Un cálculo sin calculadora

En este ejercicio de cálculo: $2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{18}$, se pide que se calcule el resultado sin ayuda de la calculadora científica. Daros cuenta de que, en otras palabras, se pide el resultado de la suma de los $18$ primeros términos de una sucesión geométrica de razón igual a $2$ y primer término igual a $1$. Como bien sabréis, la suma de los $n$ primeros términos consecutivos de una sucesión geométrica de razón $r$ y primer término igual a $a_1$ es, $S_n=a_1\,\dfrac{r^n\,-1}{r-1}$, y, en nuestro caso, $a_1=1$, $r=2$ y $n=18$; dicha suma es pues igual $\dfrac{2^{18}-1}{2-1}=2^{18}-1$. La propuesta de calcular esta cantidad sin la ayuda de la calculadora apareció en una Olimpiada Matemática. Como veréis, con paciencia, y poco a poco, escribiendo los pasos, podemos llegar al resultado final, sin necesidad de la ayuda de la calculadora. ¿Te animas a probar a hacer cálculos similares?

$2^{18}-1=$
  $=(2^9)^2-1^2$
    $=\left(2^9-1\right)(2^9+1)$
      $=\left(512-1\right)(512+1)$
        $=511\cdot 513$
          $=(500+11)\cdot (500+13)$
            $=500^2+500\,(11+13)+11\cdot 13$
              $=250\,000+500\cdot 24+(10+1)(10+3)$
                $=250\,000+500\cdot (20+4)+(10+1)(10+3)$
                  $=250\,000+500\cdot 20+500\cdot 4+10^2+10(1+3)+1\cdot 3$
                    $=250\,000+10\,000+2\,000+100+40+3$
                      $=262\,143$
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Raíces reales y complejas de un polinomio

En el siguiente ejercicio voy a calcular todas las raíces (ya sean reales o complejas) del polinomio $P(x):=x^6-(x-1)^6$, siendo $x \in \mathbb{R}$. Observemos que, al imponer la condición necesaria de existencia de raíces de un polinomio, nos encontramos con la siguiente ecuación: $x^6-(x-1)^6=0$, siendo en realidad una ecuación polinómica de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades de cada una de ellas), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese) de la manera que ya se ya estudiado con anterioridad, y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x-1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x-1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x-1)^3\right)\left(x^3+(x-1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x-1)) (x^2+x(x-1)+(x-1)^2) (x+(x-1)) (x^2-x(x-1)+(x-1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $1\cdot (3x^2-3x+1)(2x-1)(x^2-x+1)=0 \Leftrightarrow$
            $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2-3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 3\cdot 1}}{2\cdot 3}=\dfrac{3\pm i\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2-x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-(-1) \pm i\,\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
Éstas son pues las cinco raíces del polinomio pedido: $$\{\dfrac{1}{2}, \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{6}, \dfrac{3 - i\sqrt{3}}{6} \}$$ $\diamond$

Hablemos de cinemática

En cinemática, se define la rapidez (o celeridad) media en un intervalo de tiempo $[t_1,t_2]$, como el cociente $\dfrac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}$ (llamado también cociente incremental), siendo $s(t)$ la distancia a un origen del sistema referencia predeterminado (elegido). En este ejemplo, voy a calcular la rapidez media de un móvil cuya distancia a un reflector de radar (origen del sistema de referencia) se sabe que viene dada por la función $s(t)=4\,\sqrt{t^3}$, entre los instantes de tiempo $t_1=10\,\text{s}$ y $t_2=15\,\text{s}$

De acuerdo con la definición, la rapidez entre dichos instantes de tiempo es igual a $=\dfrac{4\,\sqrt{15^3}-4\,\sqrt{10^3}}{15-10} \approx 21\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Para hacernos una idea más «automovilística» serían aproximadamente $76\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$

