1}$ y $\vec{u_2}$ son dos vectores directores de las respectivas rectas. Entonces $\angle(\vec{u_1},\vec{u_2}) \overset{\text{def}}{=} \text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{u_1},\vec{u_2} \rangle }{\left\|\vec{u_1}\right\|\,\left\|\vec{u_2}\right\|}\right)$

Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{u_1},\vec{u_2} \rangle = \langle (1,-1),(3,2) \rangle=1\cdot 3+(-1) \cdot 2=1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{u_1}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u_1},\vec{u_1} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+(-1)^2}\right| = \left| \sqrt{2} \right|$
y
$\left\|\vec{u_2}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u_2},\vec{u_2} \rangle } \right| = \left| \sqrt{3^2+2^2}\right| = \left| \sqrt{13} \right|$
así, obtenemos
$$\angle(r_1,r_2) \equiv \angle(\vec{u_1},\vec{u_2})=\text{arccos}(\dfrac{1}{\left|\sqrt{2}\right|\,\left|\sqrt{13}\right|}) = \text{arccos}(\dfrac{1}{\left|\sqrt{26}\right|}) \approx 78^{\circ}\,41'$$


$\square$

[nota del autor]