División de polinomios. Cálculo del polinomio resto sin hacer la división

Consideremos la división de polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, $$5x^4+x^3+1 \div x^3+x^2-2x$$ ¿Cómo podemos calcular el resto y el cociente de dicha división sin realizar la división, esto es, sin aplicar explícitamente el algoritmo general de la división?.

Recordemos el teorema de la división euclídea de polinomios: dado los polinomios $D(x)$ (p. dividendo) y $d(x)$ (p. divisor), distintos ambos del polinomio cero, y siendo $\text{grado}(D(x)\ge \text{grado}(dx)$, entonces se cumple que $D(x)=d(x)\,c(x)+r(x)$, donde $c(x)$ es el polinomio cociente de dicha división y cuyo grado es $\text{grad}(c(x))=\text{grado}(D(x))-\text{grado}(d(x))$, y el polinomio resto es tal que $\text{grado}(r(x))\le \text{grado}(d(x))$.

En el caso que nos ocupa, el polinomio dividendo es $D(x)=5x^4+x^3+1$ y su grado es $4$, y el polinomio divisor es $d(x)=x^3+x^2-2x$ y su grado es $3$, por lo que el polinomio resto puede llegar a ser de grado $2$, en consecuencia podemos escribir que $r(x)=ax^2+bx+c$, siendo los coeficientes $a,b$ y $c$ números reales —si $D(x)$ fuese múltiplo de $d(x)$, los tres coeficientes serian nulos; en el caso que $r(x)$ fuese de grado $1$, el coeficiente $a$ seria nulo y $b$ no nulo, y de ser de grado $2$, el coeficientes $a$ debería ser no nulo—. Pues bien, según lo dicho deberá cumplirse que $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ax^2+bx+c$$, siendo conscientes de que, si bien sabemos que el grado del polinomio cocientes ha de ser $1$, desconocemos el valor de los coeficientes del mismo.

A pesar de ello, podemos determinar el valor de los coeficientes del polinomio residuo, $a,b$ y $c$, si calculamos las raíces del polinomio divisor $d(x)$, que, fácilmente, vemos que son $-2$, $1$ y $0$. En efecto, como es bien sabido, para cada una de las raíces, el polinomio $c(x)$ se anula, luego al sustituir la indeterminada de los polinomios $D(x)$, $d(x)$, $c(x)$ y $r(x)$, por cada uno de esos valores se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales:$$\left\{\begin{matrix}73&=&4a&-&2b&+&c\\ 7&=&a&+&b&+&c \\ 1&=&&&&+&c\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo el valor de $c$ que nos da la última ecuación en las dos primeras, $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 6&=&a&+&b\end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $2$ ambos miembros de la segunda tenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}72&=&4a&-&2b\\ 12&=&2a&+&2b\end{matrix}\right.$$ y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones se obtiene $6a=84$ y por tanto, $a=14$; sustituyendo ahora en la primera ecuación, $b=6-14=-8$

Concluimos pues que el polinomio resto pedido es $$r(x)=14x^2-8x+1$$ $\diamond$

Calculemos ahora el polinomio cociente $c(x)$. Para ello, recordemos otra vez que, por el teorema de la división (de polinomios) euclídea, se tiene que $D(x)=d(x)\cdot c(x)+r(x)$, y por tanto $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot c(x)+ 14x^2-8x+1$$ siendo el grado del polinomio cociente igual a $1$, ya que los grados de los polinomios dividendo y divisor son $4$ y $3$, respectivamente. Así, el polinomio cociente deberá ser de la forma $c(x)=dx+e$, con $d,e\in \mathbb{R}$; es decir, $$5x^4+x^3+1=(x^3+x^2-2x)\cdot (dx+e)+ 14x^2-8x+1$$ esto es $$5x^4+x^3+1=dx^4++dx^3-2dx^2+ex^3+ex^2-2ex+14x^2-8x+1$$ y agrupando los términos por grados en ambos miembros, se llega a $$\left\{\begin{matrix}5=d\\d+e=1\\-2d+e+14=0\\-2e-8=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}d=5\\e=-4\end{matrix}\right.$$ con lo cual $$c(x)=5x-4$$ $\diamond$

-oOo-

Observación 1: En el caso de que el polinomio divisor $d(x)$ no tenga raíces reales, podemos seguir el mismo procedimiento operando con las raíces complejas, como es bien fácil comprobarlo con algún ejemplo sencillo: pongamos que con $d(x)=x^2+1$.

Observación 2: Hallar el resto y el cociente sin hacer la división, puede ser interesante en los casos en los que el grado del polinomio dividendo sea mucho mayor que el grado del polinomio divisor, pues de aplicar el algoritmo general de la división, el proceso de cálculo podría ser engorroso y largo.