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miércoles, 17 de agosto de 2022

Identidades trigométricas. Fórmulas de transformación de «suma en producto» de razones

En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de suma de razones trigonométrics en producto de razones: \sin (\gamma)+ \sin(\delta) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (i) \cos (\gamma)+ \cos(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (ii) \sin (\gamma)- \sin(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\quad \quad (iii) \cos (\delta)- \cos(\gamma) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \sin\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (iv)

Para ello, recurrimos a las fórmulas de las transformaciones de producto en suma que hemos justificado en el artículo anterior: \sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1) \cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2) \sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3) \sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)

Denominando \gamma=\alpha+\beta \quad \quad (b) \delta=\alpha-\beta \quad \quad (b) y sumando miembro a miembro (a) y (b) podemos escribir \alpha=\dfrac{\gamma+\delta}{2} \quad \quad (c) y restando (b) de (a), \beta=\dfrac{\gamma-\delta}{2} \quad \quad (d) Basta ahora con sustituir (c) y (d) en (1),(2),(3) y (4) para obtener las igualdades pedidas. \diamond

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