Consideremos un triángulo general $\triangle(A,B,C)$. Entonces, el baricentro $G$ de dicho triángulo es $$G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$$
DEMOSTRACIÓN.
El baricentro de un triángulo, que es el punto de intersección de las rectas medianas, tal como se muestra en la siguiente figura:
Tranzando las rectas $n$ y $l$, paralelas a la recta mediana $k$ que pasa por $B$, de tal manera que dichas rectas ( $n$ y $l$ ) pasen por los puntos medios de los segmentos $[B,C]$ y $[A,B]$ ( $M[B,C]$ y $M[A,B]$ ),
vemos que éstas intersecan en los puntos $H$ y $J$ del segmento $[A,C]$, los cuales, junto con el punto $F$ ( que es el punto medio $M_{[A,C]}$ ) dividen el lado $b$ ( el segmento $[A,C]$ ) en cuatro partes iguales; así, el segmento $[A,M_{[B,C]}]$ queda a su vez dividido en tres partes iguales ( teorema de Tales ): $[A,K]$, $[K,G]$ ( recordemos que $G$ es el baricentro del triángulo ) y $[G,M_{[B,C]}]$. De ello se concluye que $$\overline{AG}=\dfrac{2}{3}\,\overline{A\,\,M_{[B,C]}}$$ y, procediendo de manera análoga a partir de los vértices $B$y $C$ deducimos que $$\overline{BG}=\dfrac{2}{3}\,\overline{B\,\,M_{[A,C]}}$$ y $$\overline{CG}=\dfrac{2}{3}\,\overline{C\,\,M_{[A,B]}}$$
Tendremos en cuenta este importante resultado para terminar la demostración de la proposición. Siendo $O$ el origen de coordenadas de un sistema de referencia afín del plano vectorial, podemos escribir el vector de posición del baricentro $G$ como $$\overset{\rightarrow}{OG}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AG}$$ y teniendo en cuenta el resultado anterior,
$$\overset{\rightarrow}{OG}=\overset{\rightarrow}{OA}+\dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{AM_{[B,C]}}$$ esto es $$(x_G,y_G)=(x_A,y_A)+\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{x_B+x_C}{2}-x_A,\dfrac{y_B+y_C}{2}-y_A\right)$$ y simplificando llegamos finalmente a $$(x_G,y_G)=\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$$
COROLARIO.
Teniendo en cuenta que $$\overset{\rightarrow}{OG}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AG}=\overset{\rightarrow}{OB}+\overset{\rightarrow}{BG}=\overset{\rightarrow}{OC}+\overset{\rightarrow}{CG}$$ por consiguiente $$3\,\overset{\rightarrow}{OG}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{OB}+\overset{\rightarrow}{OC}+\overset{\rightarrow}{AG}+\overset{\rightarrow}{BG}+\overset{\rightarrow}{CG}$$ luego $$\overset{\rightarrow}{OG}=\dfrac{1}{3}\,\left(\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{OB}+\overset{\rightarrow}{OC}\right)+\dfrac{1}{3}\,\left(\overset{\rightarrow}{AG}+\overset{\rightarrow}{BG}+\overset{\rightarrow}{CG}\right)$$ en consecuencia, y habida cuenta de la proposición que hemos demostrado, deberá cumplirse que $$\overset{\rightarrow}{AG}+\overset{\rightarrow}{BG}+\overset{\rightarrow}{CG}=\vec{0}$$
$\square$
