Cálculo de probabilidades. Manejo de las propiedades básicas con sucesos.

ENUNCIADO. En las viviendas de un cierto barrio puede haber animales de compañía, pudiéndose presentar los siguientes casos: que haya sólo un gato, sólo un perro, un gato y un perro, o bien ninguno animal de compañía. Se sabe que en el 20% de dichas viviendas hay sólo un gato; en el 32%, sólo un perro; y, en el 12% gato y perro. Se elige una vivienda al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que no haya en ella ni gato ni perro ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $C$ el suceso "haber un gato en la vivienda"; y, por $D$, el suceso "haber un perro en la vivienda".

Según lo que se dice en el enunciado, $P(C \cap \bar{D})=0,2$, $P(\bar{C} \cap D)=0,32$ y $P(C \cap D)=0,12$. Tenemos que calcular $P(\bar{C} \cap \bar{D}$, que, por las leyes de Morgan es igual a $P(\overline{C \cup D})=1-P(C \cup D)$     (1). Ahora bien, $P(C \cup D)=P(C)+P(D)-P(C \cap D)$     (2)

Teniendo en cuenta que $P(C \cap \bar{D})=P(C)-P(C\cap D)$, encontramos que $P(C)=P(C \cap \bar{D})+P(C \cap D)=0,2+0,12=0,32$; y, por otra parte, $P(D \cap \bar{C})=P(D)-P(C\cap D)$, luego $P(D)=P(D \cap \bar{C})+P(C \cap D)=0,32+0,12=0,44$

Con lo cual, sustituyendo en (2), llegamos a $P(C \cup D)=P(C)+P(D)-P(C \cap D)=0,32+0,44-0,12=0,64$. Y, finalmente, de (1), concluimos que $P(\bar{C} \cap \bar{D})=P(\overline{C \cup D})=1-0,64=0,36$
$\square$