Determinar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son $A(0,0)$, $B(2,0)$ y $C(3,3)$

ENUNCIADO:
Determinar las coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son $A(0,0)$, $B(2,0)$ y $C(3,3)$

Sabemos que la intersección de les rectas medianas de un triángulo determina el baricentro, $G$, de un triángulo de vértices

$A(x_A,y_A)$

$B(x_B,y_C)$

$C(x_C,y_C)$

siendo sus coordenadas,

$G\big(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\big)$

Con los datos del ejercicio,

$G\big(\frac{0+2+3}{3},\frac{0+0+3}{3}\big)$

es decir

$G\big(\frac{5}{3},1\big)$


$\square$

[nota del autor]

Calcular el ángulo que forman las rectas ...

ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forman las rectas $r_1:\,\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}$ y $r_2:\,\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{y-1}{2}$

SOLUCIÓN:
$\angle(r_1,r_2) \equiv \angle(\vec{u_1},\vec{u_2})$ donde $\vec{u_1}$ y $\vec{u_2}$ son dos vectores directores de las respectivas rectas. Entonces $\angle(\vec{u_1},\vec{u_2}) \overset{\text{def}}{=} \text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{u_1},\vec{u_2} \rangle }{\left\|\vec{u_1}\right\|\,\left\|\vec{u_2}\right\|}\right)$

Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{u_1},\vec{u_2} \rangle = \langle (1,-1),(3,2) \rangle=1\cdot 3+(-1) \cdot 2=1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{u_1}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u_1},\vec{u_1} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+(-1)^2}\right| = \left| \sqrt{2} \right|$
y
$\left\|\vec{u_2}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u_2},\vec{u_2} \rangle } \right| = \left| \sqrt{3^2+2^2}\right| = \left| \sqrt{13} \right|$
así, obtenemos
$$\angle(r_1,r_2) \equiv \angle(\vec{u_1},\vec{u_2})=\text{arccos}(\dfrac{1}{\left|\sqrt{2}\right|\,\left|\sqrt{13}\right|}) = \text{arccos}(\dfrac{1}{\left|\sqrt{26}\right|}) \approx 78^{\circ}\,41'$$


$\square$

[nota del autor]

Calcular el ángulo que forman los vectores ...

ENUNCIADO:
Calcular el ángulo que forman los vectores $\vec{u}=(1,2)$ y $\vec{v}=(1,-1)$

SOLUCIÓN:
$\angle(\vec{u},\vec{v}) \overset{\text{def}}{=} \text{arccos}\left(\dfrac{\langle \vec{u},\vec{v} \rangle }{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{v}\right\|}\right)$

Teniendo en cuenta que el valor del producto escalar de dichos vectores es $\langle \vec{u},\vec{v} \rangle = \langle (1,2),(1,-1) \rangle=1\cdot1+2\cdot(-1)=-1$
y que los módulos de estos son
$\left\|\vec{u}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{u},\vec{u} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+2^2}\right| = \left| \sqrt{5} \right|$
y
$\left\|\vec{v}\right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{\langle \vec{v},\vec{v} \rangle } \right| = \left| \sqrt{1^2+(-1)^2}\right| = \left| \sqrt{2} \right|$
obtenemos
$$\angle(\vec{u},\vec{v})=\text{arccos}(\dfrac{-1}{\left|\sqrt{5}\right|\,\left|\sqrt{2}\right|}) = \text{arccos}(\dfrac{-1}{\left|\sqrt{10}\right|}) \approx 108^{\circ}\,26'$$

