Geometría analítica en el plano. Recta de Euler.

ENUNCIADO. Se considera el triángulo $\triangle(A,B,C)$ cuyos vértices son $A(1,1)$, $B(5,4)$ y $C(5,1)$. Determínese la ecuación de la recta de Euler.

SOLUCIÓN.
La recta de Euler, $\epsilon$, contiene al baricentro $G$, al ortocentro $R$ y al circuncentro $C$. Basta conocer las coordenadas de dos de estos centros notables para poder determinar la ecuación de la recta pedida.

Sabemos que el baricentro $G$ viene dado por $G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ y, por tanto, en nuestro caso $x_G=\dfrac{1+5+5}{3}$ e $y_G=\dfrac{1+1+4}{3}$, esto es $G(11/3,2)$.

Vamos a determinar ahora las coordenadas del ortocentro $R$. Démonos cuenta de que el triángulo dado tiene un ángulo recto; en efecto, al calcular las longitudes de los lados aparece una terna pitagórica: $\{3,4,5\}$, tal como se comprueba a continuación, $a=|\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}|=|\sqrt{(5-5)^2+(4-1)^2}|=3$ ( unidades arbitrarias de longitud ); $b=|\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}|=|\sqrt{(5-1)^2}+(1-1)^2|=4$ y $c=|\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}|=|\sqrt{(5-1)^2+(4-1)^2}|=5$. Tratándose pues de un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto es el ángulo con vértice $C$, éste ha de ser el ortocentro, pues las rectas alturas que pasan por $B$ y $A$ ( y que contienen a los catetos $a$ y $b$ ) se intersecan en dicho vértice; así pues, $R\equiv C(5,1)$

Con este par de puntos de la recta $\epsilon$ ya podemos escribir una ecuación de la misma en forma continua de una manera muy sencilla: $$\epsilon \equiv \dfrac{x-x_G}{x_G-x_R}=\dfrac{y-y_G}{y_G-y_R}$$ esto es $$\epsilon \equiv \dfrac{x-11/3}{11/3-5} =\dfrac{y-2}{2-1}$$ y simplificando $$\epsilon \equiv \dfrac{x-11/3}{-4}=\dfrac{y-2}{3}$$
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Vector proyección de un cierto vector en la dirección y sentido de otro vector dado

ENUNCIADO. Se considera el vector $\vec{u}=(4,3)$ ( las coordenadas vienen referidas a la base canónica ). Calcúlese el vector proyección de $\vec{u}$ en la dirección y sentido del vector $\vec{e}=(1,1)$

SOLUCIÓN. Denotemos por $\overset{\rightarrow}{\text{Proy}_{\vec{e}}}\,\vec{u}$ al vector pedido, y por $\vec{e}_1$ al vector unitario en la dirección y sentido del vector $\vec{e}$. Es claro que $\overset{\rightarrow}{\text{Proy}_{\vec{e}}}\,\vec{u}=\left(\left\|\vec{u}\right\|\cdot \cos\,\measuredangle (\vec{u},\vec{e} )\right)\,\vec{e}_1$, y teniendo en cuenta la relación del coseno con la definición de producto escalar de dos vectores, podemos escribir $$\overset{\rightarrow}{\text{Proy}_{\vec{e}}}\,\vec{u}=\langle \vec{u},\vec{e}_1\rangle\,\vec{e}_1 \quad \quad \quad (1)$$

El vector unitario $\vec{e}_1$ en la dirección y sentido de $\vec{e}$ es $\vec{e}_1=\dfrac{1}{\left\|\vec{e}\right\|}=\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}\,(1,1)$, y, calculando el producto escalar, $\langle \vec{u},\vec{e}_1 \rangle = 4 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{7}{\sqrt{2}}$, luego, de (1): $$\overset{\rightarrow}{\text{Proy}_{\vec{e}}}\,\vec{u}=\dfrac{7}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1)=\dfrac{7}{2}\,(1,1)$$
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Geometría analítica del plano. Punto medio de un segmento.

