Vector proyección de un cierto vector en la dirección y sentido de otro vector dado

ENUNCIADO. Se considera el vector $\vec{u}=(4,3)$ ( las coordenadas vienen referidas a la base canónica ). Calcúlese el vector proyección de $\vec{u}$ en la dirección y sentido del vector $\vec{e}=(1,1)$

SOLUCIÓN. Denotemos por $\overset{\rightarrow}{\text{Proy}_{\vec{e}}}\,\vec{u}$ al vector pedido, y por $\vec{e}_1$ al vector unitario en la dirección y sentido del vector $\vec{e}$. Es claro que $\overset{\rightarrow}{\text{Proy}_{\vec{e}}}\,\vec{u}=\left(\left\|\vec{u}\right\|\cdot \cos\,\measuredangle (\vec{u},\vec{e} )\right)\,\vec{e}_1$, y teniendo en cuenta la relación del coseno con la definición de producto escalar de dos vectores, podemos escribir $$\overset{\rightarrow}{\text{Proy}_{\vec{e}}}\,\vec{u}=\langle \vec{u},\vec{e}_1\rangle\,\vec{e}_1 \quad \quad \quad (1)$$

El vector unitario $\vec{e}_1$ en la dirección y sentido de $\vec{e}$ es $\vec{e}_1=\dfrac{1}{\left\|\vec{e}\right\|}=\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}\,(1,1)$, y, calculando el producto escalar, $\langle \vec{u},\vec{e}_1 \rangle = 4 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}+3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{7}{\sqrt{2}}$, luego, de (1): $$\overset{\rightarrow}{\text{Proy}_{\vec{e}}}\,\vec{u}=\dfrac{7}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1)=\dfrac{7}{2}\,(1,1)$$
$\square$