Resolución de un problema de números enteros que pasa por resolver una ecuación diofántica lineal

En este artículo expongo la resolución de un problema que consiste en resolver una sencilla ecuación con coeficientes enteros cuyas solución debe estar en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica) y que, en este caso en particular, han de ser números enteros no negativos. Y dice así:

Se nos informa de que dos equipos, $X$ e $Y$, (del deporte que queráis imaginar) han jugado un conjunto de partidos, de tal manera que el doble de los partidos ganados por $X$ más el número de partidos ganados por $Y$ es igual a $12$. ¿Cuáles son las maneras (resultados) en que tal cosa ha podido acontecer?.

Escribo primero la ecuación pertinente, de acuerdo con la información del enunciado: $$2x+y=12$$ Desde luego, habrá la solución de dicha ecuación estará formada por más de una pareja de números enteros no negativos — como valores de las variables (incógnitas)—, que denoto por $(x,y)$, y que, al sustituirlos en la ecuación, cumplirán la igualdad numérica entre los dos miembros de la misma, razón por la cual, esta ecuación hay que resolverla en el conjunto de los números naturales, con el añadido del número $0$. Podemos decir, por ello, que es una ecuación diofántica, si bien muy sencilla. Tendremos que contemplar tres casos, que debemos examinar:

1. Caso en que $a=b$
     Entonces, la ecuación pasa a ser $2x+x=12$, y por tanto, $3x=12$, de la cual se obtiene que $x=4$ y, por supuesto, $y=4$. Así, tenemos que en la solución está la pareja $(4,4)$
2. Caso en que $x\gt y$
     Siendo así, $12=2x+y\lt 2x+x$, es decir $3x \gt 12$ y, por tanto, $x \gt 4$; por otra parte, al ser $y\gt 0$, se tiene que $2x\le 12$, luego $x\le 6$. Entonces, los posibles valores de $x$ que aportan solución son tales que $4\lt x \le 6$. Dicho de otro modo, los valores que, en principio, puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6\}$. Examino a continuación, qué valores de $y$ corresponden a cada uno de éstos (a partir del despeje de $b$ en la ecuación: $y=12-2x$):
   • Si $x=5$, entonces $y=12-2\cdot 5=12-10=2$, luego $(5,2)$ forma parate de la solución
   • Si $x=6$, entonces $y=12-2\cdot 6=12-12=0$, luego otra pareja que forma parte de la solución es $(6,0)$
   • Si $x=7$, entonces $y=12-2\cdot 7=12-14=-2 \notin \mathbb{N} \cup \{0\} $, por lo que este valor de $x$ no aporta nada a la solución
   Observación: Obviamente, como ya se ha avanzado, si $x \gt 7$, se obtienen números negativos para $y$.
3. Caso en que $y\gt x$
     Siendo así, $12=2x+y \lt 2y+y=3y$, es decir $3y \gt 12$ y, por tanto, $y \gt 4$; y, como, por otra parte, $y\le 12$, los valores posibles son tales que $4 \lt y \le 12$; dicho de otro modo, los valores a examinar que puede tomar $x$ ante esa posibilidad son: $\{5,6,7,8,9,19,11,12\}$. A continuación, voy a examinar de dicho conjunto dan valores de $x$ que sean consistentes, a partir del despeje de $x$ en la ecuación: $x=\dfrac{12-y}{2}$:
   • Si $y=5$, entonces $x=\dfrac{12-5}{2}=\dfrac{7}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=6$, entonces $x=\dfrac{12-6}{2}=\dfrac{6}{2}=3 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(3,6)$ forma parte de la solución
   • Si $y=7$, entonces $x=\dfrac{12-7}{2}=\dfrac{5}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=8$, entonces $x=\dfrac{12-8}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(2,8)$ forma parte de la solución
   • Si $y=9$, entonces $x=\dfrac{12-9}{2}=\dfrac{3}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=10$, entonces $x=\dfrac{12-10}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(1,10)$ forma parte de la solución
   • Si $y=11$, entonces $x=\dfrac{12-11}{2}=\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\cup \{0\}$, por lo que este valor no aporta nada a la solución
   • Si $y=12$, entonces $x=\dfrac{12-12}{2}=\dfrac{0}{2}=0 \in \mathbb{N}\cup \{0\}$, luego $(0,12)$ forma parte de la solución

En conclusión, la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números $(x,y)$, enteros no negativos: $\{(4,4),(5,2),(6,0);(3,6),(2,8),(1,10),(0,12)\}$.