Observación:
Si el incremento de tiempo del cociente lo hiciésemos cada vez más pequeño, hasta hacerlo tender a cero, a la vez que el incremento $\Delta\,s$ se hace también más pequeño, llegaríamos (en el límite) al concepto de celeridad instantánea, que en el caso de un movimiento rectilíneo no sería más que la velocidad instantánea (la velocidad en un instante $t$); y, en el caso de un movimiento no rectilíneo, deberíamos extender esa idea teniendo en cuenta el caracter vectorial de $\vec{s}$. De esta forma, podríamos hablar ya de velocidad media en el intervalo $[t_1,t_2]$: $\vec{v}_m:=\dfrac{\vec{s}(t_2)-\vec{s}(t_1)}{t_2-t_1}$ y de velocidad instantánea (en un instante $t$, donde $t_1 \le t \le t_2$): $\displaystyle \vec{v}(t):=\dfrac{\vec{s}(t)-\vec{s}(t_1)}{t-t_1}$

Otro ejercicio de resolución de ecuaciones polinómicas

$x^4=(x-1)^4$
  $x^4-(x-1)^4=0$
    $(x^2)^2-\left((x-1)^2\right)^2=0$, y como la suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de los mismos (identidad):
      $\left(x^2-(x-1)^2\right)\,\left(x^2+(x-1)^2\right)=0$
        $(x^2-x^2+2x-1)\,(x^2+x^2-2x+1)=0$
          $2x-1)\,(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\\ x^2-2x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2\cdot 1}=\dfrac{2\pm i\sqrt{2}}{2}=1\pm i\end{matrix}\right.$
La solución consta pues de un valor real, $\dfrac{1}{2}$, y de dos valores complejos: $1-i$ y $1+i$.

-oOo- Nota:
  Las soluciones de la ecuación polinómica son, por supuesto, las raíces del polinomio $P(x):=x^4-(x-1)^4$. El hecho de que sólo aparezcan tres raíces es debido a que el polinomio $P(x)$ no es de grado cuatro, como podríamos pensar en un primer vistazo, sino de grado tres, pues si lo desarrollásemos en todos sus términos veríamos que los de grado cuatro se anulan, siendo tres el término de mayor grado, de ahí que aparezcan exactamente tres raíces (teorema fundamental del álgebra TFD: Todo polinomio no nulo, de una sola variable, de grado $n$ con coeficientes complejos (en particular, desde luego, pueden ser reales) tiene exactamente $n$ raíces complejas, contabilizando las multiplicidades de cada una de ellas). $\diamond$

Ejemplo de un polinomio que no tiene raíces

¿Cómo se puede justificar la afirmación de que el polinomio $P(x)=x^2+x+1$ no tiene raíces y que por tanto es un polinomio primo, sin recurrir a dibujar la gráfica del mismo?

Veamos que signo toma el polinomio sea cuál sea el valor de la variable independiente. Si $x\gt 0$, es evidente que $P(x)>0$; en el caso de que $x=0$, $P(0)=0+1\gt 0$; y, si $x\lt 0$, es claro que $x^2+x\gt 0$, pues de ser $|x|\gt 1$, $x^2\gt |x|$, con lo cual $x^2+x\gt 0$ y por tanto $x^2+x+1\gt 0$, y si $|x|\lt 1$, $x^2\lt |x|$ y por tanto $-1\lt x^2+x \lt 0$, luego $x^2+x+1\gt 0$. En consecuecia, el valor del polinomio es positivo para todo valor de $x$, luego no existe ningún valor de $x$ para el que el polinomio se anule, es decir, no tiene raíces, luego es un polinomio primo. $\diamond$

Un ejercicio con logaritmos

Como ejercicio de manejo algebraico con las propiedades de las potencias, los logaritmos, y las bases de los mismos, en este artículo voy a demostrar que la única solución real de la ecuación $25^{2x}=50$ es $\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}$; y, finalmente, a partir de esta expresión exacta de la solución, calcularé una aproximación decimal de la misma, redondeando a la cuarta cifra decimal.