$\square$

[nota del autor]

rectas bisectrices a dos rectas secantes dadas

ENUNCIADO:
Determinar la recta bisectrices, $b_1$ y $b_2$ ( $b_1 \perp b_2$ ), correspondientes a las rectas secantes $r_1:x+y-1=0$ y $r_2:2x-y+1=0$
´
SOLUCIÓN:
Dadas dos rectas secantes: $r_1:A_1x+B_1y+C_1=0$ y $r_2:A_2x+B_2y+C_2=0$, el lugar geométrico de las rectas bisectrices viene dada por el conjunto de puntos $P(x,y)$ cuya distancia a una y otra recta sea la misma, esto es, por la siguiente condición $$\text{dist}(P,r_1)=\text{dist}(P,r_2)$$
es decir $$\dfrac{A_1x+B_1y+C_1}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}=\dfrac{A_2x+B_2y+C_2}{\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}$$

Vamos a aplicarlo al caso concreto del enunciado. Imponiendo la condición,
$$\dfrac{x+y-1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{2x-y+1}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$$

con lo cual, una de las dos rectas bisectrices cumple la siguiente ecuación
$$b_1:\,\sqrt{5}\,x+\sqrt{5}\,y-\sqrt{5}=2\sqrt{2}\,x-\sqrt{2}\,y+\sqrt{2}$$

y agrupando términos semejantes,
$$b_1:\,(\sqrt{5}-2\sqrt{2})x+(\sqrt{5}+\sqrt{2})y-(\sqrt{5}+\sqrt{2})=0$$

que en forma explícita queda
$$b_1:\,y=-\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\,x+1$$

Por lo que se refiere a la otra recta bisectriz, $b_2$, al ser perpendicular a $b_1$, su pendiente, $m_{b_2}=-\dfrac{1}{m_{b_1}}$, y como $m_{b_1}=-\dfrac{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$, $m_{b_2}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}$

Así, $$b_2:\,y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}\,x+k$$

Para determinar, $k$, tenemos en cuenta que, al pasar $b_2$ ( y, por supuesto, también $b_1$ ) por el punto de intersección de $r_1$ y $r_2$, cuyas coordenadas son la solución del sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}
x & + & y & - & 1 & = & 0 \\
2x & - & y & + & 1 & = & 0 \\
\end{matrix}\right.$$
es decir, el punto $I(0,1)$, entonces de la ecuación de $b_2$ vemos que, $1=0+k$, luego $k=1$; y, por tanto, queda así determinada dicha ecuación:
$$b_2:\,y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-2\sqrt{2}}\,x+1$$

$\square$

[nota del autor]

Distancia euclídea ( en $\mathbb{R}^2$ ) entre dos puntos

ENUNCIADO:
Calcular la distancia euclídea, en $\mathbb{R}^2$, entre los puntos $P(1,-1)$ y $Q(-1,1)$

SOLUCIÓN:
$\text{dist}(P,Q)=\left\| \vec{PQ} \right\| \overset{\text{def}}{=} \left| \sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2} \right|$
y, con los datos, obtenemos
$\text{dist}(P,Q)= \left| \sqrt{(-1-1)^2+(1-(-1))^2} \right|= \left| \sqrt{(-2)^2+2^2} \right|$
        $=2\,\left|\sqrt{2}\right|\,\text{unidades de longitud}$
$\square$

[nota del autor]

Distancia ( en el plano ) de un punto a una recta

ENUNCIADO:
Sea la recta $r:x-y+1=0$ y el punto $P(1,1)$. Calcular la distancia del punto $P$ a la recta $r$

SOLUCIÓN:
La distancia de un punto $P(x_P,y_P)$ del plano a una recta $\pi:Ax+By+C=0$ del mismo plano viene dada por
$$\text{disp}(P,\pi)=\left|\dfrac{Ax_P+By_P+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$$
Poniendo los datos del problema: $A=1$, $B=-1$, $C=1$; $x_P=1$, $y_P=1$, encontramos
$$\text{dist}(P,r)=\left|\dfrac{1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1}{ \sqrt{1^2+(-1)^2}}\right|=\dfrac{1}{\left|\sqrt{2}\right|}\, \text{unidades de longitud}$$
$\square$

[nota del autor]

Operaciones con números complejos

[nota del autor]