Un breve repaso a las funciones piso y techo

Las funciones discretas piso y techo envía número real $x$ a un número entero. Recordemos cómo se define la función piso, que se nota de la forma $\left \lfloor \,x\,\right \rfloor$: si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lfloor x \right \rfloor$, entonces $k \le x \lt k+1$; por ejemplo, $\left \lfloor -2,1 \right \rfloor = -3 \because -3 \lt -2,1 \lt -2$. Por otra parte, la función, que notamos de la forma $\left \lceil x \right \rceil$, se define de la siguiente manera: si $\mathbb{Z} \ni k=\left \lfloor x \right \rfloor$, entonces $k-1 \lt \left \lceil x \right \rceil \le k$; por ejemplo; $\left \lceil -1,7 \right \rceil = -1 \because -2 \lt -1,7 \lt -1$

oOo

Dicho ésto, sea un número real mayor o igual que $0$ y menor o igual que $2$,
¿cuál es el valor de $\left \lfloor \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3}\right \rfloor$ ?

Observemos que si $0 \le x \le 2$, entonces $0 \le \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3} \lt 1$, luego $\left \lfloor \dfrac{ \left \lceil x \right \rceil}{3}\right \rfloor=0$
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Otro ejemplo de clasificación y caracterización de curvas cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: y^2+3x+5y-8=0$$

Recordemos que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En nuestro caso: $a=b=0$, $c=1$ y $f=-8$, luego $\Delta = 0^2-4\cdot 0 \cdot 1 = 0$, por lo que la ecuación propuesta corresponde a una parábola.

Escribámosla ahora en forma reducida, esto es, de la forma $(y-y_V)^2=4c\,(x-x_V) \quad (1)$, donde $V(x_V,y_V)$ es el vértice de la parábola; $F(x_V+c,y_V)$ es el foco y $\text{r.d.}:$
  $y^2+3x+5y-8=0$
    $(y^2+5y)+3x-8=0$
      $(y+\frac{5}{2})^2-(\frac{5}{2})^2+3x-8=0$
        $(y+\frac{5}{2})^2+3x-\frac{57}{4}=0$
          $(y+\frac{5}{2})^2=-3x+\frac{57}{4}$
            $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{1}{3}\cdot\frac{57}{4})$
              $(y-(-\frac{5}{2}))^2=-3\,(x-\frac{19}{4}) \quad (1')$
Comparando (1) con (1'), deducimos que $y_V=-\frac{5}{2}$ y $x_V=\frac{19}{4}$, luego el vértice de la parábola es el punto $V(\frac{19}{4}\,,\,-\frac{5}{2})$

Por otra parte, sabemos que en una parábola cuyo vértice coincide con el origen de coordenadas, $y^2=4c\,x \quad (2)$, $c=\text{dist}(O,F)$, luego $x_F=c$ y $\text{r.d.}:x=-c$ es la ecuación de su recta directriz.

En nuestro caso (la parábola está desplazada a lo largo del eje de abscisas con respecto a (2)), el vértice se ve afectado, por supuesto, del mismo desplazamiento, por lo que $x_F=x_V+c=\frac{10}{4}+c$ y $\text{r.d.}:x=-c+x_V$. De la comparación de (1') y (2) vemos también que $4c=-3$ y por tanto, $c=-\frac{3}{4}$, con lo cual, $x_F=\frac{19}{4}+(-\frac{3}{4})=4$, y como $y_F=-\frac{5}{2}$, el foco es el punto $F(4\,,\,-\frac{5}{2})$. Y, en cuanto a la recta directriz, tiene por ecuación: $\text{r.d.}:x=-(-\frac{3}{4})+\frac{19}{4}$, es decir, $\text{r.d.}:x=\frac{11}{2}$

Por lo que se refiere a la excentricidad -parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia- de una parábola, recordemos que es igual a $1$. Nota: Recordemos también que, para una hipérbola, la excentricidad es mayor que $1$; para una elipse es menor que $1$, y, en el caso particular de que dicha elipse sea una circunferencia, en cuyo caso los semiejes de la elipse tienen el mismo valor, ésta es igual a $0$. $\diamond$

Un ejemplo de clasificación y caracterización de cónicas

Queremos estudiar la siguiente cónica: $\mathcal{C}: 2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$$

Hemos visto que, dada una curva cónica de ecuación (general) $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ y siendo $\Delta:=b^2-4ac$ se tiene que ésta corresponde a una elipse si $\Delta \lt 0$; a una hipérbola si $\Delta \gt 0$ y a una parábola si $\Delta=0$

En el caso que nos ocupa, $a=2$, $b=0$ y $c=4$, por lo que $\Delta = 0^2 - 4\cdot 2 \cdot 4 = -32 \lt 0$, luego la ecuación general dada corresponde a una elipse.

