ENUNCIADO. Se consideran los vectores $\vec{u}=(3,-5)$ y $\vec{v}=(-2,7)$, cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$, $\mathcal{C}=\{\vec{i}=(1,0),\vec{j}=(0,1)\}$. Se pide:
a) Demuéstrese que el conjunto formado por $\{\vec{u},\vec{v}\}$ es un sistema de generadores de $\mathbb{R}^2$
b) Demuéstrese que dicho conjunto constituye una base vectorial de $\mathbb{R}^2$
c) Descríbase el vector $\vec{w}=(1,1)$ -- cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica $\mathcal{C}$ -- con respecto a los vectores de la base $\mathcal{B}=\{\vec{u},\vec{v}\}$
SOLUCIÓN.
a) Para que un conjunto de vectores forme un sistema de generadores del espacio vectorial, que en este caso es $\mathbb{R}^2$ ( el plano vectorial ), el número de éstos tiene que ser como mínimo igual a la dimensión de dicho espacio vectorial, que es $2$, y es claro que ésto se cumple; pero, además, mediante dichos vectores debe poder expresarse cualquier otro vector del espacio vectorial, y eso también se cumple, pues mediante la combinación lineal apropiada, $\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{v}$, donde $\alpha$ y $\beta$ son números reales, es posible expresar/formar cualquier otro vector, ya que estos dos vectores no están en la misma dirección.
Nota: Un sistema de generadores de $\mathbb{R}^2$ puede también estar formado por más de dos vectores, y, en ese caso, uno de los tres sería también combinación lineal de los otros dos.
b) Recordemos que un conjunto de vectores de un espacio vectorial forma una base del mismo si:
i) es un sistema de generadores de dicho espacio vectorial
ii) el número de vectores de dicho conjunto es igual a la dimensión del espacio vectorial ( que en este caso es 2 ), por lo que los vectores de dicho conjunto han de ser linealmente independientes; y, para que lo sean, es necesario y suficiente que los coeficientes de la combinación lineal con la que se describe el vector $\vec{0}$ sean nulos.
Ya hemos visto en (a) que se trata de un sistema de generadores. Vamos a ver, ahora, si se cumple la condición (ii):
Sean pues $\alpha$ y $\beta$ los coeficientes de la combinación lineal $$\alpha\,(3,-5)+\beta\,(-2,7)=(0,0)$$ Procedamos pues a comprobar que los únicos valores que pueden tomar los coeficientes son nulos. En efecto, de dicha ecuación vectorial podemos escribir un sistema de ecuaciones escalares ( coordenada a coordenada ):
$$\left\{\begin{matrix} 3\,\alpha & -& 2\,\beta & = & 0 \\ -5\,\alpha & +& 7\,\beta & = & 0\end{matrix}\right.$$ Multiplicando por $5$ los dos miebros de la primera ecuación y sumando la ecuación resultante a la que se obtiene de multiplicar $3$ los dos miembros de la primera llegamos al siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 3\,\alpha & -& 2\,\beta & = & 0 \\ & & 11\,\beta & = & 0\end{matrix}\right.$$ luego, de la segunda ecuación vemos que $\beta=0/11=0$ y sustituyendo este resultado en la primera comprobamos también que $\alpha=0$.
c) Expresemos ahora el vector $\vec{w}=(1,1)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica ) con respecto de la base $\mathcal{B}$, esto es $\{\vec{u}=(3,-5),\vec{v}=(-2,7)\}$.
Deberemos encontrar dos números $w_1$ y $w_2$ que son las coordenadas de $\vec{w}$ referidas a la nueva base; para ello, vamos a expresar $\vec{w}=(1,1)$ como combinación lineal de los vectores $\vec{u}=(3,-5)$ y $\vec{v}=(-2,7)$. De esta forma, podemos escribir que $$(1,1)=w_{1}(3,-5)+w_{2}(-2,7)$$ de lo cual se desprende que $$\left\{\begin{matrix}3\,w_1&-&2w_2=1 \\ -5\,w_1&+&7w_2=1\end{matrix}\right.$$
Reduciendo este sistema ( haciendo la siguiente operación elemental: $5e_1+3e_2 \rightarrow e_2$ ) encontramos este otro, equivalente y con una sóla incógnita en la segunda ecuación: a $$\left\{\begin{matrix}3\,w_1&-&2w_2=1 \\ &&11w_2=8\end{matrix}\right.$$ y por tanto, de la segunda ecuación obtenemos $w_2=\dfrac{8}{11}$, y sustituyendo este resultado en la primera ecuación encontramos $w_1=\dfrac{9}{11}$
Así, con respecto a la base $\mathcal{B}$, podemos decir que $\vec{w}=\left(\dfrac{9}{11},\dfrac{8}{11}\right)$; mientras que, con respecto a la base canónica $\mathcal{C}$, dicho vector se expresa $\vec{w}=(1,1)$
$\square$
