Resolución del problema de los aniversarios empleando ( como herramienta de cálculo ) una calculadora programable. ( artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Un grup de $n$ persones es troben reunides en una festa. Quant val la probabilitat que almenys dues d'aquestes persones compleixin anys el mateix dia de l'any ?

Resolució:
Per la propietat del contrario s'ha de complir que
P("almenys dues persones facin anys el mateix dia de l'any") =
1-P("no hi hagi coincidència")

Suposant, primer que tot, que el nombre n de persones sigui igual a 365 la probabilitat que no hi hagi cap coincidència és igual a
(365/365)(364/365)(363/365)...(1/365)

Aquest resultat es pot generalitzar per a qualsevol n (n<=365) fent el producte successiu: PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)

Per tant la probabilidad demanada és igual a
1-PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)

Particularitzant per dos casos significatius (n=2 y n=365) (he fet servir una calculadora TI Voyage200 ... DERIVE) obtindrem la probabilitat demanada:

a) PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)|n=365
-----> pràcticament és igual a la unidad, como era de esperar

b) PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)|n=2
-----> 0.0027
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de función inyectiva, exhaustiva y biyectiva. ( artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
1.
Determineu el camp ( o domini ) d'existència, $D_f$, i el recorregut $R_f$, de la funció
    $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left|\sqrt{x^2-4}\right|$

2. Tal com es defineix aquesta funció:
a) És injectiva ?
b) És exhaustiva ?
c) És bijectiva ?

Solució:

1.
La funció està definida per a valors de $x$ més grans o iguals a $2$ o bé per a valors de $x$ més petits o iguals que $-2$, és a dir,
    $D_f=\{x\in \mathbb{R} : \left|x\right| \ge 2 \}$
Per altra banda, la funció recorre tots el nombres reals a excepció dels nombres negatius, llavors el recorregut de la funció ( o conjunt imatge de $f$ ) és
    $R_f=\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$

2.
  a)
No és injectiva perquè per a cada valor del recorregut li correspon dues antiimatges ( dos valors diferents del domini d'existència); per exemple,
    $f(2)=f(-2)=0$
    $f(3)=f(-3)=\left|\sqrt{5}\right|$
    $f(4)=f(-4)=2\,\left|\sqrt{3}\right|$
    $\ldots$

  b)
No hi ha cap element del recorregut $R_f \subset \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ que no tingui antiimatge, per tant $f$ és exhaustiva

  d)
Una funció és bijectiva si, i només si, és injectiva i exhaustiva; per tant, la funció donada, en no ser injectiva, no és bijectiva.

$\square$

[nota del autor]

Resolución de ecuaciones trigonométricas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu l'equació $-3\,\sin{x}+\cos^{2}{x}=3$ per a $0 \le x \le 2\,\pi$

Resolució:
De la identitat trigonomètrica: $\cos^{2}{x}=1-\cos^{2}{x}$, expressió que
substituïda a l'equació ens permet escriure-la de tal manera que únicament aparegui la raó sinus: $-3\,\sin{x}+1-\sin^{2}{x}=3$ que, ordenada de grau més gran a grau més petit queda $\sin^{2}{x}+3\,\sin{x}+2=0$. Anomenant, a continuació, $y$ a $\sin{x}$, podrem transformar l'equació trigonomètrica en una e. polinòmica: $y^2+3\,y+2=0$. El valors de la variable $y$ que són solució d'aquesta equació són $y_1=-1$ i $y_2=-2$, tal i com podeu comprovar fàcilment. Finalment, cal desfer el canvi de nom per trobar els valors de la variable $x$ que compleixen l'equació original:

• $\text{Si} \quad y_1 := \sin{x_1}=-1 \Rightarrow x_1 = \dfrac{3}{2}\,\pi \quad \text{rad}$
  

• Si $y_2=-2$ (valor del sinus igual a -2 [!]), no és possible trobar valors per a la variable $x$ (l'argument del sinus)

[nota del autor]

Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad ( Artículo escrito en catalán )

