Hay que tener cuidado en no confundir algunas propiedades de los logaritmos por otras que son falsas

Sabemos que $\log_b\,m \cdot \log_b\,n \neq \log_b\,m+\log_b\,n$ y que $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} \neq \log_b\,m-\log_b\,n$ (recordemos que $b,m$ y $n$ son números reales positivos). Demostrémoslo mediante un contraejemplo.

Lo haremos por el método de contradicción (o reducción al absurdo) al tomar valores concretos para $b$, $m$ y $n$. Supongamos que sean ciertas: $\log_b\,m \cdot \log_b\,n = \log_b\,m+\log_b\,n$ y $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} = \log_b\,m-\log_b\,n$.

Bien, entonces tomemos, por ejemplo $b=10$, $m=1000$ y $n=100$, entonces $\log_{10}\,1000 \cdot \log_{10}\,100=\log_{10}\,10^3 \cdot \log_{10}\,10^2 = 3\cdot 2=6 \neq \log_{10}\,10^3+\log_{10}\,10^2=$
$=3\,\log_{10}\,10+2\,\log_{10}\,10=3\cdot 1 + 2\cdot 1=5$, que es una contradicción, luego la primera igualdad, $\log_b\,m \cdot \log_b\,n = \log_b\,m+\log_b\,n$, es falsa.

Con los mismos valores (otros cualesquiera también valdrían), $\dfrac{\log_{10}\,1000}{\\log_{10}\,100}=\dfrac{\log_{10}\,10^{3}}{\log_{10}\,10^2}=\dfrac{3\,\log_{10}}{2\,\log_{10}\,10}=\dfrac{3\cdot 1}{2\cdot 1}=\dfrac{3}{2} \neq \log_{10}\,1000-\log_{10}\,100 =$
$=\log_{10}\,10^3-\log{10}\,10^2=3\,\log_{10}\,10-2\,\log_{10}\,10=3\cdot 1-2\cdot 1= 1$
, que es una contradicción, luego la segunda igualda, $\dfrac{\log_b\,m}{\log_b\,n} = \log_b\,m-\log_b\,n$, también es falsa.

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Nota: Las que sí son ciertas son las igualdades $\log_b\,a\cdot b=\log_b\,m + \log_b\,n$ y $\log_b\,\dfrac{m}{n}=\log_b\,m-\log_n$. $\diamond$

Reescritura de un número real positivo mediante un logaritmo

Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. A modo de ejercicio, veamos cómo podemos demostrar que $$a^b=c^{\log_c\,(a^b)}$$

Denotemos $u:=a^b$. Entonces, tomando logaritmos en ambos miembros, $\log_c\,u=\log_c\,a^b$; y, por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u=c^{\log_c\,a^b}$, luego $a^b=c^{\log_c\,(a^b)}$. Por ejemplo, cualquier número real positivo $k$ se puede escribir de la forma $e^{\ln\,k}$, o si se quiere, en cualquier otra base $\ell$, como $\ell^{\log_\ell\,k}$ . $\diamond$

Acerca del cambio de base de un logaritmo

Otra interesante propiedad sobre el cambio de base logarítmica es la siguiente: $$\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$$ siendo $a$, $x$ y $b$ números reales positivos.

Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_b\,x \Leftrightarrow x=b^u$, y extrayendo logaritmos en base $a$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_a\,x=\log_a\,b^u$, esto es, $\log_a\,x=u\,\log_a\,b$, con lo cual, $u=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, es decir $\log_b\,x=\dfrac{\log_a\,x}{\log_a\,b}$, tal como se pedía. En muchos cálculos, esta propiedad puede resultar muy práctica, por ejemplo: $\ln\,x=\dfrac{\log\,x}{\log\,e}$ (recordemos que $\log(.)$ indica el logaritmo decimal (en base $10$) y que $\ln(.)$ denota el logaritmo neperiano (en base $e$). $\diamond$

Una propiedad interesante de los logaritmos

En este breve artículo del blog voy a demostrar la siguiente propiedad: $$\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$$ siendo $a$ y $b$ números reales positivos.

Por la propiedad fundamental de los logaritmos, $u:=\log_a\,b \Leftrightarrow b=a^u$. Extrayendo logaritmos en base $b$ en ambos miembros, podemos escribir: $\log_b\,b=\log_b\,a^u$, esto es, $1=\log_b\,a^u=u\,\log_b\,a$, con lo cual, $u=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, es decir $\log_a\,b=\dfrac{1}{\log_b\,a}$, tal como se pedía. $\diamond$

A vueltas con las ecuaciones trigonométricas

Un bonito ejercicio de resolución de ecuaciones trigonométricas, para valores de $x$ comprendidos en la primera vuelta: $$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{\cos^2\,x}=1$$

Teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometría $\sin^2\,x+cos^2\,x=1$, se tiene que $cos^2\,x=1-\sin^2\,x$, con lo cual podemos escribir la ecuación pedida de la siguiente forma: $$\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{1-\sin^2\,x}=1$$

