Consideremos el triángulo $\triangle(A,B,C)$. En cada lado del mismo podemos colocar un vector, y, por tanto, podremos escribir la suma vectorial $\overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC}=\overset{\rightarrow}{AC}$
Calculemos ahora el producto escalar euclídeo de $\overset{\rightarrow}{AC}$ por sí mismo:
$\langle \overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{AC} \rangle = \left(\left\| \overset{\rightarrow}{AC} \right\|\right)^2 $, que es el cuadrado del lado $b$ del triángulo $\triangle(A,B,C)$, esto es, $b^2$ (1)
que, por otra parte, es igual a
$\langle \overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{AB}+\overset{\rightarrow}{BC} \rangle=\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle$
$=\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle + \langle \overset{\rightarrow}{BC},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle + 2\,\langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC} \rangle$
$= \left(\left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\|\right)^2 + \left(\left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\|\right)^2 + 2\cdot \left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\| \cdot \left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\| \,\cos\,\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC})$
Denotando por $c$ a $\left\| \overset{\rightarrow}{AB} \right\|$, por $b$ a $\left\| \overset{\rightarrow}{BC} \right\|$ y siendo $180^{\circ}-\beta$ el ángulo $\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC})$ ( por ser ángulos suplementarios ) podemos escribir la expresión anterior de la forma
$c^2 +a^2 +2\,c\,a\,\cos (180^{\circ}-\beta)$
$= c^2 +a^2 - 2\,c\,a\,\cos \beta$ (2)
Finalmente, igualando (1) y (2), nos encontramos con la fórmula del teorema del coseno: $$b^2=c^2 +a^2 - 2\,c\,a\,\cos \beta$$
De manera análoga, es claro que efectuando el producto escalar de cada uno de los otros dos vectores consigo mismos, se llega a: $$a^2=b^2 +c^2 - 2\,b\,c\,\cos \alpha$$ y $$c^2=a^2 +b^2 - 2\,a\,b\,\cos \gamma$$
$\square$
