Geometría analítica en el plano. Recta de Euler.

ENUNCIADO. Se considera el triángulo $\triangle(A,B,C)$ cuyos vértices son $A(1,1)$, $B(5,4)$ y $C(5,1)$. Determínese la ecuación de la recta de Euler.

SOLUCIÓN.
La recta de Euler, $\epsilon$, contiene al baricentro $G$, al ortocentro $R$ y al circuncentro $C$. Basta conocer las coordenadas de dos de estos centros notables para poder determinar la ecuación de la recta pedida.

Sabemos que el baricentro $G$ viene dado por $G\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ y, por tanto, en nuestro caso $x_G=\dfrac{1+5+5}{3}$ e $y_G=\dfrac{1+1+4}{3}$, esto es $G(11/3,2)$.

Vamos a determinar ahora las coordenadas del ortocentro $R$. Démonos cuenta de que el triángulo dado tiene un ángulo recto; en efecto, al calcular las longitudes de los lados aparece una terna pitagórica: $\{3,4,5\}$, tal como se comprueba a continuación, $a=|\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}|=|\sqrt{(5-5)^2+(4-1)^2}|=3$ ( unidades arbitrarias de longitud ); $b=|\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}|=|\sqrt{(5-1)^2}+(1-1)^2|=4$ y $c=|\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}|=|\sqrt{(5-1)^2+(4-1)^2}|=5$. Tratándose pues de un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto es el ángulo con vértice $C$, éste ha de ser el ortocentro, pues las rectas alturas que pasan por $B$ y $A$ ( y que contienen a los catetos $a$ y $b$ ) se intersecan en dicho vértice; así pues, $R\equiv C(5,1)$

Con este par de puntos de la recta $\epsilon$ ya podemos escribir una ecuación de la misma en forma continua de una manera muy sencilla: $$\epsilon \equiv \dfrac{x-x_G}{x_G-x_R}=\dfrac{y-y_G}{y_G-y_R}$$ esto es $$\epsilon \equiv \dfrac{x-11/3}{11/3-5} =\dfrac{y-2}{2-1}$$ y simplificando $$\epsilon \equiv \dfrac{x-11/3}{-4}=\dfrac{y-2}{3}$$
$\square$