Farem ús de les següents fórmules, que ja s'han explicat: $\sin{(\alpha \pm \beta)}= \sin{\alpha}\,\cos{\beta} \pm \sin{\beta}\,\cos{\alpha}$ $\cos{(\alpha \pm \beta)} = \cos{\alpha}\,\cos{\beta} \mp \sin{\beta}\,\sin{\alpha}$ En concret, per a la suma i la diferència de la raó sinus dels angles $\alpha$ $\pm$ $\beta$ tenim: $\sin{(\alpha + \beta)}= \sin{\alpha}\,\cos{\beta} + \sin{\beta}\,\cos{\alpha} \quad \quad (1)$ $\cos{(\alpha + \beta)}= \cos{\alpha}\,\cos{\beta} + \sin{\beta}\,\sin{\alpha} \quad \quad (2)$ En particular, si $\alpha =\beta$ trobem aquestes dues fórmules: $\sin{(2\,\alpha)}= 2\,\sin{\alpha}\,\cos{\beta} \quad \quad (3)$ $\cos{(2\,\alpha)}= \cos^{2}{(\alpha)}-\sin^{2}{(\alpha)} \quad \quad (4)$ I dividint membre a membre: $\tan{(2\,\alpha)}=\dfrac{2\,\tan{\alpha)}}{1-\tan^{2}{\alpha)}} \quad \quad (5)$ A continuació deduirem les fórmules corresponents a l'angle meitat. Per això, partirem de $(4)$. Tenint en compte la i.f. de la trigonometria $\sin^{2}{(\alpha)}+\cos^{2}{(\alpha)}=1 \quad \forall \; \alpha$, podrem escriure: $\cos{(2\,\alpha)}= \cos^{2}{(\alpha)}-\big(1-\cos^{2}{(\alpha)\big)}$ i, simplificant, $\cos{(2\,\alpha)}= -1+2\, \cos^{2}{(\alpha)} \Rightarrow \cos{(\alpha)}=\sqrt{\dfrac{1+\cos{(2 \,\alpha)}}{2}}$. Si anomenem $\theta$ a $2\,\alpha$ podem escriure la fórmula del cosinus de l'angle meitat de la forma $\cos{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1+\cos{(\theta)}}{2}}\quad \quad (6)$ També podrem escriure $(4)$ de la forma $\cos{(2\,\alpha)}= \big(1-\sin^{2}{(\alpha)}\big)-\sin^{2}{(\alpha)}$ i, simplificant, $\cos{(2\,\alpha)}= 1-2\, \sin^{2}{(\alpha)} \Rightarrow \sin{(\alpha)}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(2 \,\alpha)}}{2}}$. De manera semblant al que hem fet a dalt, podem escriure la fórmula del sinus de l'angle meitat de la forma $\sin{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(\theta)}}{2}}\quad \quad (7)$ Dividint membre a membre la igualtat $(7)$ entre la igualtat $(6)$, deduïm la fórmula de la tangent de l'angle meitat $\tan{(\dfrac{\theta}{2})}=\sqrt{\dfrac{1-\cos{(\theta)}}{1+\cos{(\theta)}}} \quad \quad (8)$ $\square$

[nota del autor]

Ejercicio de clasificación de cónicas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Classifiqueu les següents corbes còniques (seccions còniques) a partir de l'equació quadràtica general

                        $\mathcal{C}:\,a\,x^2+b\,xy+c\,y^2+d\,x+e\,y+f=0$

a)   $y^2+3x+5y-8=0$
b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
c)   $y^2 + x - y -4 =0$
d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$

Solució:
Recordem el criteri de classificació (estudiat i justificat a classe)
    A partir del valor
        $\delta = b^2-4\,ac$
    tenim les següents possibilitats:
        Si $\delta$ < $0 \, \rightarrow$ el·lipse
        Si $\delta \succ 0$ $\, \rightarrow$ hipèrbola
        Si $\delta$ = 0 $\, \rightarrow$ paràbola

[No hem posat aquí els casos particulars de degeneració, que porten a rectes paral·leles, secants, coincidents, o fins i tot a rectes imaginàries, punts, etcètera]

Recordem, per altra banda, que si $b \ne 0$, els eixos de la cònica (o la recta de simetria, si es tracta d'una paràbola) no són paral·lels als eixos cartesians.

Llavors,
a)   $y^2+3x+5y-8=0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola ( amb la recta de simetria paral·la a l'eix - d'abcsisses, en aquest cas - atès que $b = 0$ )

b)   $2\,x^2+4\,y^2+5\,x-4\,y-1=0$
      $b=0$, $a=2$, $c=4$, d'on $\delta=-32 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos paral·lels als eixos de coordenades atès que $b = 0$ )

c)   $y^2 + x - y -4 =0$
      $b=0$, $a=0$, $c=1$, d'on $\delta=0 \, \rightarrow$ paràbola
(amb la recta de simetria paral·lela a un dels dos eixos de coordenades atès que $b = 0$ )

d)   $x^2+xy+y^2-1=0$
      $b=1$, $a=1$, $c=1$, d'on $\delta=-4 \, \rightarrow$ el·lipse (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )

e)   $x^2-y^2+2xy+3=0$
      $b=0$, $a=1$, $c=-1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ hipèrbola (amb els eixos no paral·lels als eixos de coordenades atès que $b \ne 0$ )

f)   $x^2+y^2+4y-x+1=0$
      $b=0$, $a=c=1$, d'on $\delta=4 \, \rightarrow$ el·lipse, i donat que $a=c$ és, com a cas particular, una circumferència (excentricitat nul·la).
$\blacksquare$

