ENUNCIADO. En las viviendas de un cierto barrio puede haber animales de compañía, pudiéndose presentar los siguientes casos: que haya sólo un gato, sólo un perro, un gato y un perro, o bien ninguno animal de compañía. Se sabe que en el 20% de dichas viviendas hay sólo un gato; en el 32%, sólo un perro; y, en el 12% gato y perro. Se elige una vivienda al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que no haya en ella ni gato ni perro ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por C el suceso "haber un gato en la vivienda"; y, por D, el suceso "haber un perro en la vivienda".
Según lo que se dice en el enunciado, P(C \cap \bar{D})=0,2, P(\bar{C} \cap D)=0,32 y P(C \cap D)=0,12. Tenemos que calcular P(\bar{C} \cap \bar{D}, que, por las leyes de Morgan es igual a P(\overline{C \cup D})=1-P(C \cup D) (1). Ahora bien, P(C \cup D)=P(C)+P(D)-P(C \cap D) (2)
Teniendo en cuenta que P(C \cap \bar{D})=P(C)-P(C\cap D), encontramos que P(C)=P(C \cap \bar{D})+P(C \cap D)=0,2+0,12=0,32; y, por otra parte, P(D \cap \bar{C})=P(D)-P(C\cap D), luego P(D)=P(D \cap \bar{C})+P(C \cap D)=0,32+0,12=0,44
Con lo cual, sustituyendo en (2), llegamos a P(C \cup D)=P(C)+P(D)-P(C \cap D)=0,32+0,44-0,12=0,64. Y, finalmente, de (1), concluimos que P(\bar{C} \cap \bar{D})=P(\overline{C \cup D})=1-0,64=0,36
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