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Aquí puedes ver otra manera de resolver el problema: empleando el método estándar de resolución de las ecuaciones diofánticas lineales (que se basa en el lema de Bézout)

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Un ejemplo de uso de Python para calcular el factorial de un número (entero no negativo) dado

El siguiente ejemplo de elaboración de programas empleando Python es muy sencillito. Puedes implementarlo en tu ordenador —instalando previamente el intérprete y algún entorno de programación (IDE) de Python—, o, bien, si dispones de de una Raspberry Pi, no te hará falta arreglar nada, pues Python es una pieza esencial en esa máquina, y ya viene preparado todo lo necesario. Por otra parte, te resultará también muy sencillo si utilizas alguna calculadora programable en este lenguaje (por ejemplo la calculadora Numworks); si no la tienes, no te preocupes: no hace falta que la compres, pues puedes utilizar el emulador en línea de la misma, abriendo un navegador de internet y siguiendo este enlace: https://www.numworks.com/simulator/. Te irás acostumbrando poco a poco de servirte de este efectivo recurso (programar): investigar y ayudarte así (escribiendo algoritmos e implementándolos) a resolver problemas de cálculo numérico.

Ejemplo. Cálculo del factorial de $n \in \mathbb{Z}\cup \{0\}$, $n!:=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot 1$, siendo $0!=1$

def factorial(n):
    resultado = 1
    for i in range(1, n+1):
        resultado *= i
    return resultado

print(factorial(5))  # imprime 120 (5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5)

En esta secuencia de imágenes te muestro los pasos que debes seguir para escribir (editar) el programa y ejecutarlo en el emulador en línea de la calculadora Numworks (lo encontraréis en su página web: https://www.numworks.com/simulator/):

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Ejemplo de resolución de un caso concreto de ecuación diofántica no lineal con dos variables

Se considera la ecuación $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$, donde $x,y$ son números enteros naturales distintos y finitos. Se trata de un tipo particular de ecuación diofántica no lineal. Veamos cómo resolverla.

Voy a suponer, sin pérdida de generalidad, que $x\gt y$ (los resultados serán también válidos si suponemos que $y\gt x$); entonces $\dfrac{1}{x}\lt \dfrac{1}{y} \therefore \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{y}$; es decir, $\dfrac{1}{4}\lt \dfrac{2}{y} \Rightarrow y \lt 8$; y, recordando que estamos trantando con números positivos, llegamos a la siguiente acotación para $y$: $$1 \le y \lt 8$$

Voy a examinar ahora qué valores puede tomar la variable $x$ (teniendo en cuenta la acotación de $y$). Voy a despejar $x$ de $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$; para ello, multiplico ambos miembros por $4xy$ y llego a la ecuación equivalente $\dfrac{4xy}{x}+\dfrac{4xy}{y}=\dfrac{4xy}{4}$; simplificando, queda: $4y+4x-xy=0$, luego $x(4-y)+4y=0$, por tanto $$x=\dfrac{4y}{y-4}$$ Procedo a encontrar las parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución. Para ello, voy a calcular el valor de $x$ (si lo hay) para cada uno de los valores posibles de $y: 1,2,3,4,5,6,7$. Entonces,

• Si $y=1$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 1}{1-4}=-\dfrac{4}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=2$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 2}{2-4}=-4 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=3$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 3}{3-4}=\dfrac{12}{-1}=-12 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=4$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 4}{4-4}=\dfrac{16}{0}=\infty$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=5$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 5}{5-4}=\dfrac{20}{1}=20 \in \mathbb{N}$, por tanto, $(20,5)$ —; recordemos que al suponer al principio que $x\gt y)$, bien podríamos haber supuesto que $y\gt x$, llegando también a encontrar esta otra solución—; y, permutando los valores de $x$ e $y$ la pareja $(5,20)$ también forma parte de la solución.
• Si $y=6$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 6}{6-4}=\dfrac{24}{2}=12 \in \mathbb{N}$ y por tanto, $(12,6)$ forma parte de la solución (por el mismo argumento del caso anterior), al igual que $(6,12)$.
• Si $y=7$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 7}{7-4}=\dfrac{28}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.

Resumiendo: la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números naturales: $\{(5,20),(20,5);(6,12),(12,6)\}$. $\diamond$

Una ecuación (no algebraica) bien curiosa

Me he encontrado con la siguiente ecuación $x^x=x$, siendo $\mathbb{R} \ni x \neq 0 $. Voy a entretenerme a resolver esta ecuación y, de paso, a apuntar una interesante generalización de la solución de dicha ecuación a otras que tienen la misma forma pero que son un poco más complicadas a la hora de analizarlas.

