En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de suma de razones trigonométrics en producto de razones: $$\sin (\gamma)+ \sin(\delta) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (i)$$ $$\cos (\gamma)+ \cos(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (ii)$$ $$\sin (\gamma)- \sin(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\quad \quad (iii)$$ $$\cos (\delta)- \cos(\gamma) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \sin\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (iv)$$
Para ello, recurrimos a las fórmulas de las transformaciones de producto en suma que hemos justificado en el artículo anterior: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$
Denominando $$\gamma=\alpha+\beta \quad \quad (b)$$ $$\delta=\alpha-\beta \quad \quad (b)$$ y sumando miembro a miembro (a) y (b) podemos escribir $$\alpha=\dfrac{\gamma+\delta}{2} \quad \quad (c)$$ y restando (b) de (a), $$\beta=\dfrac{\gamma-\delta}{2} \quad \quad (d)$$ Basta ahora con sustituir (c) y (d) en (1),(2),(3) y (4) para obtener las igualdades pedidas. $\diamond$
