Un ejercicio de incidencia de dos circunferencias

Consideremos las siguientes circunferencias: $\text{Cir}_1:x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)$ y $\text{Cir}_2:x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)$. Nos proponemos averiguar de qué tipo son, calcular los centros y los radios respectivos, y determinar los puntos de intersección entre ellas.

Veamos la primera. Como corresponde a una circunferencia con centro en otro punto distinto del origen de coordenadas, la escribiremos como $\text{Cir}_1:(x-x_{c_{1}})^2+(y-y_{c_{1}})^2-r_{1}^2=0$, esto es, $\text{Cir}_1:x^2-2x_{c_{1}}\,x+x_{c_{1}}^2+y^2-2x_{c_{1}}\,y+y_{c_{1}}^2 \quad (1')$, y comparando (1) con (1') deducimos: $x_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$, $y_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_1=\sqrt{x_{c_{1}}^2+y_{c_{1}}^2)-(-90)}=\sqrt{3^2+3^2+90}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Analicemos ahora con la segunda, haciendo lo mismo: $\text{Cir}_2:(x-x_{c_{2}})^2+(y-y_{c_{2}})^2-r_{2}^2=0$, y por tanto, $\text{Cir}_2:x^2-2x_{c_{2}}\,x+x_{c_{2}}^2+y^2-2x_{c_{2}}\,y+y_{c_{2}}^2 \quad (2')$, y comparando (2) con (2') deducimos: $x_{c_{2}}=-\dfrac{-2}{2}=1$, $y_{c_{2}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_2=\sqrt{x_{c_{2}}^2+y_{c_{2}}^2)-(-90)}=\sqrt{1^2+3^2+90}=\sqrt{100}=10\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Finalmente, calculemos los puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)\\ x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$$ Restando la segunda de la primera: obtenemos $4x=0 \Leftrightarrow x=0$, y sustituyendo en (1):
  $0^2+y^2-6\cdot 0-6y-90=0$
    $y^2-6y-90=0$
      $y=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-90)}}{2\cdot 1}=\dfrac{6\pm 6\sqrt{11}}{2}=3\cdot (1\pm \sqrt{11})$, luego estas dos circunferencias se intersecan en dos puntos: $A(0\,,\,3\cdot (1 + \sqrt{11}))$ y $B(0\,,\,3\cdot (1 - \sqrt{11}))$
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Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $y^2=6x$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros y elementos característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y eje de simetría coincidente con el eje de abcsisas es $y^2=4c\,x$ -Observaciones: (1) a veces, se escribe la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de la forma $y^2=2px$, donde $p=2c$; y (2), por supuesto, si el eje de simetría coincidiese con el eje de ordenadas, $x^2=2py=4cy$-. En el caso que nos ocupa es claro que el eje de simetría es el eje de abscisas, $c=\text{distancia}(O,F)$, siendo $F$ el foco de dicha parábola; así que vemos que, al ser, $6=4c$, $c=\dfrac{3}{2}$, luego las coordenadas del foco son $F(3/2,0)$. También sabemos que la recta directriz (perpendicular al eje de simetría) se encuentra al otro lado del vértice, y a la misma distancia del origen de coordenadas que la de éste al vértice, luego la ecuación de la recta directriz es $\text{rd}:x=-c=-\dfrac{3}{2}$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $(x-1)^2+(y+1)^2=3$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse con centro en otro punto $C(x_C,y_C)$ distinto del origen de coordenadas es $\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$, donde, en nuestro caso concreto, $a^2=b^2=3$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), y por tanto $a=b=\sqrt{3}$. Y, al tener el mismo valor los semiejes $a$ y $b$, deducimos que se trata de una circunferencia; su excentricidad $e:=\dfrac{c}{a}=0$ (como ha de ser en el caso de una circunferencia) ya que, para una elipse genérica $c:=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{0}{3}=0$. Teniendo en cuenta además que $x_C=1$ y $y+1=y-(-1)$, se tiene que $y_C=-1$, luego el centro de dicha circuferencia es el punto $C(1,-1)$. Veamos ahora el valor del radio de la misma. Como una circunferencia descentrada responde a la ecuación $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$, identificando el segundo miembro con el valor $3$, es claro que $R=\sqrt{3}$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=3$, y por tanto $a=\sqrt{3}$; y $b^2=2$, con lo cual $b=\sqrt{2}$. Teniendo en cuenta que $2\,c$ es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (los cuales están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $a^2=c^2+b^2$ -recordemos que, por contra, en una hipérbola dicha relación es $c^2=a^2+b^2$-, vemos que $c^2=a^2-b^2=3-2=1$, luego $c=\sqrt{1}=1$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(1,0)$ y $F'(-1,0)$. Por otra parte, la excentricidad de una cónica se define como $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5774$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mmenor que $1$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{36}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad; y, de haber rectas asíntotas para dicha cónica, queremos también encontrar sus ecuaciones, el ángulo que forman con el eje de abcisas y el ángulo que forman entre ellas.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una hipérbola centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una hipérbola centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=25$, y por tanto $a=\sqrt{25}=5$; y $b^2=36$, con lo cual $b=\sqrt{36}=6$. Teniendo en cuenta que $2\,c$, es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (que están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $c^2=a^2+b^2$, vemos que $c^2=25+36=61$, luego $c=\sqrt{61}$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(\sqrt{61},0)$ y $F'(-\sqrt{61},0)$. Por otra parte, la excentricidad de la cónica es $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{61}}{5}\approx 1,5621$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mayor que $1$. Tratándose de una hipérbola, ésta tiene dos asíntotas, y al ser una h. centrada éstas pasan por el origen de coordenadas, las ecuaciones de dichas asíntotas son $a_1:y=:\tan(\theta_1)\,x=\dfrac{b}{a}\,x=\dfrac{6}{5}\,x$, y $a_2:y:=\tan{\theta_2}\,x=\dfrac{b}{-a}\,x=-\dfrac{6}{5}\,x$. El ángulo que forma $a_1$ con el eje de abscisas es $\theta_1=\text{arctan}(6/5)\approx 50^\circ\,11'$, el que forma $a_2$ con el eje de abscisas es por tanto $\theta_2=180^\circ-\theta_1\approx 129^\circ\,49'$, y el ángulo que forman las dos asíntotas entre sí es por consiguiente $180^\circ - 2\cdot 50^\circ\,11' = 79^\circ\, 38'$   $\diamond$