Enunciat:
Donada la recta
$r:\,y=2x+k$
i la circumferència
$c:\,(x-1)^2+y^2=1$
determineu els valors de $k$ per als quals $r$ i $c$ són tangents.
Resolució:
Per tal d'investigar la incidència entre $r$ i $c$ cal resoldre el sistema d'equacions
$\left.\begin{matrix} (x-1)^2+y^2=1 \\ y=2x+k \\ \end{matrix}\right\}$
Substituint l'expressió de $y$ de la segona equació a la primera equació trobem una equació compatible amb les altres dos amb només una variable
$(x-1)^2+(2x+k)^2=1$
desenvolupant les potències del binomis i agrupant i simplificant queda
$5x^2+2x(2k-1)+k^2=0$
La solució d'aquesta equació polinòmica de segon grau dóna les abscisses dels punts d'intersecció de $r$ i $c$; en el cas que la recta no sigui secant (la recta talla en dos punts a la circumferència) ans sigui tangent (en cada situació de tangència - és obvi que n'hi haurà dos - la recta toca la circumferència en un sol punt), es complirà que el valor del discriminant
$\Delta=b^2-4ac$
serà igual a zero
com que
$a=5$
$b=2\,(2k-1)$
i
$c=k^2$
imposant la condició anterior trobem
$\big(2\,(2k-1)\big)^2-4\cdot 5 \cdot k^2 = 0$
equació que, simplificada, s'escriu
$k^2-4k-1=0$
resolent-la, trobem dos valors de $k$ (un per cada un dels dos punts de tangència)
$k=\dfrac{-4 \pm 2\,\sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{matrix} -2+|\sqrt{5}| \\ \\ -2-|\sqrt{5}| \\ \end{matrix}\right.$
$\square$
[autoría]