Mediante un sencillo ensayo de prueba y error, vemos que tanto $1$ como $-1$ satisfacen la igualdad; sin embargo, ¿consta la solución de más valores además de estos dos? Voy a resolver la ecuación, paso a paso, para demostrar que no hay más valores en las solución que éstos. Primero, nos conviene escribir la ecuación de manera equivalente como $x^x-x=0$. Entonces, como $x\neq 0$, sólo caben dos posibilidades, que $x$ sea un número positivo o bien que sea un número negativo:

1. Si $x\gt 0$, al ser $x\neq 0$, únicamente puede anular el primer miembro de la ecuación el segundo factor; entonces $x^x-x=0 \Rightarrow x\,(x^{x-1}-1)=0$, luego $x^{x-1}-1=0$, esto es $x^{x-1}=1$, que puede expresarse de la forma $x^{x-1}=x^0 \Rightarrow x-1=0$, con lo cual encontramos un primer valor para la solución $x_1=1$, que podemos comprobar sustituyendo en la ecuación, para ver que se cumple la igualda numérica: $1^{1}=1$, que es igual al valor del segundo miembro.
2. Si $x\lt 0$, entonces $-x\gt 0 \therefore -x^{-x}-(-x)=0$, ecuación que podemos estudiar de la misma manera que en el caso anterior, es decir, $-x^{-x}+x=0$ luego $x\,(-x^{-x-1}+1)=0 \Rightarrow -x^{-x-1}+1)=0$, habida cuenta de que el primer factor, $-x$, no es nulo, luego $-x^{-x-1}=-1$, y por tanto $x^{-x-1}=1$, que puede expresarse de la forma $x^{-x-1}=x^0 \Rightarrow -x-1=0$, entonces la solución consta de un segundo valor: $x_2=-1$. En efecto, si substituimos en la ecuación se cumple la igualda numérica: $-1^{-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$, que es igual al valor del segundo miembro.

-oOo- Observación (generalización): En general, y siempre que $x\neq 0$, puede comprobarse que para cualquier ecuación de la forma $\displaystyle x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}=x$, los únicos valores que forman la solución en $\mathbb{R}$ son los números enteros $-1$ y $1$. Ésto se puede hacer, por ejemplo, realizando la gráfica de la función $\displaystyle f(x)=x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}-x$ a partir de la elaboración de una tabla de valores —os sugiero que utilicéis una hoja de cálculo— para observar que, al visualizar la gráfica, los (únicos) dos puntos de intersección de la gráfica con el eje de abscisas son los que tienen esos valores por abscisas. Y, desde luego, si substituimos uno y otro valor en la ecuación, es muy fácil comprobar que se cumple la igualdad numérica que corresponde a la igualdad algebraica $\displaystyle x^{x^{x^{\ldots^{x}}}}=x$. Tambíen, os recomiendo —como curiosidad— que utilicéis alguna herramienta de cálculo simbólico (CAS) como por ejemplo WolframAlpha (el enlace dirige a la petición de resolución automática de una ecuación de este tipo) y, así, contrastar de una manera alternativa lo que se acaba de concluir. $\diamond$

Siete ejemplos de uso de las escalas logarítmicas

Además de las utilidades de los logaritmos en el análisis matemático y el cálculo algebraico y numérico, el empleo de los mismos tiene una gran relevancia a la hora de expresar y representar las cantidades que toman ciertas magnitudes; éstas pueden ser, a veces, muy grandes o muy pequeñas, y, a efectos de manipular dichos valores, no basta con el empleo de la notación científica; por ello, una de las ventajas de las escalas logarítmicas es el poder expresar los valores de dichas magnitudes con números que no son ni muy pequeños ni muy grandes, sino números cómodamente manejables. Además, la percepción de nuestros sentidos de ciertas magnitudes se demuestra mucho más eficiente según la describimos mediante escalas logarítmicas (percepción del sonido, o de la luminosidad, por ejemplo).