Para encontrar sus elementos característicos, transformaremos la ecuación general en la ecuación reducida $$\mathcal{C}: \dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1 \quad (1)$$ donde $C(x_C,y_C)$ es el centro de la elipse; y, $a$ y $b$ son sus semiejes.

Empecemos las transformaciones,
$2x^2+4y^2+5x-4y-1=0$
  $(2x^2+5x)+(4y^2-4y)-1=0$
    $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=\frac{0}{2}$
      $(x^2+\frac{5}{2}x)+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
        $(x+\frac{5}{4})^2-(\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
          $(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}+(2y^2-2y)-\frac{1}{2}=0$
            $(x+\frac{5}{4})^2+(2y^2-2y)-\frac{33}{16}=0$
              $\frac{1}{2}\cdot (x+\frac{5}{4})^2+\frac{1}{2}\cdot (2y^2-2y)-\frac{1}{2}\cdot \frac{33}{16}=0$
                $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+\frac{2}{2}\cdot (y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                  $\dfrac{(x+\frac{5}{4})^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                    $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y^2-y)-\frac{33}{32}=0$
                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                          $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2-\frac{33}{32}=0$
                            $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}-\frac{33}{32}=0$
                              $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+(y-\frac{1}{2})^2-\frac{41}{32}=0$
                                $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}-\frac{41}{32}=0$
                                  $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\frac{41}{32}$
                                    $\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{2})^2}+\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{1^2}=\dfrac{1}{\frac{41}{32}}\cdot \frac{41}{32}$
                                      $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{\frac{41}{32}\cdot (\sqrt{2})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{\frac{41}{32}\cdot 1}=1$
                                        $\dfrac{(x-(-\frac{5}{4}))^2}{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2}+\dfrac{(y-\frac{1}{2})^2}{(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=1 \quad (1')$

Comparando (1) con (1'), es claro que: $x_C=-\frac{5}{4}$, $y_C=\frac{1}{2}$, y por tanto el centro es el punto $C(-\frac{5}{4},\frac{1}{2})$, siendo las ecuaciones de los ejes de la elipse: $\text{e}_x:x=-\frac{5}{4}$ y $\text{e}_y:y=\frac{1}{2}$ y ; $a=\sqrt{\frac{41}{16}}$, $b=\sqrt{\frac{41}{32}}$. Por otra parte, sabemos que la excentricidad de una elipse se define como $e:=\dfrac{c}{a}$, donde $c$ es la distancia del centro de la elipse a los focos, cumple la relación $c^2=a^2-b^2$ -Nota: recordemos, sin embargo, que en una hipérbola, por el mismo significado del parámetro $c$ la relación que se verifica es $c^2=a^2+b^2$-, luego $c=\sqrt{(\sqrt{\frac{41}{16}})^2-(\sqrt{\frac{41}{32}})^2}=\sqrt{\frac{41}{16}-\frac{41}{32}}=\sqrt{\frac{41}{32}}$, por consiguiente, $e=\dfrac{ \sqrt{\frac{41}{32}}} {\sqrt{\frac{41}{16}}} =\sqrt{16}{32}=\sqrt{1}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071 \lt 1$, como debe ser tratándose de una elipse.

