SOLUCIÓN. Partamos de la definición de la derivada de la función seno:
$\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,(x+\Delta\,x)-\sin\,x}{\Delta\,x}=$
$=\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,x\cdot\cos(\Delta\,x)+\sin(\Delta\,x)\cdot \cos\,x-\sin\,x}{\Delta\,x}$
$=\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,x\cdot(\cos(\Delta\,x)-1)+\sin(\Delta\,x)\cdot \cos\,x}{\Delta\,x}$
$=\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,x\cdot(\cos\,\Delta\,x-1)}{\Delta\,x}+\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x\,\cos\,x}{\Delta\,x}$
$=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta\,x)-1}{\Delta\,x}+\cos\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin(\Delta\,x)}{\Delta\,x}$
$=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta\,x)-1}{\Delta\,x}\cdot \dfrac{\cos(\Delta\,x)+1}{\cos(\Delta\,x)+1}+\cos\, x\,\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
$=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos(\Delta\,x)-1}{\Delta\,x}\cdot \dfrac{\cos^{2}(\Delta\,x)-1}{\cos(\Delta\,x)+1}+\cos\,x\cdot\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
$=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{-\sin^{2}\,\Delta\,x}{\Delta\,x\cdot \cos(\Delta\,x)+1}+\cos\,x\cdot\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
$=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{-\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}\cdot \dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\cos(\Delta\,x)+1}+\cos\, x\,\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
$=\displaystyle \sin\,x\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{-\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}\cdot \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\, \dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\cos(\Delta\,x)+1}+\cos\,x\cdot\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}$
$\overset{(1)}{=}\displaystyle \sin\,x\cdot (-1)\cdot \dfrac{0}{1+1}+\cos\,x\cdot 1$
$=\displaystyle 0/2+\cos\,x$
$=\displaystyle 0+\cos\,x$
$=\displaystyle \cos\,x$
$\displaystyle \lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin\,\Delta\,x}{\Delta\,x}=\lim_{\Delta\,x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,x}=1$, puesto que en las proximidades del cero, un arco infinitsimal de la curva sinusoidal puede sustituirse por un segmento rectilíneo infinitesimal de pendiente uno ( la diferencia entre los valores de la función seno y los valores de función de su argmento tiende a cero al hacer tender el argumento del seno a cero ), esto es, $\sin\,\Delta\,x \rightarrow \Delta\,x$. La justificación rigurosa es púramente geométrica. Decimos que el seno y su argumento son infinitésimos equivalentes, y, en general, lo expresamos así $\sin \,\theta \sim \theta$.
$\square$
