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jueves, 12 de marzo de 2015

rectas bisectrices a dos rectas secantes dadas

ENUNCIADO:
Determinar la recta bisectrices, b_1 y b_2 ( b_1 \perp b_2 ), correspondientes a las rectas secantes r_1:x+y-1=0 y r_2:2x-y+1=0
´
SOLUCIÓN:
Dadas dos rectas secantes: r_1:A_1x+B_1y+C_1=0 y r_2:A_2x+B_2y+C_2=0, el lugar geométrico de las rectas bisectrices viene dada por el conjunto de puntos P(x,y) cuya distancia a una y otra recta sea la misma, esto es, por la siguiente condición \text{dist}(P,r_1)=\text{dist}(P,r_2)
es decir \dfrac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}

Vamos a aplicarlo al caso concreto del enunciado. Imponiendo la condición,
\dfrac{x+y-1}{\left|\sqrt{1^2+1^2}\right|}=\dfrac{2x-y+1}{\left|\sqrt{2^2+(-1)^2}\right|}

con lo cual, una de las dos rectas bisectrices cumple la siguiente ecuación
b_1:\,\left|\sqrt{5}\right|\,x+\left|\sqrt{5}\right|\,y-\left|\sqrt{5}\right|=2\left|\sqrt{2}\right|\,x-\left|\sqrt{2}\right|\,y+\left|\sqrt{2}\right|

y agrupando términos semejantes,
b_1:\,(\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|)x+(\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|)y-(\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|)=0

que en forma explícita queda
b_1:\,y=-\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}\,x+1

Por lo que se refiere a la otra recta bisectriz, b_2, al ser perpendicular a b_1, su pendiente, m_{b_2}=-\dfrac{1}{m_{b_1}}, y como m_{b_1}=-\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}, m_{b_2}=\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}

Así, b_2:\,y=\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}\,x+k

Para determinar, k, tenemos en cuenta que, al pasar b_2 ( y, por supuesto, también b_1 ) por el punto de intersección de r_1 y r_2, cuyas coordenadas son la solución del sistema de ecuaciones:
\left\{\begin{matrix} x & + & y & - & 1 & = & 0 \\ 2x & - & y & + & 1 & = & 0 \\ \end{matrix}\right.
es decir, el punto I(0,1), entonces de la ecuación de b_2 vemos que, 1=0+k, luego k=1; y, por tanto, queda así determinada dicha ecuación:
b_2:\,y=\dfrac{\left|\sqrt{5}\right|+\left|\sqrt{2}\right|}{\left|\sqrt{5}\right|-2\left|\sqrt{2}\right|}\,x+1

\square

[nota del autor]

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