ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forman los vectores $\vec{u}=(1,2)$ y $\vec{v}=(1,-1)$
SOLUCIÓN:
$\angle(\vec{u},\vec{v}) \overset{\text{def}}{=} \text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{u},\vec{v} \rangle }{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{v}\right\|}\right)$
Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{u},\vec{v} \rangle = \langle (1,2),(1,-1) \rangle=1\cdot1+2\cdot(-1)=-1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{u}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u},\vec{u} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+2^2}\right| = \left| \sqrt{5} \right|$
y
$\left\|\vec{v}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{v},\vec{v} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+(-1)^2}\right| = \left| \sqrt{2} \right|$
obtenemos
$$\angle(\vec{u},\vec{v})=\text{arccos}(\dfrac{-1}{\left|\sqrt{5}\right|\,\left|\sqrt{2}\right|}) = \text{arccos}(\dfrac{-1}{\left|\sqrt{10}\right|}) \approx 108^{\circ}\,26'$$
$\square$