Estos siete ejemplos que he elegido son: i) las escalas logarítmicas de la graduación de los ejes de coordenadas en las representaciones gráficas que se emplean habitualmente para describir la dependencia entre dos variables que adoptan valores respectivos mucho más grandes/pequeños una con respecto de la otra; ii) la escala sismológica de Richter; iii) la escala de acidez o de pH; iv) las escalas de magnitudes relativas en la magnitud de la observación de los cuerpos celestes (no incluyen la dependencia de la distancia al observador); v) las escalas de magnitudes absolutas de los mismos (incluyen la dependencia de la distancia al observador); vi) en general, el uso de logaritmos para dos cantidades de la misma magnitud en la entrada y salida de un sistema (decibelios), que tanto se emplea en electrónica y telecomunicaciones; y, en particular, vii) en audición. Los siete los tenéis referenciados a continuación:

  [1] vv.aa., Escalas logarítmicas, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Escala_logarítmica], 2022.
  [2] vv.aa., La escala sismológica de Richter, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Escala_sismológica_de_Richter], 2022.
  [3] vv.aa., La escala de pH, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/PH], 2022.
  [4] vv.aa., Magnitud estelar aparente, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_aparente], 2022.
  [5] vv.aa., Magnitud estelar absoluta, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_absoluta], 2022.
  [6] vv.aa., Decibelio, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Decibelio], 2022.
  [7] vv.aa., Sonoridad, Wikipedia [https://es.wikipedia.org/wiki/Sonoridad_(sicoacústica) ], 2022.

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Descripción logarítmica de la ganancia/atenuación de una señal

En muchas ocasiones interesa expresar la medida de magnitud (potencia, tensión, intensidad eléctrica, intensidad sonora, etcétera) en relación a un nivel de referencia de la misma, pudiendo manejar así una cantidad adimensional. Ello tiene sus ventajas, por diversas razones; una de las más importantes es el poder expresar dicha medida relativa en una escala numérica manejable, con números que no sean ni muy grandes ni muy pequeños si, por contra, estos aparecieran directamente en la medida de la magnitud. Una forma de conseguirlo es utilizar el logaritmo de la razón de la medida abasoluta y la medida de referencia; a lo que resulta se le denomina bel, en honor a Alexander Graham Bell (1847-1922). De esta manera, podemos expresar la ganancia o la atenuación en una cierta magnitud a la salida de un cierto sistema (medio o dispositivo) con respecto al nivel de la misma en la entrada.

Se define entonces el belio (B) como la unidad adimensional de medida de una magnitud $\mathcal{X}$, que, en un momento dado, tome un cierto valor $x_1$, y ello con respecto a un valor convenido de la misma, $x_0$, utilizando el logaritmo decimal de la razón $\dfrac{x_0}{x_1}$, al que denominaremos $L_B$. Así, $$L_B:=\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ con lo cual $x_1=x_0\,10^{L_B}$; en particular si $x_1=x_0$, entonces la ganancia/atenuación, es de $L_B=0$ B, ya que $1=10^0$, o lo que es lo mismo $L_B=0=\log_{10}\,1$. Notemos además que si se da un incremento (positivo), $x_1\gt x_0$, entonces $L_B>0$; y, en el caso de darse un decremento, si $x_1\lt x_0$, entonces $L_B\lt 0$.

Comunmente, a efectos prácticos, se utiliza del decibel (dB) en lugar del bel (B) con el mismo propósito que acabo de exponer (tener una expresión de una medida relativa a un nivel de referencia de la misma magnitud): $1\,\text{B}=10\,\text{dB}$, con lo cual podemos escribir que la medida relativa en decibelios de $x_1$ con respecto a $x_0$ es $$L_{dB}:=10\cdot \log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_0}$$ y por tanto $$x_1=x_0 \cdot 10^{L_{dB}/10}=x_0\,10^{L_{B}}$$

Aplicación a la fisiología del oído humano. La sonoridad

Se sabe que la intensidad acústica —véase el siguiente artículo en este mismo blog: Algunas cosas básicas sobre los fenómenos ondulatorios— que el oído humano es capaz de percibir se encuentra en el intervalo $\left(10^{-12}, 1\right)\, \dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ ($W$ indica vatio, la unidad de potencia del Sistema Internacional). Por debajo del extremo inferior, $I_0=10^{-12}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$, no se percibe ninguna sensación acústica; y, por encima, del extremo superior, $1\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$ se producen daños en el aparato auditivo.

Al objeto de cuantificar la sensación auditiva se define la magnitud adimensional sonoridad, que se relaciona con la intensidad acústica de las ondas incidentes en el oído según la ley de Weber-Fechner: $S=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{I_0}$ (recordemos que $I_0$ es la intensidad umbral de sensación auditiva) —nótese que esta magnitud adimensional, la sonoridad, viene dada en decibelios al estar definida mediante el logaritmo de la razón de dos magnitudes, que en este caso son las intensidades—. Puede entenderse de dicha dependencia entre la sonoridad y la intensidad acústica que la primerqa varía de manera lineal, si se hace variar la intensidad acústica de forma exponencial.

