rectas bisectrices a dos rectas secantes dadas

ENUNCIADO:
Determinar la recta bisectrices, $b_1$ y $b_2$ ( $b_1 \perp b_2$ ), correspondientes a las rectas secantes $r_1:x+y-1=0$ y $r_2:2x-y+1=0$
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SOLUCIÓN:
Dadas dos rectas secantes: $r_1:A_1x+B_1y+C_1=0$ y $r_2:A_2x+B_2y+C_2=0$, el lugar geométrico de las rectas bisectrices viene dada por el conjunto de puntos $P(x,y)$ cuya distancia a una y otra recta sea la misma, esto es, por la siguiente condición $$\text{dist}(P,r_1)=\text{dist}(P,r_2)$$
es decir $$\dfrac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$$

Vamos a aplicarlo al caso concreto del enunciado. Imponiendo la condición,
$$\dfrac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{2x-y+1}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$$

con lo cual, una de las dos rectas bisectrices cumple la siguiente ecuación
$$b_1:\,\sqrt{5}\,x+\sqrt{5}\,y-\sqrt{5}=2\sqrt{2}\,x-\sqrt{2}\,y+\sqrt{2}$$

y agrupando términos semejantes,
$$b_1:\,(\sqrt{5}-2\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+\sqrt{2})y-(\sqrt{5}+\sqrt{2})=0$$

que en forma explícita queda
$$b_1:\,y=-\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\,x+1$$

Por lo que se refiere a la otra recta bisectriz, $b_2$, al ser perpendicular a $b_1$, su pendiente, $m_{b_2}=-\dfrac{1}{m_{b_1}}$, y como $m_{b_1}=-\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$, $m_{b_2}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}$

Así, $$b_2:\,y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}\,x+k$$

Para determinar, $k$, tenemos en cuenta que, al pasar $b_2$ ( y, por supuesto, también $b_1$ ) por el punto de intersección de $r_1$ y $r_2$, cuyas coordenadas son la solución del sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & - & 1 & = & 0 \\
2x & - & y & + & 1 & = & 0 \\
\end{matrix}\right.$$
es decir, el punto $I(0,1)$, entonces de la ecuación de $b_2$ vemos que, $1=0+k$, luego $k=1$; y, por tanto, queda así determinada dicha ecuación:
$$b_2:\,y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}\,x+1$$

$\square$

[nota del autor]