Sentando chicos y chicas en una fila de butacas

ENUNCIADO. Cuatro chicos y cuatro chicas se quieren sentar en ocho butacas dispuestas en fila y numeradas. Se pide:
a) ¿ Cuántas ordenaciones son posibles ?
b) Antes de sentarse, sortean las butacas entre las ocho personas. ¿ Cuál es la probabilidad de que todas las chicas tengan al lado un chico ?.
c) Generalizar el resultado anterior para un $n/2$ chicos y $n/2$ chicas, siendo $n$ un número par

SOLUCIÓN.
a)
Como importa el orden, el número de ordenaciones posibles es $V_{8,8}=8!=40\,320$

b)
El espacio muestral $\Omega$ está formado por $8!$ sucesos, que son las ordenaciones posibles. Cada una de ellas tiene la misma probabilidad de ser elegida, luego podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida.

Denotemos por $A$ al suceso "todas las chicas tienen al lado un chico", entonces $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N} \quad \quad (1)$$ siendo $N=8!=40320$ ya que es el cardinal de $\Omega$.

Vamos ahora a calcular el número de casos favorables $N(A)$. Para ello emplearemos el método constructivo de recuento y el principio multiplicativo del recuento. Por tanto podemos anotar $$N(A)=8\cdot 4 \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square$$ La primera butaca puede ser ocupada por cualquiera de las ocho personas, ya sea chico o bien chica, luego hay $8$ posibilidades de elección para dicho sitio. Así que la segunda butaca ha de estar ocupada por alguna de las cuatro chicas, luego hay $4$ posibilidades de elección para la misma.

Para elegir la ocupación de la tercera butaca, debemos escoger entre los tres chicos restantes, así que tenemos $3$ posibilidades; y, como la cuarta butaca, ha de estar ocupada por una chica, podemos elegirla entre las tres chicas restantes. Por tanto podemos escribir: $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square $$

Así, la quinta butaca ha de estar ocupada por un chico, y éste puede elegirse entre los dos chicos que aún no están sentados. La sexta butaca tendrá que estar ocupada por una chica, y como sólo faltan dos chicas por sentarse, podemos escribir $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \square \cdot \square$$

La sexta butaca deberá estar ocupada por un chico y la octava por una chica. Como sólo faltan por elegir un chico y una chica, llegamos finalmente a $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1=1152$$

Por consiguiente, de (1), podemos calcular ya la probabilidad pedida $$P(A)=\dfrac{1152}{40320} \approx 0,029$$

c)
Observando la regularidad que aparece en el cálculo de $N(A)$, al calcular esta cantidad para $n=2,4,6,8,\ldots$, podemos generalizar el resultado de la forma $$N(A)=n\cdot \dfrac{n}{2}\cdot \left( (\dfrac{n}{2}-1)^2 \cdot (\dfrac{n}{2}-2)^2 \cdot \overset{\underbrace{n-1}}{\ldots} \cdot 2^2\cdot 1\right)$$ Por otra parte $N=V_{n,n}=n!$, con lo cual $$P(A)=\dfrac{n\cdot \frac{n}{2}\cdot \left( (\frac{n}{2}-1)^2 \cdot (\frac{n}{2}-2)^2 \cdot \overset{\underbrace{n-1}}{\ldots} \cdot 2^2\cdot 1\right)}{n!}$$ que, simplificando, también podemos expresar de la forma $$P(A)=\dfrac{\left(n\cdot (\frac{n}{2}-1)!\right)^2}{2 \cdot n!}$$

NOTA. Calculando la probabilidad para valores de $n$ crecientes, podremos observar lo que de antemano podemos esperar: a medida que $n$ crece, $P(A)$ irá decreciendo.

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Recuentos

ENUNCIADO. ¿ Cuántos múltiplos de $5$ hay entre $11$ y $63$ ?

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1. Una manera sencilla de hacer el recuento -- descartamos, por supuesto, el proceso tedioso de escribirlos uno a uno y contar aditivamente todos y cada uno de los múltiplos pertinentes --, consiste en encontrar el menor y el mayor de dichos múltiplos de $5$; el menor es, obviamente, $15$; y, el mayor, claramente, $60$. Entonces, teniendo en cuenta que los múltiplos consecutivos de $5$ se obtienen sumando $5$ unidades al precedente, deducimos que dicho número de múltiplos de $5$ comprendidos entre $11$ y $63$ es igual a $\dfrac{60-5}{5}+1$, esto es, $10$. El lector se preguntará: ¿ Por qué le sumamos uno ? Pues por la misma razón que el número de postes necesarios para que queden $n$ espacios entre ellos, es $n+1$.