PROPOSICIÓN. Consideremos el segmento $s=[A,B]$, conocidas las coordenadas de los puntos de los extremos, $A(x_A,y_A)$ y $B(x_B,y_B)$. Entonces, el punto medio del segmeno $s$ viene dado por $$M_{[A,B]}=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$

DEMOSTRACIÓN. Sea $O$ el origen de coordenadas de un sistema de referencia afín del plano vectorial, entonces podemos escribir el vector de posición de $B$ de la forma $$\overset{\rightarrow}{OB}=\overset{\rightarrow}{OM}+\overset{\rightarrow}{MB}$$ y por tanto el vector de posición de $M$ es $$\overset{\rightarrow}{OM}=\overset{\rightarrow}{OB}-\overset{\rightarrow}{MB}$$ por otra parte, por ser $M$ el punto medio del segmento $s=[A,B]$, debemos tener en cuenta que $$\overset{\rightarrow}{MB}=\dfrac{1}{2}\,\overset{\rightarrow}{AB}$$ con lo cual $$\overset{\rightarrow}{OM}=\overset{\rightarrow}{OB}-\dfrac{1}{2}\,\overset{\rightarrow}{AB}$$ esto es $$(x_M,y_M)=(x_B,y_B)-\dfrac{1}{2}\,(x_B-x_A,y_B-y_A)$$ y simplificando $$(x_M,y_M)=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$
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Geometría analítica del plano. Baricentro de un triángulo general.

PROPOSICIÓN.
Consideremos un triángulo general $\triangle(A,B,C)$. Entonces, el baricentro $G$ de dicho triángulo es $$G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$$

DEMOSTRACIÓN.
El baricentro de un triángulo, que es el punto de intersección de las rectas medianas, tal como se muestra en la siguiente figura:

Tranzando las rectas $n$ y $l$, paralelas a la recta mediana $k$ que pasa por $B$, de tal manera que dichas rectas ( $n$ y $l$ ) pasen por los puntos medios de los segmentos $[B,C]$ y $[A,B]$ ( $M[B,C]$ y $M[A,B]$ ),

vemos que éstas intersecan en los puntos $H$ y $J$ del segmento $[A,C]$, los cuales, junto con el punto $F$ ( que es el punto medio $M_{[A,C]}$ ) dividen el lado $b$ ( el segmento $[A,C]$ ) en cuatro partes iguales; así, el segmento $[A,M_{[B,C]}]$ queda a su vez dividido en tres partes iguales ( teorema de Tales ): $[A,K]$, $[K,G]$ ( recordemos que $G$ es el baricentro del triángulo ) y $[G,M_{[B,C]}]$. De ello se concluye que $$\overline{AG}=\dfrac{2}{3}\,\overline{A\,\,M_{[B,C]}}$$ y, procediendo de manera análoga a partir de los vértices $B$y $C$ deducimos que $$\overline{BG}=\dfrac{2}{3}\,\overline{B\,\,M_{[A,C]}}$$ y $$\overline{CG}=\dfrac{2}{3}\,\overline{C\,\,M_{[A,B]}}$$

Tendremos en cuenta este importante resultado para terminar la demostración de la proposición. Siendo $O$ el origen de coordenadas de un sistema de referencia afín del plano vectorial, podemos escribir el vector de posición del baricentro $G$ como $$\overset{\rightarrow}{OG}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AG}$$ y teniendo en cuenta el resultado anterior,
$$\overset{\rightarrow}{OG}=\overset{\rightarrow}{OA}+\dfrac{2}{3}\overset{\rightarrow}{AM_{[B,C]}}$$ esto es $$(x_G,y_G)=(x_A,y_A)+\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{x_B+x_C}{2}-x_A,\dfrac{y_B+y_C}{2}-y_A\right)$$ y simplificando llegamos finalmente a $$(x_G,y_G)=\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$$

COROLARIO.
Teniendo en cuenta que $$\overset{\rightarrow}{OG}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AG}=\overset{\rightarrow}{OB}+\overset{\rightarrow}{BG}=\overset{\rightarrow}{OC}+\overset{\rightarrow}{CG}$$ por consiguiente $$3\,\overset{\rightarrow}{OG}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{OB}+\overset{\rightarrow}{OC}+\overset{\rightarrow}{AG}+\overset{\rightarrow}{BG}+\overset{\rightarrow}{CG}$$ luego $$\overset{\rightarrow}{OG}=\dfrac{1}{3}\,\left(\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{OB}+\overset{\rightarrow}{OC}\right)+\dfrac{1}{3}\,\left(\overset{\rightarrow}{AG}+\overset{\rightarrow}{BG}+\overset{\rightarrow}{CG}\right)$$ en consecuencia, y habida cuenta de la proposición que hemos demostrado, deberá cumplirse que $$\overset{\rightarrow}{AG}+\overset{\rightarrow}{BG}+\overset{\rightarrow}{CG}=\vec{0}$$


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El triángulo de vectores y el teorema del coseno

Consideremos el triángulo $\triangle(A,B,C)$. En cada lado del mismo podemos colocar un vector, y, por tanto, podremos escribir la suma vectorial $\overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC}=\overset{\rightarrow}{AC}$

