Ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales, pero que sí la tienen en el conjunto de los números complejos

En el artículo anterior había comentado que la ecuación $1^x=2$ no tiene solución en el conjunto de los números reales. Sin embargo, sí que la tiene en el conjunto de los números complejos, tal y como voy a mostrar a continuación.

Notemos que, de acuerdo con la fórmula de Euler, $1=e^{2k\pi\,i} \, \forall\, k\in \mathbb{Z}$. Entonces, la ecuación planteada la podemos escribir de la forma $(e^{2k\pi\,i})^x=2$, esto es, $e^{2k\pi\,x\,i}=2$; así que, extrayendo logaritmos neperianos en ambos miembros, llegamos a $\ln\,\left( e^{2k\pi\,i\,x} \right)=\ln\,2$, de donde $2k\pi\,\,i\,x=\ln\,2$. Y, despejando $x$, se llega a $x=\dfrac{\ln\,2}{2k\pi\,i}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\pi}\,\forall,0\neq k\in \mathbb{Z}$; es decir, existe un número infinito de números complejos, con esa estructura, que forman la solución de la ecuación planteada. $\diamond$

Ecuaciones incompatibles en el conjunto de los números reales. Un ejemplo

Preguntémonos si existe algún número real, $x$, para el cual se cumpla la igualdad $1^x=2$. Es decir, nos planteamos resolver dicha ecuación en el conjunto de los números reales. Como vamos a ver enseguida, esta ecuación no tiene solución (es incompatible). Veámoslo:

Observemos que en el primer miembre se tiene que $1^x=1\,\forall\,x\in \mathbb{R}$, pero $1\neq 2$ (segundo miembro de la ecuación), luego la ecuación es incompatible en el conjunto de los números reales. $\diamond$

Una ecuación con términos exponenciales

En este artículo voy a resolver este ejercicio, que consiste en demostrar que la solución de la ecuación $5^x+5^x+5^x=6$ es $x=\log_{5}\,2$

Si bien, bastaría con hacer una comprobación de la supuesta solución (que también voy a hacer al final), voy a resolver la ecuación paso a paso, para ver si llego a esa cantidad, pues creo que, aunque bastaría con dicha comprobación, no desmerece para nada resolver la ecuación. Empecemos:
  $5^x+5^x+5^x=6$
    $5^x\,(1+1+1)=6$
      $3\cdot 5^x=6$
        $3\cdot 5^x=3\cdot 2$
          $5^x=2$
            $\ln\,(5^x)=\ln\,2$
              $x\,\ln\,5=\ln\,2$
                $x=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,5}$
                  $x=\log_{5}\,2$

-oOo-

Comprobación:
$5^{\log_{5}\,2}+5^{\log_{5}\,2}+5^{\log_{5}\,2}\overset{?}{=}6$
Veámoslo sustituyendo la solución encontrada en lugar de $x$ en el primer miembro de la ecuación original, para ver si su valor numérico es igual a $6$. En efecto,
  $5^{\log_{5}\,2}\,(1+1+1)=3\cdot 5^{\log_5\,2}=3\cdot 2=6$. $\diamond$

Un ejercicio sobre ecuaciones no polinómico un tanto laborioso, pero muy interesante

En la misma línea que el artículo precedente, vamos a resolver (en el conjunto de los números reales) la siguiente ecuación con términos irracionales: $$x+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4$$

En primer lugar, teniendo en cuenta que intervienen raíces cuadradas en los términos algebraicos, tendremos en cuenta el dominio de definición de las mismas: del segundo término del primer miembro vemos que el valor de $x-1$ ha de ser mayor no negativo, esto es, $x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$; en cuanto al segundo término, $x+1$ también ha de tomar valores no negativos, luego $x\ge -1$; y, por lo que se refiere al tercer término, es claro que sólo podremos aceptar los valores no negativos de la función $x^2-1$, es decir, los que sean menores o iguales que $-1$ y los que sean mayores o iguales que $1$. De todo ello, compatibilizando todos estos requerimientos, deducimos que $x\ge 1$, y por tanto en la solución estará compuesta por valores mayores o iguales que $1$.