[nota del autor]

Ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas

[nota del autor]

Sea el triángulo de vértices A(1,0), B(3,2) y C(-2,1). Calcular las coordenadas del incentro del mismo y el radio de la circunferencia inscrita.

ENUNCIADO:
Sea el triángulo de vértices A(1,0), B(3,2) y C(-2,1). Calcular las coordenadas del incentro del mismo y el radio de la circunferencia inscrita.

SOLUCIÓN:

Para determinar las coordenads del incentro, basta realizar la interseccción de dos de las tres rectas bisectrices de los respectivos ángulos del triángulos. A continuación, obtendremos el radio de la circunferencia inscrita calculando la distancia entre la recta de que contiene a uno de los lados del triángulo y el punto incentro.

Determinemos, pues, la recta bisectriz $s_{12}$ dl ángulo $\angle ACB$; para ello, escribimos las ecuaciones de las rectas: a) $r_1$, que pasa por A(1,0) y B(3,2); y b) $r_{2}$, la recta que pasa por los puntos A(1,0) y C(-2,1):
$r_{1}:\,-x+5y-7=0$
y
$r_{2}:\,x+3y-1=0$

Sabemos que la recta bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que
$\text{dist}(P,r_{1})=\text{dist}(P,r_{2})$

es decir

$\dfrac{-x+5y-7}{\sqrt{25}}=\dfrac{x+3y-1}{\sqrt{10}}$

agrupando y simplificando términos semejantes,

$s_{12}:\,0,06x+y-0,87=0$, donde se han realizado los cálculos aproximando a las centésimas

A continuación, determinamos la segunda recta bisectriz, $s_{23}$, de ángulo $\angle BAC$; así que escribiendo las ecuaciones de las rectas: a) $r_2$, que pasa por A(1,0) y C(-2,1); y b) $r_{3}$, la recta que pasa por los puntos A(1,0) i B(3,2):
$r_{3}:\,-x+y+1=0$
y
$r_{2}:\,x+3y-1=0$

Entonces, esta otra recta bisectriz es
$\text{dist}(P,r_{2})=\text{dist}(P,r_{3})$

es decir

$\dfrac{-x+y+1}{\sqrt{2}}=\dfrac{x+3y-1}{\sqrt{10}}$

que, agrupando y simplificando, la escribimos de la forma
$s_{23}:\,0,97x+0,23y-0,97=0$


Determinemos, ahora, las coordenadas del punto incentro $I$, teniendo en cuenta que $I \in s_{23} \cap s_{12}$; pera ello, debemos resolver el sistema de ecuaciones

$\left.\begin{matrix} 0,06x+y-0,87=0\\ \\ 0,97x+0,23y-0,97=0\\ \end{matrix}\right\}$

obteniendo como solución: $I(0,81\;,\;0,83)$

Para terminar, calculemos el valor del radio, $r$, de la circunferencia inscrita, teniendo en cuenta que cualesquiera de las distancias $\text{dist}(I,r_1)$, $\text{dist}(I,r_2)$, ó $\text{dist}(I,r_3)$, son igual al valor del radio de la circunferencia inscrita, ya que que las rectas que pasan por el punto incentro y cualesquiera de los tres puntos de tangencia entre dicha circunferencia y los lados respectivos son perpendiculares a los mismos. Así, calculándolo, por ejemplo, a partir de $\text{dist}(I,r_{1})$, encontramos

$r = \dfrac{a_{r_1}\,x_{I}+b_{r_1}\,y_{I}+c_{r_1}}{\sqrt{a_{r_1}^{2}+b_{r_1}^{2}}}$

y, con los datos del problema,

$a_{r_1}=-1$
$b_{r_1}=5$
$c_{r_1}=-7$
$x_{I}=0,81$
$x_{I}=0,83$

concluimos que el radio tiene un valor de $0,72 \, \text{unitats arbitraries de longitud}$

$\square$

[nota del autor]