Ejemplo de resolución de un caso concreto de ecuación diofántica no lineal con dos variables

Se considera la ecuación $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$, donde $x,y$ son números enteros naturales distintos y finitos. Se trata de un tipo particular de ecuación diofántica no lineal. Veamos cómo resolverla.

Voy a suponer, sin pérdida de generalidad, que $x\gt y$ (los resultados serán también válidos si suponemos que $y\gt x$); entonces $\dfrac{1}{x}\lt \dfrac{1}{y} \therefore \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{y}$; es decir, $\dfrac{1}{4}\lt \dfrac{2}{y} \Rightarrow y \lt 8$; y, recordando que estamos trantando con números positivos, llegamos a la siguiente acotación para $y$: $$1 \le y \lt 8$$

Voy a examinar ahora qué valores puede tomar la variable $x$ (teniendo en cuenta la acotación de $y$). Voy a despejar $x$ de $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$; para ello, multiplico ambos miembros por $4xy$ y llego a la ecuación equivalente $\dfrac{4xy}{x}+\dfrac{4xy}{y}=\dfrac{4xy}{4}$; simplificando, queda: $4y+4x-xy=0$, luego $x(4-y)+4y=0$, por tanto $$x=\dfrac{4y}{y-4}$$ Procedo a encontrar las parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución. Para ello, voy a calcular el valor de $x$ (si lo hay) para cada uno de los valores posibles de $y: 1,2,3,4,5,6,7$. Entonces,

• Si $y=1$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 1}{1-4}=-\dfrac{4}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=2$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 2}{2-4}=-4 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=3$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 3}{3-4}=\dfrac{12}{-1}=-12 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=4$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 4}{4-4}=\dfrac{16}{0}=\infty$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=5$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 5}{5-4}=\dfrac{20}{1}=20 \in \mathbb{N}$, por tanto, $(20,5)$ —; recordemos que al suponer al principio que $x\gt y)$, bien podríamos haber supuesto que $y\gt x$, llegando también a encontrar esta otra solución—; y, permutando los valores de $x$ e $y$ la pareja $(5,20)$ también forma parte de la solución.
• Si $y=6$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 6}{6-4}=\dfrac{24}{2}=12 \in \mathbb{N}$ y por tanto, $(12,6)$ forma parte de la solución (por el mismo argumento del caso anterior), al igual que $(6,12)$.
• Si $y=7$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 7}{7-4}=\dfrac{28}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.

Resumiendo: la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números naturales: $\{(5,20),(20,5);(6,12),(12,6)\}$. $\diamond$