Identidades trigonométricas. Fórmulas de transformación de «producto en suma»

En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de productos de razones trigonométrics en sumas:

$$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Para ello, recurrimos a las fórmulas conocidas del seno y del coseno de la suma y de la diferencia de razones trigonométricas:

$$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)\quad \quad (5)$$ $$\sin(\alpha - \beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)\quad \quad (6)$$ $$\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)\quad \quad (7)$$ $$\cos(\alpha - \beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)\quad \quad (8)$$

Sumando miembro a miembro (5) y (6) se obtiene (1); restando (6) de (5) se obtiene (3); sumando (7) y (8) se obtiene (4), y restando (7) de (8) se llega a (2).$\diamond$