Procedimiento 2. Llamemos a este procedimiento procedimiento interesante, pues el anterior ya lo venimos aplicando, desde hace tiempo, en otros cursos más básicos. Si podemos establecer una aplicación uno a uno ( biyección ) entre el conjunto de los números naturales consecutivos, hasta un cierto número, y el conjunto de los sucesivos múltiplos de $5$, mayores que $11$ y menores que $63$, el cardinal del conjunto de partida habrá de ser igual al del conjunto de llegada, con lo cual, tendremos listo el recuento. Como enseguida vamos a ver, en el caso que nos ocupa sí es posible establecer dicha aplicación uno a uno. En otros casos, sin embargo, puede que no lo sea.

Veamos dicha aplicación uno a uno. Como todo número natural multiplicado por $5$ es un múltiplo de $5$, podemos bosquejar una expresión que 'fabrique' múltiplos de $5$; ésta que sigue, como idea primaria, vale $5\cdot \diamond $, donde $\diamond$ designa un número natural arbitrario; ahora bien, no hemos terminado; debemos conseguir expresar el conjunto de los números múltiplos de $5$ consecutivos, y para ello necesitamos una variable independiente. Demos pues un pasito más; esa variable independiente, a la que denotaremos por $i$, ha de protagonizar el recuento, por tanto es necesario que $i\in \{1,2,3,\ldots\}$. Así, podemos ir perfilando la siguiente expresión en función de $i$: $5\cdot ( \lozenge + i )$ ( donde $\lozenge$ denota un número natural arbitrario; y, ajustando el primer sumando del paréntesis para que, siendo $i=1$, el valor de la expresión sea lo más próximo a $15$ ( que es el primer múltiplo ), vemos que el valor que debe tomar el parámetro $\lozenge$ es $2$; y, así, llegamos a la siguiente función $f(i)= 5\cdot (i+2)$ para $i=1,2,3,\ldots$, cuyos valores son los sucesivos múltiplos de $5$. Si $i=1$, $f(1)=15$, que es el primer múltiplo de $5$ que nos interesa. Por otra parte, encontramos que si $i=10$, $f(10)=60$ que es el mayor múltiplo de $5$ menor que $63$, luego el número de dichos múltiplos es $i=10$

A modo de ejemplo, apliquemos ahora este procedimiento a otro problema similar: ¿ Cuántos múltiplos de $11$ hay entre $13$ y $123$ ?. Vamos a ello. Queremos establecer una aplicación biyectiva entre los conjuntos $\{1,2,3,\ldots,i_{\text{máximo}}\}$ y $\{22,33,44,\ldots,121\}$, que deberá ser de la forma $f(i)=11\cdot ( a+i)$, para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$ y donde $a$ es número entero que, en su papel de parámetro, debemos determinar. Lo hacemos de la siguiente manera. Como para $i=1$, $f(1)=22$ ( el primer múltiplo ), tenemos la siguiente igualdad $22=11\cdot (a+1)$, de donde encontramos $a=1$. Entonces la función que buscábamos es $f(i)=11\cdot (1+i)$ para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$. Ahora es inmediato ver que el mayor múltiplo de $11$ comprendido entre $13$ y $123$ es $122$, que corresponde a $f(10)$, luego como $i_{\text{máximo}}=10$, el número de múltiplos pedido es $10$
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Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. En un bombo hay $60$ bolas, numeradas de $1$ a $60$. Se elige al azar una de esas bolas. Se pide la probabilidad de que la bola seleccionada sea:
a) Un múltiplo de $3$
b) Un múltiplo de $4$
c) Un múltiplo de $3$ o un múltiplo de $4$
d) Un múltiplo de $4$, pero no de $6$

SOLUCIÓN. El espacio muestral $\Omega$ está formado por los sucesos simples $\{1,2,\ldots,60\}$; todos ellos, igualmente probables, así que podemos emplear la regla de Laplace para calcular las probabilidades pedidas. Designemos por $\dot{n}$ al suceso compuesto que corresponde a que la bola elegida sea múltiplo de $n$. Entonces,

a) El primer múltiplo de $3$ es el propio $3$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-3}{3}+1=20$ múltiplos de $3$, luego $P(\dot{3})=\dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3}$

b) a) El primer múltiplo de $4$ es el propio $4$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-4}{4}+1=15$ múltiplos de $4$, luego $P(\dot{4})=\dfrac{15}{60}=\dfrac{1}{4}$

c) Por la fórmula de inclusión-exclusión podemos escribir $$P(\dot{3} \cup \dot{4} )=P(\dot{3})+P(\dot{4})-P(\dot{3} \cap \dot{4}) \quad \quad (1)$$ Procedemos pues a calcular el valor del tercer término de la expresión. Los números que son múltiplos de $3$ y, también, de $4$, son múltiplos de $\text{m.c.m.}(3,4)=12$; el primer múltiplode $12$ es el propio $12$, y el mayor de ellos es $60$, por tanto entre los $60$ números hay $\dfrac{60-12}{12}+1=5$ múltiplos de $12$, luego $P(\dot{12})=\dfrac{5}{60}=\dfrac{1}{12}$ y, por tanto, $$P(\dot{3} \cap \dot{4})=\dfrac{1}{12}$$ Poniendo ahora los datos en (1) resulta, $$P(\dot{3} \cup \dot{4} )=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{2}$$