Se sabe que la sonoridad depende de la frecuencia del sonido: la máxima sensibilidad en el aparato auditivo humano corresponde a una frecuencia de unos $3000\,\text{Hz}$. La sensibilidad acústica del oído humano disminuye por debajo y por encima de dicha frecuencia; por debajo de $20\,\text{Hz}$ ya no se percibe ningún sonido, y tampoco por encima de $20\,000\,\text{Hz}$.

Ejemplo de cálculo con sonoridades

Una persona percibe un sonido con una sonoridad de $10\,\text{dB}$. Nos preguntamos cuál es el valor de la intensidad acústica que recibe.

Denotemos por $I$ a la intensidad acústica pedida. Entonces, según los datos, podemos escribir que $20=10\,\log_{10}\,\dfrac{I}{10^{-12}}$, luego $\dfrac{I}{10^{-12}}=10^{20/10}$, esto es, $I_A=10^{-12}\cdot 10^2=10^{-10}\,\dfrac{\text{W}}{\text{m}^2}$.$\diamond$

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Referencias:

  [1] vv.aa., Decibel, Wikipedia [https://ca.wikipedia.org/wiki/Decibel], 2022.

Acerca de la identidad de Bézout

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $\text{m.c.d.}(a,b)$—, es la denominada identidad de Bézout, que dice así:

Sea $\mathbb{Z} \ni d=\text{m.c.d.}(a,b)$, entonces existen infinitas parejas de números enteros $x,y$, tales que $d=ax+by$.

Veamos un ejemplo:
Consideremos los números enteros $a=4$ y $b=2$ —para hacerlo sencillo, los hemos elegido positivos—. Sabemos que el máximo común divisor de estos dos números es $d=\text{m.c.d.}(4,2)=2$, entonces, según el resultado que nos ocupa (identidad de Bézout), podremos encontrar otros dos números $x,y$ (no necesariamente únicos) tales que $2=4x+2y$. En efecto, es claro que una posibilidad es $x_1=0$ e $y_1=1$, entre otras infinitas parejas que satisfacen esta igualdad, y se puede justificar que son de la forma $$\left\{\begin{matrix}x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\ y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ es decir, en el caso que nos ocupa: $$\left\{\begin{matrix}x=0+\lambda\,\dfrac{2}{2}=\lambda \\ y=1-\lambda\,\dfrac{4}{2}=1-2\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\{(0,1),(1,-1),(-1,3),(2,-3),(-2,5),\ldots\}$$

Otro ejemplo:
Dados los números enteros $a=1170$ y $b=363$, nos proponemos encontrar los pares de valores enteros $x,y$ tales que $x\,a+y\,b=d$ (donde $d=\text{m.c.d.}(a,b)$. Lo primero que haremos es calcular el máximo común divisor; y, como vamos a ver enseguida, nos vendrá muy bien hacerlo aplicando el algoritmo de Euclides. Sigamos los pasos necesarios:
  (1)   $1170=363\cdot 3+81$
  (2)   $363=81\cdot 4+39$
  (3)   $81=39\cdot 2+3$
  (4)   $39=13\cdot 3+0 \Rightarrow d=3$
Procedemos ahora a encontrar una solución particular $x_1,y_1$:
  De (3), $3=81-39\cdot 2$
    y teniendo en cuenta (2), podemos escribir que
    $3=81-(363-81\cdot 4)\cdot 2=81-363\cdot 2 +81\cdot 8=9\cdot 81 -263\cdot 2$
    que, siguiendo a partir de (1), puede escribirse de la forma
    $3=9\cdot 81 -263\cdot 2=9\cdot 1170-27\cdot 363-363\cdot 2 = 9\cdot 1170 -29\cdot 363 \Rightarrow x_1=9$ y $y_1=-29$
Con lo cual, como ya sabemos la estructura de la solución general, llegamos a que ésta es: $$\left\{\begin{matrix}x=9+\lambda\,\dfrac{363}{3} \\ y=-29-\lambda\,\dfrac{1170}{3}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=9+121\,\lambda \\ y=-29-390\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ obteniendo (dando valores arbitrarios a $\lambda$: $0,\pm1,\pm2\,\ldots$) las infinitas parejas de que consta la solución: $$\{(9,-29),(130,-419),(-112,361),\ldots\}$$

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Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, siendo también $c,d$ y $k$, números enteros, y siendo $k|d=\text{m.c.d.}(a,b)$. En estas condiciones, la solución general de dicha ecuación diofántica lineal está formada por un conjunto de parejas de números enteros $x$ e $y$. Para encontrar dicha solución general, a partir de una solución particular, se parte del resultado básico de la identidad de Bézout. En cursos superiores, aprenderéis a resolver este tipo de ecuaciones. Si sóis personas curiosas, os sugiero que os avancéis y leáis este otro artículo —como ampliación opcional— para ver como se hace.