Entonces,
  $\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2^{1-\sin^2\,x}=1$
    $\displaystyle -2^{\sin^2\,x}+2\cdot 2^{-\sin^2\,x}=1$
      $\displaystyle \dfrac{-2^{\sin^2\,x}}{2^{-\sin^2\,x}}+\dfrac{2\cdot 2^{-\sin^2\,x}}{2^{-\sin^2\,x}}=\dfrac{1}{2^{-\sin^2\,x}}$
        $\displaystyle -(2^{\sin^2\,x})^2+2=2^{\sin^2\,x}$
          $\displaystyle -(2^{\sin^2\,x})^2-2^{\sin^2\,x}+2=0$
            $\displaystyle -u^2-u+2 \quad \overset{u:=2^{\sin^2\,x}}{=} \quad 0 \Leftrightarrow u=\dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2 \cdot (-1)} =\left\{\begin{matrix}-2 \\ 1 \end{matrix}\right.$
Si $u=-2$, tenemos que $-2=2^{\sin^2\,x}$, y, como el segundo miembro es una cantidad positiva y el primero es una cantidad negativa, esta posibilidad no lleva a ninguna solución; por otra parte, si $u=1$, se tiene $1= 2^{\sin^2\,x}$, esto es, $2^0= 2^{\sin^2\,x} \Leftrightarrow \sin^2\,x=0 \Leftrightarrow x=\left\{ \begin{matrix}0^o \\ 180^o \end{matrix}\right.$. La solución pedida consta pues de dos valores $0^o$ y $180^o$, o, expresado en radianes: $0\, \text{rad}$ y $\pi\,\text{rad}$. $\diamond$

Ejercicio de aplicación de identidades notables para resolver una ecuación polinómica

En el siguiente ejercicio voy a resolver la ecuación polinómica $$x^6=(x+1)^6$$ Observemos que esta ecuación es equivalente a $x^6-(x+1)^6=0$, siendo el primer miembro de la igualdad un polinomio de grado igual a $5$, pues vemos que, al esbozar el desarrollo de la potencia del binomio, los términos de grado $6$ se anulan; por lo que, de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, deberemos encontrar exactamente cinco soluciones (contando las multiplicidades), ya sean éstas reales o complejas. En otros ejercicios de esta índole se suele proceder a buscar las raíces racionales (si las hubiese), y a medida que se encuentren, se va aplicando paso a paso el teorema del factor; sin embargo, algunos ejercicios como éste se prestan a utilizar algunas identidades notables para reescribir el primer miembro como producto de factores sin tener que calcular las raíces del polinomio, que por otra parte, se pueden calcular finalmente, éstas son la solución de la ecuación.

En este caso, las identidades que nos serán de utilidad son $a^2-b^2=(a+b)(a-b) \quad (1)$, $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)\quad (2)$.

Vayamos jugando un poco con el álgebra:
  $x^6-(x+1)^6=0$
    $(x^3)^2-\left((x+1)^3\right)^2=0$
      $\left(x^3-(x+1)^3\right)\left(x^3+(x+1)^3\right)\overset{(1)}{=}0$
        $(x-(x+1)) (x^2+x(x+1)+(x+1)^2) (x+(x+1)) (x^2-x(x+1)+(x+1)^2)\overset{(2)}{=}0$
          $-(3x^2+3x+1)(2x+1)(x^2+x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x^2+3x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-3 \pm i\,\sqrt{3}}{6} \in \mathbb{C}\\ 2x+1=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \in \mathbb{R} \\ x^2+x+1=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{-1 \pm i\,\sqrt{3}}{2} \in \mathbb{C} \end{matrix} \right.$
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Elemento neutro con respecto de la multiplicación de números complejos

Consideremos el cuerpo de los números complejos $(\mathbb{C},+,.)$. Vamos a demostrar que el elemento neutro del mismo con respecto de la operación producto de números complejos es $(1,0)$

Recordemos que todo número complejo $z$ viene dado por un par ordenado de números reales $(a,b)$, y que se define el producto de dos números complejos de la forma $z_1=:(a_1,b_1)$ y $z_2=:(a_2,b_2)$ de la forma $z_1\cdot z_2:=(a_1\,a_2-b_1\,b_2,a_1\,b_2+a_2\,b_1)$.

Entonces, el elemento neutro con respecto de la multiplicación de números enteros, $n=:(n_1,n_2)$, ha de ser único y tal que para todo $\mathbb{C} \ni z=:(a,b)$, donde $a,b \in \mathbb{R}$, se cumpla que $z\,n\overset{\text{conmutatividad de}\,\cdot}{=}n\,z=z$. Por tanto, $n \cdot z=(n_1,n_2)\cdot (a,b):=(n_1\,a-n_2\,b,n_1\,b+n_2\,a)=(a,b) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}n_1\,a&-&n_2\,b&=&a \\ n_1\,b&+& n_2\,a&=&b\end{matrix}\right.$
  $\overset{-(b/a)\,f_1+f_2 \rightarrow f_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}n_1\,a&-&n_2\,b&=&a \\ &&\dfrac{a^2+b^2}{a}\,n_2&=&0& \Rightarrow n_2=0\end{matrix}\right.$ y, por tanto, sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se obtiene $n_1=1$, con lo cual $n=(1,0)$.

Demostremos ahora la unicidad de dicho elemento neutro. Procedamos por reducción al absurdo, suponiendo que no lo es, esto es, que al menos existe un $n'=:(n'_1\,n'_2) \neq n=:(n_1,n_2)$. Entonces, $z=z\,n=z\,n'$, con lo cual $\left\{\begin{matrix} a\,n_1-b\,n_2 = a\,n'_1-b\,n'_2 \\ b\,n_1+a\,n_2 = b\,n'_1+a'\,n_2 \end{matrix}\right.$, es decir $\left\{\begin{matrix} a\,(n_1-n'_1) = b\,(n_2-n'_2) \\ b\,(n_1-n'_1) = a\,(n_2-n'_2) \end{matrix}\right. \Rightarrow n_1=n'_1 \quad \text{y} \quad n_2=n'_2$, en contradicción con la hipótesis de partida. $\diamond$