Sea el triángulo de vértices A(1,0), B(3,2) y C(-2,1). Calcular las coordenadas del incentro del mismo y el radio de la circunferencia inscrita.

ENUNCIADO:
Sea el triángulo de vértices A(1,0), B(3,2) y C(-2,1). Calcular las coordenadas del incentro del mismo y el radio de la circunferencia inscrita.

SOLUCIÓN:

Para determinar las coordenads del incentro, basta realizar la interseccción de dos de las tres rectas bisectrices de los respectivos ángulos del triángulos. A continuación, obtendremos el radio de la circunferencia inscrita calculando la distancia entre la recta de que contiene a uno de los lados del triángulo y el punto incentro.

Determinemos, pues, la recta bisectriz $s_{12}$ dl ángulo $\angle ACB$; para ello, escribimos las ecuaciones de las rectas: a) $r_1$, que pasa por A(1,0) y B(3,2); y b) $r_{2}$, la recta que pasa por los puntos A(1,0) y C(-2,1):
$r_{1}:\,-x+5y-7=0$
y
$r_{2}:\,x+3y-1=0$

Sabemos que la recta bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
$\text{dist}(P,r_{1})=\text{dist}(P,r_{2})$

es decir

$\dfrac{-x+5y-7}{\sqrt{25}}=\dfrac{x+3y-1}{\sqrt{10}}$

agrupando y simplificando términos semejantes,

$s_{12}:\,0,06x+y-0,87=0$, donde se han realizado los cálculos aproximando a las centésimas

A continuación, determinamos la segunda recta bisectriz, $s_{23}$, de ángulo $\angle BAC$; así que escribiendo las ecuaciones de las rectas: a) $r_2$, que pasa por A(1,0) y C(-2,1); y b) $r_{3}$, la recta que pasa por los puntos A(1,0) i B(3,2):
$r_{3}:\,-x+y+1=0$
y
$r_{2}:\,x+3y-1=0$

Entonces, esta otra recta bisectriz es
$\text{dist}(P,r_{2})=\text{dist}(P,r_{3})$

es decir

$\dfrac{-x+y+1}{\sqrt{2}}=\dfrac{x+3y-1}{\sqrt{10}}$

que, agrupando y simplificando, la escribimos de la forma
$s_{23}:\,0,97x+0,23y-0,97=0$


Determinemos, ahora, las coordenadas del punto incentro $I$, teniendo en cuenta que $I \in s_{23} \cap s_{12}$; pera ello, debemos resolver el sistema de ecuaciones

$\left.\begin{matrix} 0,06x+y-0,87=0\\ \\ 0,97x+0,23y-0,97=0\\ \end{matrix}\right\}$

obteniendo como solución: $I(0,81\;,\;0,83)$

Para terminar, calculemos el valor del radio, $r$, de la circunferencia inscrita, teniendo en cuenta que cualesquiera de las distancias $\text{dist}(I,r_1)$, $\text{dist}(I,r_2)$, ó $\text{dist}(I,r_3)$, son igual al valor del radio de la circunferencia inscrita, ya que que las rectas que pasan por el punto incentro y cualesquiera de los tres puntos de tangencia entre dicha circunferencia y los lados respectivos son perpendiculares a los mismos. Así, calculándolo, por ejemplo, a partir de $\text{dist}(I,r_{1})$, encontramos

$r = \dfrac{a_{r_1}\,x_{I}+b_{r_1}\,y_{I}+c_{r_1}}{\sqrt{a_{r_1}^{2}+b_{r_1}^{2}}}$

y, con los datos del problema,

$a_{r_1}=-1$
$b_{r_1}=5$
$c_{r_1}=-7$
$x_{I}=0,81$
$x_{I}=0,83$

concluimos que el radio tiene un valor de $0,72 \, \text{unitats arbitraries de longitud}$

$\square$

[nota del autor]

rectas bisectrices a dos rectas secantes dadas

ENUNCIADO:
Determinar la recta bisectrices, $b_1$ y $b_2$ ( $b_1 \perp b_2$ ), correspondientes a las rectas secantes $r_1:x+y-1=0$ y $r_2:2x-y+1=0$
´
SOLUCIÓN:
Dadas dos rectas secantes: $r_1:A_1x+B_1y+C_1=0$ y $r_2:A_2x+B_2y+C_2=0$, el lugar geométrico de las rectas bisectrices viene dada por el conjunto de puntos $P(x,y)$ cuya distancia a una y otra recta sea la misma, esto es, por la siguiente condición $$\text{dist}(P,r_1)=\text{dist}(P,r_2)$$
es decir $$\dfrac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$$

Vamos a aplicarlo al caso concreto del enunciado. Imponiendo la condición,
$$\dfrac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{2x-y+1}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$$

con lo cual, una de las dos rectas bisectrices cumple la siguiente ecuación
$$b_1:\,\sqrt{5}\,x+\sqrt{5}\,y-\sqrt{5}=2\sqrt{2}\,x-\sqrt{2}\,y+\sqrt{2}$$

y agrupando términos semejantes,
$$b_1:\,(\sqrt{5}-2\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+\sqrt{2})y-(\sqrt{5}+\sqrt{2})=0$$

que en forma explícita queda
$$b_1:\,y=-\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\,x+1$$

Por lo que se refiere a la otra recta bisectriz, $b_2$, al ser perpendicular a $b_1$, su pendiente, $m_{b_2}=-\dfrac{1}{m_{b_1}}$, y como $m_{b_1}=-\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$, $m_{b_2}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}$

Así, $$b_2:\,y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}\,x+k$$

Para determinar, $k$, tenemos en cuenta que, al pasar $b_2$ ( y, por supuesto, también $b_1$ ) por el punto de intersección de $r_1$ y $r_2$, cuyas coordenadas son la solución del sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & - & 1 & = & 0 \\
2x & - & y & + & 1 & = & 0 \\
\end{matrix}\right.$$
es decir, el punto $I(0,1)$, entonces de la ecuación de $b_2$ vemos que, $1=0+k$, luego $k=1$; y, por tanto, queda así determinada dicha ecuación:
$$b_2:\,y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}\,x+1$$

$\square$

[nota del autor]