Calculemos ahora el producto escalar euclídeo de $\overset{\rightarrow}{AC}$ por sí mismo:
$\langle \overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{AC} \rangle = \left(\left\| \overset{\rightarrow}{AC} \right\|\right)^2 $, que es el cuadrado del lado $b$ del triángulo $\triangle(A,B,C)$, esto es, $b^2$     (1)
que, por otra parte, es igual a
$\langle \overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC} \rangle=\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle$
  $=\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + 2\,\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle$
    $= \left(\left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\|\right)^2 + \left(\left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\|\right)^2 + 2\cdot \left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\| \cdot \left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\| \,\cos\,\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC})$

Denotando por $c$ a $\left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\|$, por $b$ a $\left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\|$ y siendo $180^{\circ}-\beta$ el ángulo $\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC})$ ( por ser ángulos suplementarios ) podemos escribir la expresión anterior de la forma
      $c^2 +a^2 +2\,c\,a\,\cos (180^{\circ}-\beta)$
        $= c^2 +a^2 - 2\,c\,a\,\cos \beta$     (2)

Finalmente, igualando (1) y (2), nos encontramos con la fórmula del teorema del coseno: $$b^2=c^2 +a^2 - 2\,c\,a\,\cos \beta$$

De manera análoga, es claro que efectuando el producto escalar de cada uno de los otros dos vectores consigo mismos, se llega a: $$a^2=b^2 +c^2 - 2\,b\,c\,\cos \alpha$$ y $$c^2=a^2 +b^2 - 2\,a\,b\,\cos \gamma$$

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Un ejercicio sencillo sobre bases de un espacio vectorial

ENUNCIADO. Se consideran los vectores $\vec{u}=(3,-5)$ y $\vec{v}=(-2,7)$, cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$, $\mathcal{C}=\{\vec{i}=(1,0),\vec{j}=(0,1)\}$. Se pide:

a) Demuéstrese que el conjunto formado por $\{\vec{u},\vec{v}\}$ es un sistema de generadores de $\mathbb{R}^2$
b) Demuéstrese que dicho conjunto constituye una base vectorial de $\mathbb{R}^2$
c) Descríbase el vector $\vec{w}=(1,1)$ -- cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica $\mathcal{C}$ -- con respecto a los vectores de la base $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$

SOLUCIÓN.
a) Para que un conjunto de vectores forme un sistema de generadores del espacio vectorial, que en este caso es $\mathbb{R}^2$ ( el plano vectorial ), el número de éstos tiene que ser como mínimo igual a la dimensión de dicho espacio vectorial, que es $2$, y es claro que ésto se cumple; pero, además, mediante dichos vectores debe poder expresarse cualquier otro vector del espacio vectorial, y eso también se cumple, pues mediante la combinación lineal apropiada, $\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}$, donde $\alpha$ y $\beta$ son números reales, es posible expresar/formar cualquier otro vector, ya que estos dos vectores no están en la misma dirección.

Nota: Un sistema de generadores de $\mathbb{R}^2$ puede también estar formado por más de dos vectores, y, en ese caso, uno de los tres sería también combinación lineal de los otros dos.

b) Recordemos que un conjunto de vectores de un espacio vectorial forma una base del mismo si:
i) es un sistema de generadores de dicho espacio vectorial
ii) el número de vectores de dicho conjunto es igual a la dimensión del espacio vectorial ( que en este caso es 2 ), por lo que los vectores de dicho conjunto han de ser linealmente independientes; y, para que lo sean, es necesario y suficiente que los coeficientes de la combinación lineal con la que se describe el vector $\vec{0}$ sean nulos.

Ya hemos visto en (a) que se trata de un sistema de generadores. Vamos a ver, ahora, si se cumple la condición (ii):

Sean pues $\alpha$ y $\beta$ los coeficientes de la combinación lineal $$\alpha\,(3,-5)+\beta\,(-2,7)=(0,0)$$ Procedamos pues a comprobar que los únicos valores que pueden tomar los coeficientes son nulos. En efecto, de dicha ecuación vectorial podemos escribir un sistema de ecuaciones escalares ( coordenada a coordenada ):
$$\left\{\begin{matrix} 3\,\alpha & -& 2\,\beta & = & 0 \\ -5\,\alpha & +& 7\,\beta & = & 0\end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $5$ los dos miebros de la primera ecuación y sumando la ecuación resultante a la que se obtiene de multiplicar $3$ los dos miembros de la primera llegamos al siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 3\,\alpha & -& 2\,\beta & = & 0 \\ & & 11\,\beta & = & 0\end{matrix}\right.$$ luego, de la segunda ecuación vemos que $\beta=0/11=0$ y sustituyendo este resultado en la primera comprobamos también que $\alpha=0$.

c) Expresemos ahora el vector $\vec{w}=(1,1)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica ) con respecto de la base $\mathcal{B}$, esto es $\{\vec{u}=(3,-5),\vec{v}=(-2,7)\}$.