Nota: El nombre que se le da a estas ecuaciones de números enteros viene del matemático Diofanto (s. III d.C.), quien en su obra Arithmetica expuso la resolución de algunas de dichas ecuaciones. $\diamond$

Identidades trigométricas. Fórmulas de transformación de «suma en producto» de razones

En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de suma de razones trigonométrics en producto de razones: $$\sin (\gamma)+ \sin(\delta) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (i)$$ $$\cos (\gamma)+ \cos(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (ii)$$ $$\sin (\gamma)- \sin(\delta) = 2\,\cos\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\quad \quad (iii)$$ $$\cos (\delta)- \cos(\gamma) = 2\,\sin\left(\dfrac{\gamma+\delta}{2}\right)\cdot \sin\left(\dfrac{\gamma-\delta}{2}\right)\quad \quad (iv)$$

Para ello, recurrimos a las fórmulas de las transformaciones de producto en suma que hemos justificado en el artículo anterior: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Denominando $$\gamma=\alpha+\beta \quad \quad (b)$$ $$\delta=\alpha-\beta \quad \quad (b)$$ y sumando miembro a miembro (a) y (b) podemos escribir $$\alpha=\dfrac{\gamma+\delta}{2} \quad \quad (c)$$ y restando (b) de (a), $$\beta=\dfrac{\gamma-\delta}{2} \quad \quad (d)$$ Basta ahora con sustituir (c) y (d) en (1),(2),(3) y (4) para obtener las igualdades pedidas. $\diamond$

Identidades trigonométricas. Fórmulas de transformación de «producto en suma»

En este artículo vamos a demostrar las fórmulas de transformación de productos de razones trigonométrics en sumas: $$\sin (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (1)$$ $$\cos (\alpha)\cdot \cos(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (2)$$ $$\sin (\beta)\cdot \cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\left(\,\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\,\right)\quad \quad (3)$$ $$\sin (\alpha)\cdot \sin(\beta) = \dfrac{1}{2}\left(\,\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\,\right)\quad \quad (4)$$

Para ello, recurrimos a las fórmulas conocidas del seno y del coseno de la suma y de la diferencia de razones trigonométricas: $$\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)\quad \quad (5)$$ $$\sin(\alpha - \beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\beta)\cdot \cos(\alpha)\quad \quad (6)$$ $$\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) - \sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)\quad \quad (7)$$ $$\cos(\alpha - \beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) + \sin(\beta)\cdot \sin(\alpha)\quad \quad (8)$$

Sumando miembro a miembro (5) y (6) se obtiene (1); restando (6) de (5) se obtiene (3); sumando (7) y (8) se obtiene (4), y restando (7) de (8) se llega a (2).$\diamond$

Seno, coseno y tangente de la suma y diferencia de ángulos

Observemos la siguiente figura, en la que se han representado los ángulos $\alpha$ y $\beta$, situados en el primer cuadrante. Nos proponemos demostrar la siguiente fórmula trigonométrica que da cuenta del seno del ángulo suma de $\alpha+\beta$, también del primer cuadrante: $$\sin(\alpha +\beta)=\sin(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\cos(\alpha)$$

Veámoslo. Del triángulo rectángulo $\triangle OAB$ vemos que $\sin(\alpha+\beta)=\overline{AB}=\overline{FQ}+\overline{EQ} \quad \quad (1)$. Y como $\triangle QFB \sim \triangle OCD$, podemos escribir que $\overline{FQ}=\overline{QB}\cdot \cos(\alpha)$, y como en el triángulo rectángulo $\triangle OQB$, $\overline{QB}=1\cdot \sin(\beta)$, se tiene que $\overline{FQ}=\sin(\beta)\cdot \cos(\alpha) \quad \quad (2)$

Por otra parte $\triangle OEQ \sim \triangle ODC$ luego $\dfrac{\overline{EQ}}{\overline{CD}}=\dfrac{\overline{OQ}}{\overline{OC}} \Rightarrow \overline{EQ}=\overline{CD}\cdot \overline{OQ}$, ya que $\overline{OC}=1$. Teniendo en cuenta que en el triángulo rectángulo $\triangle OQB$, $\overline{OQ}=\cos(\beta)$ y que en el triángulo rectángulo $\triangle ODC$m $\overline{CD}=\sin(\alpha)$, podemos escribir $\overline{EQ}=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) \quad \quad (3)$.

