Un ejercicio práctico de cambio de base logarítmica

En este artículo voy a mostraros cómo podemos expresar el logaritmo neperiano (en base el número trascendente $e=2,71828\ldots$) de $x$ (recordemos que $x$ ha de ser un número real mayor que $0$) con logaritmos de base $2$.

Ya hemos hablado de este asunto del cambio de base logarítmica en otras ocasiones; en este ejercicio me ha parecido sin embargo muy útil en tanto y cuanto nos podemos encontrar con alguno parecido cuando se tratan problemas sobre la cantidad de información en bits, en los que los logaritmos deben tener base $2$.

Designemos $t:=\ln\,x$, donde $\ln(.)$ denota el logaritmo en base $e$. Bien, entonces, por la propiedad fundamental de los logaritmos, sabemos que $x=e^t$; y, extrayendo logaritmos en base $2$ en cada miembro, llegamos a $\log_2\,x=\log_2\,e^t$, es decir, $t\,\log_2\,e=\log_{2}\,x \Rightarrow t=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$. En consecuencia, $$\ln\,x=\dfrac{\log_2\,x}{\log_2\,e}$$ $\diamond$

Utilidades de los logaritmos para comparar cantidades de la misma magnitud. Órdenes de magnitud

A menudo, nos pueden nos pueden surgir cuestiones del siguiente estilo:
Sean dos valores positivos de una misma magnitud: $x_1$ y $x_2$, con $x_1 \gt x_2$. Sabiendo que $\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_2}=k$, donde $k\gt 1$, por ser el numerador mayor que el denominador. Entonces, ¿en cuántos órdenes de magnitud es mayor $x_1$ que $x_2$?

De $\log_{10}\,\dfrac{x_1}{x_2}=k$ se deduce que $\dfrac{x_1}{x_2}=10^k$, esto es, $x_1= 10^k\,x_2$; es decir, $x_1$ es $10^k$ veces $x_1$, o dicho de otra forma: $x_1$ es $k$ ordenes de magnitud mayor que $x_2$. $\diamond$

Ejemplo de resolución de una ecuación trascendente sencillita

En este artículo voy a resolver la ecuación trascendente para $x\in \mathbb{R}$ $$x^x=1$$

Extrayendo logaritmos en cada miembro:
  $\ln(x^x)=\ln\,1$
    $x\,\ln(x)=\ln\,1$
      $x\,\ln(x)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ \ln\,x=0 \Leftrightarrow x=1\end{matrix}\right.$

Ahora debemos verificar estas dos posibles soluciones, sustituyéndolas en la misma para ver si se cumple que la cantidad del primer miembro sea igual a la del segundo:

Para $x=0$ vemos que el primer miembro es $0^0$, que es una ideterminación, y por tanto no podemos garantizar que sea igual al valor del segundo miembro, luego descartamos este valor, $0$, como solución.

Para $x=1$ se tiene que $1^1=1$, que es igual al valor $1$ del segundo miembro, luego este valor, $1$, sí es solución de la ecuación original.

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Observación:

Si el segundo miembro de la ecuación hubiese sido distinto de $1$, no podríamos haber encontrado una solución exacta, teniendo en tal caso que recurrir a métodos numéricos aproximados.

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Un ejercicio de comparación de números trascendentes

Sin utilizar la calculadora científica ni hacer ningún tipo de cálculo numérico, vamos a averiguar qué número es mayor, $\pi^e$ o $e^\pi$

Es claro que ambos números son mayores que $1$, y no son iguales. Para averiguar cuál es la respuesta a la pregunta, partamos del cociente $\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}$, que vamos a examinar en datalle a continuación.

Si $\pi^e \gt e^\pi$, dicho cociente tendrá que ser mayor que $1$; y, en caso contrario, dicho cociente debería ser menor que $1$. Veamos si se trata de una cosa u otra.

Para ello, tengamos en cuenta que todo número real positivo $a$ puede expresarse como $a=e^{\ln\,a}$, por lo que asignando $a:=\pi$, podemos escribir el cociente de la forma $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}}$$

Por otra parte, tengamos en cuenta que los puntos de la gráfica de la función $y=\ln\,x$ están todos por debajo de la gráfica de la función $y=x$ (las ordenadas de la primera son menores que las de la segunda); en efecto, las funciones $y=e^x$ e $y=\ln\,x$ son recíprocas una de la otra, esto es, la gráfica $y=\ln\,x$ es el reflejo de $e^x$ con respecto a la bisectriz del primer (y del tercer) cuadrante $y=x$, y viceversa. Entonces, podremos acotar el cociente; y, a partir de ahí, llegar fácilmente a la respuesta a la pregunta planteada: $$\dfrac{\pi^e}{e^{\pi}}=\dfrac{\left( \ln\, e^\pi\right)^e}{e^\pi}=\dfrac{e\,\ln\,e^\pi}{{e^\pi}} \le \dfrac{e\cdot e^\pi}{e^\pi}=e \gt 1 \Rightarrow \pi^e \gt e^\pi$$ $\diamond$