Deberemos encontrar dos números $w_1$ y $w_2$ que son las coordenadas de $\vec{w}$ referidas a la nueva base; para ello, vamos a expresar $\vec{w}=(1,1)$ como combinación lineal de los vectores $\vec{u}=(3,-5)$ y $\vec{v}=(-2,7)$. De esta forma, podemos escribir que $$(1,1)=w_{1}(3,-5)+w_{2}(-2,7)$$ de lo cual se desprende que $$\left\{\begin{matrix}3\,w_1&-&2w_2=1 \\ -5\,w_1&+&7w_2=1\end{matrix}\right.$$

Reduciendo este sistema ( haciendo la siguiente operación elemental: $5e_1+3e_2 \rightarrow e_2$ ) encontramos este otro, equivalente y con una sóla incógnita en la segunda ecuación: a $$\left\{\begin{matrix}3\,w_1&-&2w_2=1 \\ &&11w_2=8\end{matrix}\right.$$ y por tanto, de la segunda ecuación obtenemos $w_2=\dfrac{8}{11}$, y sustituyendo este resultado en la primera ecuación encontramos $w_1=\dfrac{9}{11}$

Así, con respecto a la base $\mathcal{B}$, podemos decir que $\vec{w}=\left(\dfrac{9}{11},\dfrac{8}{11}\right)$; mientras que, con respecto a la base canónica $\mathcal{C}$, dicho vector se expresa $\vec{w}=(1,1)$
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Cálculo del cociente de dos números complejos empleando la forma binómica

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente cociente: $$\dfrac{1+i}{1+2i}$$

SOLUCIÓN. Multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado del denominador, el cociente pedido
$\dfrac{1+i}{1+2i}$
es igual a
  $\dfrac{1+i}{1+2i}\cdot \dfrac{1-2i}{1-2i}=$

    $=\dfrac{(1+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$

      $=\dfrac{1-2\,i^2+i-2i}{1^2-(2i)^2}$

        $=\dfrac{1-(-1)\cdot 2+i(1-2)}{1-(-1)\cdot 2^2}$

          $=\dfrac{3-i}{5}$

            $=\dfrac{1}{5}\,(3-i)$

              $=\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{5}\,i$

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Cálculo de probabilidades. Manejo de las propiedades básicas con sucesos.

ENUNCIADO. En las viviendas de un cierto barrio puede haber animales de compañía, pudiéndose presentar los siguientes casos: que haya sólo un gato, sólo un perro, un gato y un perro, o bien ninguno animal de compañía. Se sabe que en el 20% de dichas viviendas hay sólo un gato; en el 32%, sólo un perro; y, en el 12% gato y perro. Se elige una vivienda al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que no haya en ella ni gato ni perro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $C$ el suceso "haber un gato en la vivienda"; y, por $D$, el suceso "haber un perro en la vivienda".

Según lo que se dice en el enunciado, $P(C \cap \bar{D})=0,2$, $P(\bar{C} \cap D)=0,32$ y $P(C \cap D)=0,12$. Tenemos que calcular $P(\bar{C} \cap \bar{D}$, que, por las leyes de Morgan es igual a $P(\overline{C \cup D})=1-P(C \cup D)$     (1). Ahora bien, $P(C \cup D)=P(C)+P(D)-P(C \cap D)$     (2)

Teniendo en cuenta que $P(C \cap \bar{D})=P(C)-P(C\cap D)$, encontramos que $P(C)=P(C \cap \bar{D})+P(C \cap D)=0,2+0,12=0,32$; y, por otra parte, $P(D \cap \bar{C})=P(D)-P(C\cap D)$, luego $P(D)=P(D \cap \bar{C})+P(C \cap D)=0,32+0,12=0,44$

Con lo cual, sustituyendo en (2), llegamos a $P(C \cup D)=P(C)+P(D)-P(C \cap D)=0,32+0,44-0,12=0,64$. Y, finalmente, de (1), concluimos que $P(\bar{C} \cap \bar{D})=P(\overline{C \cup D})=1-0,64=0,36$
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Producto y cociente de dos números complejos, dada su forma trigonométrica

Justificación de la fórmula de De Moivre, por el método de mostración por inducción

Cómo añadir fórmulas y caracteres matemáticos en los mensajes de los foros de las aulas virtuales