Procedamos ahora a realizar las operaciones algebraicas que nos llevarán, poco a poco, a encontrar dicha solución. Sumando $-1$ en cada miembro:
  $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4-1$
    $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=3$
      $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)(x+1)}=3$
        $x-1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=3 \quad (1)$
Sumando $1$ en cada miembro:
  $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=4+1$
    $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}=5$
      $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{(x-1)\,(x+1)}=5$
        $x+1+\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\,\sqrt{x+1}=5 \quad (2)$
Denotemos, por comodidad de manipulación algebraica: $u:=\sqrt{x-1}$ y $v:=\sqrt{x+1}$, con lo cual, $(1)$ y $(2)$ pueden escribirse de la forma:
      $u^2+u+v+u\,v=3 \quad (1')$
      $v^2+u+v+u\,v=5 \quad (2')$
Restando $(1')$ de $(2')$, miembro a miembro, obtenemos:
      $v^2-u^2=5-3$, esto es,
        $(v-u)\,(v+u)=2 \quad (3)$
Sumando $(1')$ y $(2')$, miembro a miembro, se llega a:
      $v^2-u^2=5-3$, esto es,
        $u^2+v^2+2u+2v+2u\,v=8$
lo que es lo mismo que
        $(u+v)^2-2u\,v+2u+2v+2u\,v=8$
y simplificando,
        $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$
Resolviendo esta ecuación cuadrática en la variable $u+v$, con el propósito de hallar las raíces del polinomio del primer miembro y, a partir de las mismas factorizarlo, vemos que
        $u+v=\dfrac{-2\pm \sqrt{4\cdot 1 \cdot (-8)}}{2\cdot 1}=\dfrac{-2\pm 6}{2}=\left\{\begin{matrix}2\\ -4\end{matrix}\right.$
con lo cual $(u+v)^2+2(u+v)-8=0$ puede escribirse de la forma $(a+b-2)(a+b-(-4))=0 \quad (4)$ y, por tanto, deducimos que $a+b=2 \quad (4')$ ó (no necesariamente exlusivamente) $a+b=-4 \quad (4'')$
Sustituyendo $(4')$ en $(3)$, nos encontramos con que $2\,(v-u)=2$, es decir, $v-u=1$; y teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$, podemos escribir:
  $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=1$
    $\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x-1}$
      $(\sqrt{x+1})^2=(1+\sqrt{x-1})^2$
        $x+1=1^2+2\cdot 1 \cdot \sqrt{x-1}+(\sqrt{x-1})^2$
          $x+1=1+2\,\sqrt{x-1}+x-1$
            $1=2\,\sqrt{x-1}$
              $\dfrac{1}{2}=\sqrt{x-1}$
                $(\dfrac{1}{2})^2=(\sqrt{x-1})^2$
                  $\dfrac{1}{4}=x-1$
                    $\dfrac{1}{4}+1=x$
                      $x=\dfrac{5}{4}$, que, como puede verse, es mayor que $1$, tal como debe ser; ya tenemos pues un valor de la solución, $x=\dfrac{5}{4}$, pero podría haber más. Veámoslo:
Sustituyendo $(4'')$ en $(3)$, nos encontramos con que $-4\,(v-u)=2$, luego $v-u=-\dfrac{1}{2}$; y, como hemos hecho antes, teniendo en cuenta qué es lo que denotan $v$ y $u$:
  $\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=-\dfrac{1}{2}$
    $\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2}$
      $(\sqrt{x+1})^2=(\sqrt{x-1}-\dfrac{1}{2})^2$
        $x+1=(\sqrt{x-1})^2-2\cdot \dfrac{1}{2}\,\sqrt{x-1}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$
          $x+1=x-1-\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{4}$
            $2-\dfrac{1}{4}=-\sqrt{x-1}$
              $\dfrac{7}{4}=-\sqrt{x-1}$, con lo cual $0 \le \sqrt{x-1}=-\dfrac{7}{4} \le 0$, luego ésto, que es lo que quedaba por hacer, vemos que no conduce a ningún otro valor de la solución.
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En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $\dfrac{5}{4}$. $\diamond$

Sobre la necesidad de comprobar los valores obtenidos en la resolución de una ecuación con términos no polinómicos

En las ecuaciones con términos no polinómicos, como la del ejemplo que nos ocupa en este artículo, deberemos hacer las transformaciones algebraicas necesarias para llegar a una ecuación polinómica, que, en principio, supondremos que sabemos resolver; sin embargo, bien pudiera ser que no todos los valores solución de dicha ecuación a la que hemos ido a parar sean también valores solución de la ecuación original. Por tal motivo, siempre deberemos comprobar los valores solución de la ecuación polinómica que resolvamos, sustituyéndolos en la ecuación original para ver si se cumple la igualdad numérica correspondiente. Lo siguiente es un claro ejemplo:

$x+\sqrt{x-1}=1$
  $x-1+\sqrt{x-1}=1-1$
    $x-1+\sqrt{x-1}=0$
      Denotemos $a:=\sqrt{x-1}$, con lo cual $x-1=a^2$. Entonces,
        $a^2+a=0$
          $a\,(a+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=0 \Rightarrow \sqrt{x-1}=0 \Leftrightarrow x_1=1 \\ a=-1 \Rightarrow \sqrt{x-1}=-1 \Leftrightarrow \left(\sqrt{x-1}\right)^2=(-1)^2 \Leftrightarrow x-1=1 \Leftrightarrow x_2=2 \end{matrix}\right.$
Vemos pues que la ecuación polinómica que hemos obtenido al hacer las transformaciones algebraicas consta de dos valores en su solución: $x_1=1$ y $x_2=2$. Veamos ahora &madash;paso importantísimo— si también son solución de la ecuación original:

Probemos con $x_1=1$:
  $1+\sqrt{1-1}\overset{?}{=}1$
    $1+\sqrt{0}\overset{?}{=}1$
      $1+0\overset{?}{=}1$
Como el valor del primer miembro es $1$, que coincide con el del segundo miembro, podemos afirmar que $1$ forma parte de la solución de la ecuación original $x+\sqrt{x-1}=1$.

Probemos ahora con $x_1=2$:
  $1+\sqrt{2-1}\overset{?}{=}1$
    $1+\sqrt{1}\overset{?}{=}1$
      $1+1\neq 1$
Cláramente, el valor del primer miembro, que es $2$, no coincide con eel valor del segundo miembro, que es $1$; por consiguiente, podemos afirmar que $2$ no forma parte de la solución de la ecuación original $x+\sqrt{x-1}=1$.

En conclusión: la solución de la ecuación original consta de un único valor: $1$. $\diamond$

Soluciones reales y complejas de ciertas ecuaciones polinómicas. Raíces reales y complejas de un polinomio

En este ejercicio, similar al anterior, nos proponemos encontrar todos los valores, reales o complejos, que componen la solución: $$(x-1)^3=-1$$

Recordemos que nuestro objetivo es escribir la ecuación original de manera que en un miembro tengamos un polinomio factorizado y en el otro miembro cero; de esta manera, pretendemos encontrar las raíces de dicho polinomio de una manera secilla. Dichas raíces son las soluciones de la ecuación planteada. Para facilitar la factorización, también en este ejercicio utilizaremos identidades notables; en concreto, $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$, que, como veremos, se adecúa al tipo de situación con la que nos encontraremos.

$(x-1)^3=-1$
  $(x-1)^3+1=0$
    $(x-1)^3+1^3=0$
    Empleando la identidad $(1)$, con $a:=x-1$ y $b:=1$, podemos escribir:
      $\left((x-1)+1\right)\,\left((x-1)^2-1\cdot (x-1)+1^2 \right)=0$
        $x\,(x^2-3x+3)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x=0 \\ x^2-3x+3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$
Así pues, la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{0, \dfrac{3- i\,\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{3}}{2}\}$$ $\diamond$

Una ecuación polinómica de grado $3$

Veamos cómo resolver la siguiente ecuación polinómica de tercer grado, sin recurrir a encontrar préviamente las raíces del polinomio del primer miebro (para luego factorizar): intentaremos factorizar directamente, valíendonos de algunas identidades notables. La ecuación es la siguiente: $$x^3-x^2+12=0$$

En concreto, las identidades que, como veremos enseguida, se adecúan bien a nuestro objetivo son: $a^3+b^3=(a+b)\,(a^2-ab+b^2) \quad (1)$ y $a^2-b^2=(a-b)\,(a+b) \quad (2)$. Procedamos:

$x^3-x^2+12=0$
  $x^3-x^2+2^3+2^2=0$
    $(x^3+2^3)-(x^2-2^2)=0$
      $\left((x+2)\,(x^2-2x+2^2)\right)-\left((x-2)\,(x+2)\right)=0$ (teniendo en cuenta $(1)$ en el primer término del primer miembro y $(2)$ en el segundo término)
        $(x+2)\,\left( (x^2-2x+2^2)-x+2 \right)=0$
          $(x+2)\,(x^2-3x+6)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+2=0 \Leftrightarrow x=-2 \\ x^2-3x+6=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 6 \cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{3\pm i\,\sqrt{15}}{2}\end{matrix}\right.$
Luego la solución se compone de un valor real y dos valores complejos: $$\{-2, \dfrac{3- i\,\sqrt{15}}{2}, \dfrac{3 + i\,\sqrt{15}}{2}\}$$ $\diamond$