Sustituyendo ahora (2) y (3) en (1), se justifica la fórmula propuesta.

Mediante un dibujo similar, y procediendo de manera análoga, es muy fácil demostrar que $$\sin(\alpha -\beta)=\sin(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\cos(\alpha)$$

Podemos sacar más provecho de la figura, para justificar estas otras dos fórmulas empleando razonamientos similares: $$\cos(\alpha +\beta)=\cos(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$$ $$\cos(\alpha -\beta)=\cos(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\sin(\alpha)$$

Por lo que se refiere a la razón tangente de la suma de ángulos, sabemos que $$\tan(\alpha+\beta):=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\sin(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\sin(\alpha)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos(\alpha)\,cos(\beta)$, y simplificando se llega a $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$$ Teniendo en cuenta ahora que $\tan(\alpha):=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ y $\tan(\beta):=\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$, podemos escribir $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\,\tan(\beta)}$$

Y en cuanto a la tangente de la diferencia de ángulos: $$\tan(\alpha-\beta):=\dfrac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)}=\dfrac{\sin(\alpha)\,\cos(\beta)-\sin(\beta)\,\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)\,\cos(\beta)+\sin(\beta)\,\sin(\alpha)}$$ Dividiendo el numerador y el denominador por $\cos(\alpha)\,cos(\beta)$, y simplificando se llega a $$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1+\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\,\dfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}$$, por tanto podemos escribir $$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\,\tan(\beta)}$$

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Logaritmo de un número complejo

Vamos a calcular el logaritmo de un número complejo $z=a+ib$, donde $\mathcal{Re}(z)=a$ es la parte real, y $\mathcal{Im}(z)=b$ es la parte imaginaria, siendo $a,b\in \mathbb{R}$.

Para ello, nos conviene primero expresar el número complejo según la forma de Euler: $\displaystyle z=|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}$, donde $\text{arg}(z)=\text{Arg}(z)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, siendo $-\pi \lt \text{Arg}(z) \lt \pi$ el argumento principal (expresado en radianes), y, como sabemos, viene dado por $$\text{Arg}(z)=\text{arctan}\left(\dfrac{\mathcal{Im}(z)}{\mathcal{Re}(z)}\right)$$

Desde luego, el logaritmo pedido es un número complejo $\mathbb{C} \ni w=\ln(z)=c+id$, con $c=\mathcal{Re}(w),d=\mathcal{Im}(w)$, y por supuesto $c,d\in \mathbb{R}$, por lo tanto, $\ln\left(|z|\,e^{i\,\text{arg}(z)}\right)=c+id$. Teniendo en cuenta que $\ln\,e^{i\,\text{arg}(z)}=i\,\text{arg}(z)$, se tiene que $\displaystyle \ln\,|z|+i\,\left(\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi\right)=c+id$. Así pues, $c=|z|$ y $d=\text{arctan}\left(\dfrac{b}{a}\right)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$.

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Ejemplo. Sea $z=2+i$. Nos proponemos calcular $\ln\,z$. Pues bien, $\displaystyle z=\sqrt{5}\,e^{i\,\text{Arg}(z)+2k\pi}$ siendo en este caso el argumento principal $0\lt \text{Arg}(z)=\text{arctan}(1/2)\lt \pi/2$, ya que tanto la parte real como la parte imaginaria de $z$ son positivas (el afijo de dicho número se encuentra en el primer cuadrante). En consecuencia, $\ln\,z = c+ id$, con $c=\ln\,\sqrt{5}$ y $d=\text{arctan}(1/2)+2k\pi$, con $k=0,1,2,\ldots$, y vemos que, con ayuda de la calculadora, $\sqrt{5}\approx 0,8047$ y $\text{arctan}(1/2) \approx 0,4636\,\text{rad}$, luego el logaritmo pedido es $$\{\sqrt{5}+i\,\text{arctan}(1/2)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+2\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+4\pi)\,,\,\sqrt{5}+i\,(\text{arctan}(1/2)+6\pi)\,,\,\ldots\}$$ $\diamond$

División de polinomios. Cálculo del polinomio resto sin hacer la división

Consideremos la división de polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, $$5x^4+x^3+1 \div x^3+x^2-2x$$ ¿Cómo podemos calcular el resto y el cociente de dicha división sin realizar la división, esto es, sin aplicar explícitamente el algoritmo general de la división?.