Calculemos ahora las coordenadas de los focos, $F$ y $F'$:
Sabemos que:
  $x_F=x_C+\text{dist}(C,F)=x_C+c=-\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F(-\frac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$
  $x_F'=x_C-\text{dist}(C,F')=x_C-\text{dist}(C,F)=x_C-c=-\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}$, y $y_F'=y_C=\frac{1}{2}$, luego $F'(-\frac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{32}}\,,\,\frac{1}{2})$

Y, finalmente, los cuatro vértices de esta elipse, $V_{\text{eje horizontal}}$ y $V'_\text{eje horizontal}$, y $V_\text{vertical}$ y $V'_\text{vertical}$:

    $V_{\text{eje horizontal}}=( -\dfrac{5}{4}+\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V'_\text{eje horizontal}=( -\dfrac{5}{4}-\sqrt{\frac{41}{16}}, \frac{1}{2})$
    $V_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}+\sqrt{\frac{41}{32}})$
    $V'_\text{vertical}=( -\dfrac{5}{4}, \dfrac{1}{2}-\sqrt{\frac{41}{32}})$
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Un ejercicio de incidencia de dos circunferencias

Consideremos las siguientes circunferencias: $\text{Cir}_1:x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)$ y $\text{Cir}_2:x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)$. Nos proponemos averiguar de qué tipo son, calcular los centros y los radios respectivos, y determinar los puntos de intersección entre ellas.

Veamos la primera. Como corresponde a una circunferencia con centro en otro punto distinto del origen de coordenadas, la escribiremos como $\text{Cir}_1:(x-x_{c_{1}})^2+(y-y_{c_{1}})^2-r_{1}^2=0$, esto es, $\text{Cir}_1:x^2-2x_{c_{1}}\,x+x_{c_{1}}^2+y^2-2x_{c_{1}}\,y+y_{c_{1}}^2 \quad (1')$, y comparando (1) con (1') deducimos: $x_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$, $y_{c_{1}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_1=\sqrt{x_{c_{1}}^2+y_{c_{1}}^2)-(-90)}=\sqrt{3^2+3^2+90}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Analicemos ahora con la segunda, haciendo lo mismo: $\text{Cir}_2:(x-x_{c_{2}})^2+(y-y_{c_{2}})^2-r_{2}^2=0$, y por tanto, $\text{Cir}_2:x^2-2x_{c_{2}}\,x+x_{c_{2}}^2+y^2-2x_{c_{2}}\,y+y_{c_{2}}^2 \quad (2')$, y comparando (2) con (2') deducimos: $x_{c_{2}}=-\dfrac{-2}{2}=1$, $y_{c_{2}}=-\dfrac{-6}{2}=3$ y $r_2=\sqrt{x_{c_{2}}^2+y_{c_{2}}^2)-(-90)}=\sqrt{1^2+3^2+90}=\sqrt{100}=10\,\text{u.l.a.}$ (unidades de longitud arbitrarias)