$25^{2x}=50$
  $\log_{25}\,25^{2x}=\log_{25}\,50$
    $\log_{25}\,25^{2x}=\log_{25}\,(25\cdot 2)$
      $2x\,\log_{25}\,25=\log_{25}\,25+\log_{25}\,2$
        $(2x)\cdot 1=1+\log_{25}\,2$
          $2x=1+\log_{25}\,2$
            $x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \log_{25}\,2$
              $x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,(2)^{\frac{1}{2}}$
                $x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}$
Llegados a este punto (la primera parte ya está resuelta), conviene expresar el logaritmo de base $25$ en función de un logaritmo cuya base esté en nuestra calculadora científica básica (se supone que solamente tenemos a nuestra disposición el logaritmo neperiano y el logaritmo decimal); por ejemplo, el logaritmo neperiano; para ello, démonos cuenta de que (cambio de base logarítmica) $\log_{25}\,\sqrt{2}=\dfrac{\ln\,\sqrt{2}}{\ln\,25}$, por consiguiente:
$$x=\dfrac{1}{2}+\log_{25}\,\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln\,\sqrt{2}}{\ln\,25}\overset{\text{calculadora científica}}{\approx} 0,6077$$ $\diamond$

Un ejercicio de aplicación sobre rectas en el plano: deducción de las fórmulas para convertir una temperatura expresada en grados Celsius a la correpondiente temperatura expresada en grados Fahrenheit

En este artículo, y a modo de ejercicio de aplicación sobre (rectas en el plano), voy a ver qué relación hay entre estas dos escalas de temperatura. Para ello, y teniendo en cuenta que la relación entre las dos es de proporcionalidad, basta con tener en cuenta dos puntos, el de congelación y el de ebullición del agua (en condiciones normales de presión atmosférica): la temperatura de congelación del agua es de $0^\circ\,\text{C}$, que corresponde a $32^\circ\,\text{F}$, y el de ebullición es de $100^\circ\,\text{C}$, que corresponde a $212^\circ\,\text{F}$.

He representado gráficamente estos dos puntos, $A(0,21)$ y $B(100,212)$, y he dibujado la recta que pasa por sendos puntos (existe proporcionalidad entre una escala y otra) en la gráfica de la Fig. 1

Hecho ésto, bastará ahora determinar la ecuación de dicha recta. Para ello, designaré la variable independiente cuyos valores se representan en el eje de abscisas por $x$ (temperaturas expresadas en grados Celsius), y la variable dependiente por $y$ (temperaturas expresadas en grados Fahrenheit), cuyos valores se representan en el eje de ordenadas. Escribiré directamente la ecuación de la recta en forma continua, y, a partir de ésta, se podrá despejar una u otra variable, según convenga. Siendo $P(x,y)$ un punto genérico de la recta, podemos pues escribir: $$\dfrac{x-0}{100-0}=\dfrac{y-32}{212-32}$$ que, simplificando, es lo mismo que $$\dfrac{x}{5}=\dfrac{y-32}{9}$$

Así que, despejando $y$, se llega a $$y=\dfrac{9}{5}\,x+32$$ ecuación que podemos emplear para, a partir de la temperatura expresada en grados Celsius, calcular dicha temperatura expresada en grados Fahrenheit, que, para que sea más fácil de manejar, suele emplearse $F$ en lugar de $y$ y $C$ en lugar de $x$: $$F=\dfrac{9}{5}\,C+32 $$

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Observación 1:
De la relación anterior, notemos que para que en la escala Fahrenheit aparezcan valores negativos deberá cumplirse que $\dfrac{9}{5}\,C+32 \lt 0$, esto es, si $C \lt -\dfrac{5}{9}\cdot 32 \approx -18^\circ\,\text{C}$

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Por otra parte, despejando $x$, se llega a $$x=\dfrac{5}{9}\,(y-32)$$ ecuación que podemos emplear para, a partir de la temperatura expresada en grados Fahrenheit, calcular dicha temperatura expresada en grados Celsius, que, para mayor claridad, reescribimos de la forma: $$C=\dfrac{5}{9}\,(F-32) $$

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Observación 2:
De la relación anterior, notemos que para que en la escala Celsius aparezcan valores negativos deberá cumplirse que $\dfrac{5}{9}\,(F-32) \lt 0$, esto es, y como cabe esperar echando un vistazo a la gráfica, si $C \lt 32^\circ\,\text{F}$

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