Geometría analítica del plano. Punto medio de un segmento.

PROPOSICIÓN. Consideremos el segmento $s=[A,B]$, conocidas las coordenadas de los puntos de los extremos, $A(x_A,y_A)$ y $B(x_B,y_B)$. Entonces, el punto medio del segmeno $s$ viene dado por $$M_{[A,B]}=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$

DEMOSTRACIÓN. Sea $O$ el origen de coordenadas de un sistema de referencia afín del plano vectorial, entonces podemos escribir el vector de posición de $B$ de la forma $$\overset{\rightarrow}{OB}=\overset{\rightarrow}{OM}+\overset{\rightarrow}{MB}$$ y por tanto el vector de posición de $M$ es $$\overset{\rightarrow}{OM}=\overset{\rightarrow}{OB}-\overset{\rightarrow}{MB}$$ por otra parte, por ser $M$ el punto medio del segmento $s=[A,B]$, debemos tener en cuenta que $$\overset{\rightarrow}{MB}=\dfrac{1}{2}\,\overset{\rightarrow}{AB}$$ con lo cual $$\overset{\rightarrow}{OM}=\overset{\rightarrow}{OB}-\dfrac{1}{2}\,\overset{\rightarrow}{AB}$$ esto es $$(x_M,y_M)=(x_B,y_B)-\dfrac{1}{2}\,(x_B-x_A,y_B-y_A)$$ y simplificando $$(x_M,y_M)=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$
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