Recordemos el teorema de la división euclídea de polinomios: dado los polinomios $D(x)$ (p. dividendo) y $d(x)$ (p. divisor), distintos ambos del polinomio cero, y siendo $\text{grado}(D(x)\ge \text{grado}(dx)$, entonces se cumple que $D(x)=d(x)\,c(x)+r(x)$, donde $c(x)$ es el polinomio cociente de dicha división y cuyo grado es $\text{grad}(c(x))=\text{grado}(D(x))-\text{grado}(d(x))$, y el polinomio resto es tal que $\text{grado}(r(x))\le \text{grado}(d(x))$.

En el caso que nos ocupa, el polinomio dividendo es $D(x)=5x^4+x^3+1$ y su grado es $4$, y el polinomio divisor es $d(x)=x^3+x^2-2x$ y su grado es $3$, por lo que el polinomio resto puede llegar a ser de grado $2$, en consecuencia podemos escribir que $r(x)=ax^2+bx+c$, siendo los coeficientes $a,b$ y $c$ números reales —si $D(x)$ fuese múltiplo de $d(x)$, los tres coeficientes serian nulos; en el caso que $r(x)$ fuese de grado $1$, el coeficiente $a$ seria nulo y $b$ no nulo, y de ser de grado $2$, el coeficientes $a$ debería ser no nulo—. Pues bien, según lo dicho deberá cumplirse que $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ax^2+bx+c$$, siendo conscientes de que, si bien sabemos que el grado del polinomio cocientes ha de ser $1$, desconocemos el valor de los coeficientes del mismo.

A pesar de ello, podemos determinar el valor de los coeficientes del polinomio residuo, $a,b$ y $c$, si calculamos las raíces del polinomio divisor $d(x)$, que, fácilmente, vemos que son $-2$, $1$ y $0$. En efecto, como es bien sabido, para cada una de las raíces, el polinomio $c(x)$ se anula, luego al sustituir la indeterminada de los polinomios $D(x)$, $d(x)$, $c(x)$ y $r(x)$, por cada uno de esos valores se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:$$\left\{\begin{matrix}73&=&4a&-&2b&+&c\\ 7&=&a&+&b&+&c \\ 1&=&&&&+&c\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo el valor de $c$ que nos da la última ecuación en las dos primeras, $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 6&=&a&+&b\end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $2$ ambos miembros de la segunda tenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 12&=&2a&+&2b\end{matrix}\right.$$ y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones se obtiene $6a=84$ y por tanto, $a=14$; sustituyendo ahora en la primera ecuación, $b=6-14=-8$

Concluimos pues que el polinomio resto pedido es $$r(x)=14x^2-8x+1$$ $\diamond$

Calculemos ahora el polinomio cociente $c(x)$. Para ello, recordemos otra vez que, por el teorema de la división (de polinomios) euclídea, se tiene que $D(x)=d(x)\cdot c(x)+r(x)$, y por tanto $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ 14x^2-8x+1$$ siendo el grado del polinomio cociente igual a $1$, ya que los grados de los polinomios dividendo y divisor son $4$ y $3$, respectivamente. Así, el polinomio cociente deberá ser de la forma $c(x)=dx+e$, con $d,e\in \mathbb{R}$; es decir, $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot (dx+e)+ 14x^2-8x+1$$ esto es $$5x^4+x^3+1=dx^4++dx^3-2dx^2+ex^3+ex^2-2ex+14x^2-8x+1$$ y agrupando los términos por grados en ambos miembros, se llega a $$\left\{\begin{matrix}5=d\\d+e=1\\-2d+e+14=0\\-2e-8=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}d=5\\e=-4\end{matrix}\right.$$ con lo cual $$c(x)=5x-4$$ $\diamond$

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Observación 1: En el caso de que el polinomio divisor $d(x)$ no tenga raíces reales, podemos seguir el mismo procedimiento operando con las raíces complejas, como es bien fácil comprobarlo con algún ejemplo sencillo: pongamos que con $d(x)=x^2+1$.

Observación 2: Hallar el resto y el cociente sin hacer la división, puede ser interesante en los casos en los que el grado del polinomio dividendo sea mucho mayor que el grado del polinomio divisor, pues de aplicar el algoritmo general de la división, el proceso de cálculo podría ser engorroso y largo.

Calculadoras científicas modernas: la calculadora Numworks

En breve expondré material de ayuda para el aprendizaje y uso de la calculadora científica Numworks, que encuentro especialmente útil para el aprendizaje del cálculo numérico, la estadística y el cálculo de probabilidades, a nivel de Bachillerato. Además es gráfica y es programable en lenguaje Python. Podéis probarla y utilizarla en vuestro ordenador con este emulador, y en su canal de vídeo podréis visionar muchos tutoriales para aprender a utilizarla con eficacia.

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