El uso de los logaritmos para describir el grado de acidez de una disolución acuosa. Cálculo de la concentración de protones, conocido el valor del $pH$ de la disolución

El pH de una disolución se define como el logaritmo decimal del inverso de la concentración molar de iones hidronio $[H_3\,O]^+$ (en $\dfrac{\text{mol}}{\text{L}}$), esto es $\text{pH}:=\log_{10}\,\dfrac{1}{[H_3\,O]^+}$, o lo que es lo mismo, $\text{pH}=-\log_{10}\,[H_3\,O]^+$. De los conocimientos que tenéis de Química, ya sabéis que un $\text{pH}$ por debajo de $7$ indica una disolución ácida; por encima de dicho valor indica una disolución básica (o alcalina), y un $\text{pH}$ igual a $7$ hace referencia a una disolución neutra.

Veamos un ejemplo de cómo calcular la concentración de iones hidronio (protones), conociendo el valor del $\text{pH}$ de la disolución. Pongamos que éste sea $\text{pH}=4,2$. Entonces, como $4,2=-\log_{10}\,[H_3\,O]^+$ (esto es, $-4,2=\log_{10}\,[H_3\,O]^+$) se tiene que $[H_3\,O]^+=-10^{4,2}\approx 6.026\times 10^{-5}\,\dfrac{\text{mol}}{\text{L}}$. $\diamond$

Acerca de los gráficos a escala logarítmica

Consideremos las dependencias funcionales tales que los valores que manejamos de las mismas sean tales que al menos los de una de las variables no varíe de manera más o menos regular. En tales casos, un recurso importante es el de hacer uso de los logaritmos en las representaciones, como es el caso de la escala (logarítmica) de Richter (sismología), o la escala (logarítmica) del pH (química), la descripción de atenuación/ganancia de una señal en decibelios (electrónica), la descripción de la variación de la sensibilidad auditiva, etcétera.

Pongamos un ejemplo sencillo, como es el de las magnitudes cuya relación funcional es exponencial, $y(x)=a^x \quad (1)$, donde $a\in \mathbb{R}$, pueden presentar algunos inconvenientes de índole práctica a la hora de realizar su representación gráfica; sin embargo, si graduamos los ejes según una escala logarítmica (un eje o ambos, según las necesidades; en este caso, sólo es necesario que lo hagamos con el de ordenadas, lo que denominamos escala semilogarítmica) tales inconvenientes se resuelven.

Este recurso también es muy útil a la hora de realizar regresiones estadísticas a partir de los puntos experimentales, pues algunos tipos, como el de ésta, se reducen a una regresión de tipo lineal.

En este ejemplo, esto equivale a tomar logaritmos (de la base, $b\in \mathbb{R}$, que mejor nos convenga) en cada miembro de (1): $\log_b\,y=x\,\log_b\,a$; entonces, denotando $t:=\log_b\,y$, podemos reescribir la dependencia (1) de la forma $t(x)=(\log_b\,a)\cdot x$, que es lineal. Notemos que $\log_b\,a$ es la constante que asociamos a la pendiente de la recta que, en el caso que comentamos, pasa por el origen de coordenadas. A la hora de realizar informes de laboratorio, este truquillo (para representar variaciones no regulares entre dos variables) es todavía más práctico si realizamos la gráfica de los puntos experimentales sobre papel logarítmico (en base decimal), que podemos adquirir fácilmente en una papelería. $\diamond$

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Créditos de los enlaces que aparecen como hiperenlaces en esta entrada de mi blog: Wikipedia

Algunos cálculos básicos con logaritmos a partir de las propiedades más importantes, sin hacer uso de la calculadora

¿Cuál es el valor de $\log_{0,1}\,0,01$ ? ¿y el de $\log_{0,1}\,100$? ¿y el de $\log_{\frac{1}{2}}\,2$?

$\log_{0,1}\,0,01=\log_{10^{-1}}\,10^{-2}=\log_{10^{-1}}\,(10^{-1})^2=2\,\log_{10^{-1}}\,10^{-1}=2\cdot 1=2$.

$\log_{0,1}\,100=\log_{10^{-1}}\,10^2=\log_{10^{-1}}\,(10^{-1})^{-2}=-2\,\log_{10^{-1}}\,10^{-1}=-2\cdot 1=-2$. $\diamond$

$\log_{\frac{1}{2}}\,2=\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{\frac{1}{2}}=\log_{\frac{1}{2}}\,1-\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{2}=\log_{\frac{1}{2}}\,\left( \dfrac{1}{2} \right)^0-\log_{\frac{1}{2}}\,\dfrac{1}{2}=0-1=-1$. $\diamond$