d)
Se nos pide ahora que calculemos $P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})$. Recordemos la propiedad que dice que, dados dos sucesos, $A$ y $B$, se tiene que $$P(A \cap \bar{B})=P(A)-P(A \cap B)$$ Así que $$P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})=P(\dot{4})-P(\dot{4} \cap \dot{6}) \quad \quad (2)$$ Debemos por tanto calcular el valor del segundo término de la expresión.

Como los números que son múltiplos de $4$ y, también, de $6$, son múltiplos de $\text{m.c.m.}(4,6)=12$, se tiene que $P(\dot{4} \cap \dot{6})=P(\dot{12})$, probabilidad que, al igual que $P(\dot{4})$, ya hemos calculado antes: $P(\dot{4})=\dfrac{1}{4}$ y $P(\dot{12})=\dfrac{1}{12}$.

Poniendo los datos en (2) resulta, $$P(\dot{4} \cap \bar{\dot{6}})=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{6}$$
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Estudieu la següent successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$:
      $a_n=\dfrac{(2\,n+1)^3}{2\,n^3+n^2-5} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió decreix monòtonament a partir de $n=2$; la s. és fitada, i convergent a $4$; en efecte,
pera a $n=1$, $a_1=-\dfrac{27}{2}$, i a mida que augmentem el valor de l'índex $n$, el valor dels termes es cada vegada més petit. Si calculem el límit trobem que $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, a_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\dfrac{(2\,n+1)^3}{2\,n^3+n^2-5} = 4$. Així, doncs, $-\dfrac{27}{2} \le a_n < 4$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $b_n=\dfrac{(5\,n+1)^2}{(n+1)^4} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, és fitada, i convergeix a $0$

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, b_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\dfrac{(5\,n+1)^2}{(n+1)^4}=0$ perquè, tractant-se del quocient de dos polinomis, el grau del polinomi del denominador es més gran que el del numerador

Podem dir per tant que
$0 < b_n \le \dfrac{9}{4}$ atès que $a_1=\dfrac{9}{4}$ $\square$

Estudieu la successió ...

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $c_n=\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^n \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, fitada, i convergent a zero

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, c_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^n=\lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{4\,n^2-1}{5\,n^2}\Big)^{\lim_{n\rightarrow \infty}n}=(4/5)^\infty=0$

Per tant, $0 \prec c_n \le \dfrac{3}{5}$

$\square$

Estudieu la següent successió

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $d_n=\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)^{\frac{2\,n^2-1}{n^2}} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent, fitada, i convergent a $9/4$, en efecte:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, d_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)^{\frac{2\,n^2-1}{n^2}}$
que, per la propietat del límit d'una potència, és igual a
$\displaystyle \Bigg(\lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{3\,n^4+n+1}{2\,n^4}\Big)\Bigg)^{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \,\frac{2\,n^2-1}{n^2}}=\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2=\dfrac{9}{4}$

$\dfrac{9}{4} < d_n \le \dfrac{5}{2}$ $\square$

Estudieu la successió

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow\infty$       $e_n=\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^{3n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona creixent i és fitada inferiorment per $2^3$. Per altra banda, convergeix a $e^3$, en efecte

$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{n+1}{n}\Big)^{3n}\overset{\text{indeterminació del tipus}\; 1^{\infty}}{=}\lim_{n \rightarrow \infty} \,\left((1+1/n)^{n}\right)^3=e^3$$


$\square$

Successions fitades i no fitades

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$:
      $f_n=\Big(\dfrac{n}{n-1}\Big)^{2n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és monòtona decreixent. No és fitada inferiorment perquè   $f_1=\infty$

per contra

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \, f_{n}= \lim_{n \rightarrow \infty} \,\Big(\dfrac{n}{n-1}\Big)^{2n}=e^2$

i, per tant, té fita superior igual a $e^2$

$f_n < e^2$ $\square$

Exemple de successión que està fitada però no té límit

Enunciat:

Estudieu la successió i, si s'escau, calculeu el valor del límit quan $n \rightarrow \infty$:
      $g_n=(-1)^{n} \quad \quad (\text{on} \; n=1,2,\ldots )$

Solució:

La successió és alternant entre els valors $-1$ i $1$; per tant, malgrat ser una s. fitada

$-1\le g_n \le 1$

no és convergent, atès que

$\displaystyle \nexists \lim_{n \rightarrow \infty} \, g_{n}$

$\square$