ENUNCIADO:
Sea el triángulo de vértices A(1,0), B(3,2) y C(-2,1). Calcular las coordenadas del incentro del mismo y el radio de la circunferencia inscrita.
SOLUCIÓN:
Para determinar las coordenads del incentro, basta realizar la interseccción de dos de las tres rectas bisectrices de los respectivos ángulos del triángulos. A continuación, obtendremos el radio de la circunferencia inscrita calculando la distancia entre la recta de que contiene a uno de los lados del triángulo y el punto incentro.
Determinemos, pues, la recta bisectriz $s_{12}$ dl ángulo $\angle ACB$; para ello, escribimos las ecuaciones de las rectas: a) $r_1$, que pasa por A(1,0) y B(3,2); y b) $r_{2}$, la recta que pasa por los puntos A(1,0) y C(-2,1):
$r_{1}:\,-x+5y-7=0$
y
$r_{2}:\,x+3y-1=0$
Sabemos que la recta bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
$\text{dist}(P,r_{1})=\text{dist}(P,r_{2})$
es decir
$\dfrac{-x+5y-7}{\left|\sqrt{25}\right|}=\dfrac{x+3y-1}{\left|\sqrt{10}\right|}$
agrupando y simplificando términos semejantes,
$s_{12}:\,0,06x+y-0,87=0$, donde se han realizado los cálculos aproximando a las centésimas
A continuación, determinamos la segunda recta bisectriz, $s_{23}$, de ángulo $\angle BAC$; así que escribiendo las ecuaciones de las rectas: a) $r_2$, que pasa por A(1,0) y C(-2,1); y b) $r_{3}$, la recta que pasa por los puntos A(1,0) i B(3,2):
$r_{3}:\,-x+y+1=0$
y
$r_{2}:\,x+3y-1=0$
Entonces, esta otra recta bisectriz es
$\text{dist}(P,r_{2})=\text{dist}(P,r_{3})$
es decir
$\dfrac{-x+y+1}{\left|\sqrt{2}\right|}=\dfrac{x+3y-1}{\left|\sqrt{10}\right|}$
que, agrupando y simplificando, la escribimos de la forma
$s_{23}:\,0,97x+0,23y-0,97=0$
Determinemos, ahora, las coordenadas del punto incentro $I$, teniendo en cuenta que $I \in s_{23} \cap s_{12}$; pera ello, debemos resolver el sistema de ecuaciones
$\left.\begin{matrix} 0,06x+y-0,87=0\\ \\ 0,97x+0,23y-0,97=0\\ \end{matrix}\right\}$
obteniendo como solución: $I(0,81\;,\;0,83)$
Para terminar, calculemos el valor del radio, $r$, de la circunferencia inscrita, teniendo en cuenta que cualesquiera de las distancias $\text{dist}(I,r_1)$, $\text{dist}(I,r_2)$, ó $\text{dist}(I,r_3)$, son igual al valor del radio de la circunferencia inscrita, ya que que las rectas que pasan por el punto incentro y cualesquiera de los tres puntos de tangencia entre dicha circunferencia y los lados respectivos son perpendiculares a los mismos. Así, calculándolo, por ejemplo, a partir de $\text{dist}(I,r_{1})$, encontramos
$r = \dfrac{a_{r_1}\,x_{I}+b_{r_1}\,y_{I}+c_{r_1}}{\left|\sqrt{a_{r_1}^{2}+b_{r_1}^{2}}\right|}$
y, con los datos del problema,
$a_{r_1}=-1$
$b_{r_1}=5$
$c_{r_1}=-7$
$x_{I}=0,81$
$x_{I}=0,83$
concluimos que el radio tiene un valor de $0,72 \, \text{unitats arbitraries de longitud}$
$\square$
