Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos

Observemos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos $\alpha$ y $\beta$, situados en el primer cuadrante. Nos proponemos demostrar la siguiente fórmula trigonométrica que da cuenta del seno del ángulo suma de $\alpha+\beta$, también del primer cuadrante: $$\sin(\alpha +\beta)=\sin(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\cos(\alpha)$$

Veámoslo. Del triángulo rectángulo $\triangle OAB$ vemos que $\sin(\alpha+\beta)=\overline{AB}=\overline{FQ}+\overline{EQ} \quad \quad (1)$. Y como $\triangle QFB \sim \triangle OCD$, podemos escribir que $\overline{FQ}=\overline{QB}\cdot \cos(\alpha)$, y como en el triángulo rectángulo $\triangle OQB$, $\overline{QB}=1\cdot \sin(\beta)$, se tiene que $\overline{FQ}=\sin(\beta)\cdot \cos(\alpha) \quad \quad (2)$

Por otra parte $\triangle OEQ \sim \triangle ODC$ luego $\dfrac{\overline{EQ}}{\overline{CD}}=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{OC}} \Rightarrow \overline{EQ}=\overline{CD}\cdot \overline{OQ}$, ya que $\overline{OC}=1$. Teniendo en cuenta que en el triángulo rectángulo $\triangle OQB$, $\overline{OQ}=\cos(\beta)$ y que en el triángulo rectángulo $\triangle ODC$m $\overline{CD}=\sin(\alpha)$, podemos escribir $\overline{EQ}=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \quad \quad (3)$.

Sustituyendo ahora (2) y (3) en (1), se justifica la fórmula propuesta.

Mediante un dibujo similar, y procediendo de manera análoga, es muy fácil demostrar que $$\sin(\alpha -\beta)=\sin(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\cos(\alpha)$$

Podemos sacar más provecho de la figura, para justificar estas otras dos fórmulas empleando razonamientos similares: $$\cos(\alpha +\beta)=\cos(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$$ $$\cos(\alpha -\beta)=\cos(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$$

Por lo que se refiere a la razón tangente de la suma de ángulos, sabemos que $$\tan(\alpha+\beta):=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\sin(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\sin(\alpha)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos(\alpha)\,cos(\beta)$, y simplificando se llega a $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$$ Teniendo en cuenta ahora que $\tan(\alpha):=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ y $\tan(\beta):=\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$, podemos escribir $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\,\tan(\beta)}$$

Y en cuanto a la tangente de la diferencia de ángulos: $$\tan(\alpha-\beta):=\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\dfrac{\sin(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\sin(\alpha)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos(\alpha)\,cos(\beta)$, y simplificando se llega a $$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$$, por tanto podemos escribir $$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\,\tan(\beta)}$$

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