Finalmente, calculemos los puntos de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-6x-6y-90=0 \quad (1)\\ x^2+y^2-2x-6y-90=0 \quad (2)\end{matrix}\right.$$ Restando la segunda de la primera: obtenemos $4x=0 \Leftrightarrow x=0$, y sustituyendo en (1):
  $0^2+y^2-6\cdot 0-6y-90=0$
    $y^2-6y-90=0$
      $y=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 1\cdot (-90)}}{2\cdot 1}=\dfrac{6\pm 6\sqrt{11}}{2}=3\cdot (1\pm \sqrt{11})$, luego estas dos circunferencias se intersecan en dos puntos: $A(0\,,\,3\cdot (1 + \sqrt{11}))$ y $B(0\,,\,3\cdot (1 - \sqrt{11}))$
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Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $y^2=6x$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros y elementos característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y eje de simetría coincidente con el eje de abcsisas es $y^2=4c\,x$ -Observaciones: (1) a veces, se escribe la ecuación genérica de una parábola con vértice en el origen de la forma $y^2=2px$, donde $p=2c$; y (2), por supuesto, si el eje de simetría coincidiese con el eje de ordenadas, $x^2=2py=4cy$-. En el caso que nos ocupa es claro que el eje de simetría es el eje de abscisas, $c=\text{distancia}(O,F)$, siendo $F$ el foco de dicha parábola; así que vemos que, al ser, $6=4c$, $c=\dfrac{3}{2}$, luego las coordenadas del foco son $F(3/2,0)$. También sabemos que la recta directriz (perpendicular al eje de simetría) se encuentra al otro lado del vértice, y a la misma distancia del origen de coordenadas que la de éste al vértice, luego la ecuación de la recta directriz es $\text{rd}:x=-c=-\dfrac{3}{2}$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $(x-1)^2+(y+1)^2=3$. Queremos identificar el tipo de cónica, y calcular sus parámetros característicos.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse con centro en otro punto $C(x_C,y_C)$ distinto del origen de coordenadas es $\dfrac{(x-x_C)^2}{a^2}+\dfrac{(y-y_C)^2}{b^2}=1$, donde, en nuestro caso concreto, $a^2=b^2=3$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), y por tanto $a=b=\sqrt{3}$. Y, al tener el mismo valor los semiejes $a$ y $b$, deducimos que se trata de una circunferencia; su excentricidad $e:=\dfrac{c}{a}=0$ (como ha de ser en el caso de una circunferencia) ya que, para una elipse genérica $c:=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{0}{3}=0$. Teniendo en cuenta además que $x_C=1$ y $y+1=y-(-1)$, se tiene que $y_C=-1$, luego el centro de dicha circuferencia es el punto $C(1,-1)$. Veamos ahora el valor del radio de la misma. Como una circunferencia descentrada responde a la ecuación $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$, identificando el segundo miembro con el valor $3$, es claro que $R=\sqrt{3}$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una elipse centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una elipse centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=3$, y por tanto $a=\sqrt{3}$; y $b^2=2$, con lo cual $b=\sqrt{2}$. Teniendo en cuenta que $2\,c$ es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (los cuales están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $a^2=c^2+b^2$ -recordemos que, por contra, en una hipérbola dicha relación es $c^2=a^2+b^2$-, vemos que $c^2=a^2-b^2=3-2=1$, luego $c=\sqrt{1}=1$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(1,0)$ y $F'(-1,0)$. Por otra parte, la excentricidad de una cónica se define como $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5774$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mmenor que $1$.   $\diamond$

Ejercicios con curvas cónicas

Considérese la curva cónica cuya ecuación en coordenadas cartesianas es $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{36}=1$. Queremos calcular las coordenadas del centro y de los focos, y también su excentricidad; y, de haber rectas asíntotas para dicha cónica, queremos también encontrar sus ecuaciones, el ángulo que forman con el eje de abcisas y el ángulo que forman entre ellas.

Teniendo en cuenta que la ecuación genérica de una hipérbola centrada es $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$, es claro que la ecuación propuesta corresponde a una hipérbola centrada (su centro es el origen de coordenadas), siendo $a^2=25$, y por tanto $a=\sqrt{25}=5$; y $b^2=36$, con lo cual $b=\sqrt{36}=6$. Teniendo en cuenta que $2\,c$, es la distancia entre los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ (que están sobre el eje de abscisas), se relaciona con $a$ y $b$, mediante la ecuación $c^2=a^2+b^2$, vemos que $c^2=25+36=61$, luego $c=\sqrt{61}$; por consiguente las coordenadas de los focos son $F(\sqrt{61},0)$ y $F'(-\sqrt{61},0)$. Por otra parte, la excentricidad de la cónica es $e:=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{61}}{5}\approx 1,5621$, que, como debe ser tratándose en una hipérbola, es mayor que $1$. Tratándose de una hipérbola, ésta tiene dos asíntotas, y al ser una h. centrada éstas pasan por el origen de coordenadas, las ecuaciones de dichas asíntotas son $a_1:y=:\tan(\theta_1)\,x=\dfrac{b}{a}\,x=\dfrac{6}{5}\,x$, y $a_2:y:=\tan{\theta_2}\,x=\dfrac{b}{-a}\,x=-\dfrac{6}{5}\,x$. El ángulo que forma $a_1$ con el eje de abscisas es $\theta_1=\text{arctan}(6/5)\approx 50^\circ\,11'$, el que forma $a_2$ con el eje de abscisas es por tanto $\theta_2=180^\circ-\theta_1\approx 129^\circ\,49'$, y el ángulo que forman las dos asíntotas entre sí es por consiguiente $180^\circ - 2\cdot 50^\circ\,11' = 79^\circ\, 38'$   $\diamond$