Ejemplo de resolución de un caso concreto de ecuación diofántica no lineal con dos variables

Se considera la ecuación $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$, donde $x,y$ son números enteros naturales distintos y finitos. Se trata de un tipo particular de ecuación diofántica no lineal. Veamos cómo resolverla.

Voy a suponer, sin pérdida de generalidad, que $x\gt y$ (los resultados serán también válidos si suponemos que $y\gt x$); entonces $\dfrac{1}{x}\lt \dfrac{1}{y} \therefore \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\lt \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{y}$; es decir, $\dfrac{1}{4}\lt \dfrac{2}{y} \Rightarrow y \lt 8$; y, recordando que estamos trantando con números positivos, llegamos a la siguiente acotación para $y$: $$1 \le y \lt 8$$

Voy a examinar ahora qué valores puede tomar la variable $x$ (teniendo en cuenta la acotación de $y$). Voy a despejar $x$ de $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{4}$; para ello, multiplico ambos miembros por $4xy$ y llego a la ecuación equivalente $\dfrac{4xy}{x}+\dfrac{4xy}{y}=\dfrac{4xy}{4}$; simplificando, queda: $4y+4x-xy=0$, luego $x(4-y)+4y=0$, por tanto $$x=\dfrac{4y}{y-4}$$ Procedo a encontrar las parejas de valores $(x,y)$ que forman parte de la solución. Para ello, voy a calcular el valor de $x$ (si lo hay) para cada uno de los valores posibles de $y: 1,2,3,4,5,6,7$. Entonces,

• Si $y=1$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 1}{1-4}=-\dfrac{4}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=2$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 2}{2-4}=-4 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=3$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 3}{3-4}=\dfrac{12}{-1}=-12 \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=4$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 4}{4-4}=\dfrac{16}{0}=\infty$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.
• Si $y=5$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 5}{5-4}=\dfrac{20}{1}=20 \in \mathbb{N}$, por tanto, $(20,5)$ —; recordemos que al suponer al principio que $x\gt y)$, bien podríamos haber supuesto que $y\gt x$, llegando también a encontrar esta otra solución—; y, permutando los valores de $x$ e $y$ la pareja $(5,20)$ también forma parte de la solución.
• Si $y=6$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 6}{6-4}=\dfrac{24}{2}=12 \in \mathbb{N}$ y por tanto, $(12,6)$ forma parte de la solución (por el mismo argumento del caso anterior), al igual que $(6,12)$.
• Si $y=7$, se tiene que $x=\dfrac{4\cdot 7}{7-4}=\dfrac{28}{3} \notin \mathbb{N}$ y por tanto, para este valor de $y$ no hay solución.

Resumiendo: la solución de la ecuación diofántica propuesta está formada por las siguientes parejas de números naturales: $\{(5,20),(20,5);(6,12),(12,6)\}$. $\diamond$

Acerca de la identidad de Bézout

Un resultado básico relacionado con el máximo común divisor de dos números (enteros), distintos de cero, $a,b$ —y lo notaremos de la forma $\text{m.c.d.}(a,b)$—, es la denominada identidad de Bézout, que dice así:

Sea $\mathbb{Z} \ni d=\text{m.c.d.}(a,b)$, entonces existen infinitas parejas de números enteros $x,y$, tales que $d=ax+by$.

Veamos un ejemplo:
Consideremos los números enteros $a=4$ y $b=2$ —para hacerlo sencillo, los hemos elegido positivos—. Sabemos que el máximo común divisor de estos dos números es $d=\text{m.c.d.}(4,2)=2$, entonces, según el resultado que nos ocupa (identidad de Bézout), podremos encontrar otros dos números $x,y$ (no necesariamente únicos) tales que $2=4x+2y$. En efecto, es claro que una posibilidad es $x_1=0$ e $y_1=1$, entre otras infinitas parejas que satisfacen esta igualdad, y se puede justificar que son de la forma $$\left\{\begin{matrix}x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} \\ y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ es decir, en el caso que nos ocupa: $$\left\{\begin{matrix}x=0+\lambda\,\dfrac{2}{2}=\lambda \\ y=1-\lambda\,\dfrac{4}{2}=1-2\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\{(0,1),(1,-1),(-1,3),(2,-3),(-2,5),\ldots\}$$

Otro ejemplo:
Dados los números enteros $a=1170$ y $b=363$, nos proponemos encontrar los pares de valores enteros $x,y$ tales que $x\,a+y\,b=d$ (donde $d=\text{m.c.d.}(a,b)$. Lo primero que haremos es calcular el máximo común divisor; y, como vamos a ver enseguida, nos vendrá muy bien hacerlo aplicando el algoritmo de Euclides. Sigamos los pasos necesarios:
  (1)   $1170=363\cdot 3+81$
  (2)   $363=81\cdot 4+39$
  (3)   $81=39\cdot 2+3$
  (4)   $39=13\cdot 3+0 \Rightarrow d=3$
Procedemos ahora a encontrar una solución particular $x_1,y_1$:
  De (3), $3=81-39\cdot 2$
    y teniendo en cuenta (2), podemos escribir que
    $3=81-(363-81\cdot 4)\cdot 2=81-363\cdot 2 +81\cdot 8=9\cdot 81 -263\cdot 2$
    que, siguiendo a partir de (1), puede escribirse de la forma
    $3=9\cdot 81 -263\cdot 2=9\cdot 1170-27\cdot 363-363\cdot 2 = 9\cdot 1170 -29\cdot 363 \Rightarrow x_1=9$ y $y_1=-29$
Con lo cual, como ya sabemos la estructura de la solución general, llegamos a que ésta es: $$\left\{\begin{matrix}x=9+\lambda\,\dfrac{363}{3} \\ y=-29-\lambda\,\dfrac{1170}{3}\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}x=9+121\,\lambda \\ y=-29-390\,\lambda\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$ obteniendo (dando valores arbitrarios a $\lambda$: $0,\pm1,\pm2\,\ldots$) las infinitas parejas de que consta la solución: $$\{(9,-29),(130,-419),(-112,361),\ldots\}$$

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Una utilidad muy importante de la identidad de Bézout es la de formar parte del proceso de resolución de una ecuación diofántica lineal, $cx+dy=k$, siendo también $c,d$ y $k$, números enteros, y siendo $k|d=\text{m.c.d.}(a,b)$. En estas condiciones, la solución general de dicha ecuación diofántica lineal está formada por un conjunto de parejas de números enteros $x$ e $y$. Para encontrar dicha solución general, a partir de una solución particular, se parte del resultado básico de la identidad de Bézout. En cursos superiores, aprenderéis a resolver este tipo de ecuaciones. Si sóis personas curiosas, os sugiero que os avancéis y leáis este otro artículo —como ampliación opcional— para ver como se hace.

Nota: El nombre que se le da a estas ecuaciones de números enteros viene del matemático Diofanto (s. III d.C.), quien en su obra Arithmetica expuso la resolución de algunas de dichas ecuaciones. $\diamond$

Ecuaciones diofánticas lineales