Ejercicio con vectores. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
La Marta, que s'amaga en un punt del pla $M$, ens diu que les coordenades cartesianes del punt del pla $A$ on es troba l'Albert ( relatives al sistema de referència amb origen en el punt del pla on ella es troba ) són: $(6,1)$. Per altra banda, sabem que les coordenades de la posició de l'Albert, segons el nostre propi sistema de referència, amb origen de coordenades en el punt $O$, són $(7,3)$. On és la Marta ? Quines són les coordenades del punt $M$ relatives al nostre sistema de referència, amb origen en el punt $O$ ?.

Solució:
Observem el triangle vectorial de la figura:

Llavors es complirà
    $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}$
d'on es dedueix que
    $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{MA}$

Per tant, tindrem la següent relació entre les coordenades dels vectors de posició dels tres punts del pla:
    $(x_{M},y_M)=(7,3)-(6,1)$
és a dir, les coordenades/components del vector de posició de $M$ respecte de punt $O$ (on nosaltres estem situats) són
    $(x_{M},y_M)=(7-6,3-1)=(1,2)$

Tenint en compte, ara, que les coordenades/components dels vectors de posició d'un punt del pla, com ara $M$, respecte de l'origen de coordenades $O$ (on ens situem nosaltres), coincideixen amb les coordenades del propi punt (afix del vector de posició), $(x_M,y_M)$, trobem que les coordenades del punt on es situa la Marta són $(1,2)$ .

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de análisis cualitativo de funciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ( definida en $\mathbb{R}$ i que pren valors en $\mathbb{R}$ ) que ve representada pel traç del gràfic cartesià, determineu:

  a) El domini d'existència $\mathcal{D}$ de la funció ( conjunt de nombres que tenen imatge ). Es contínua la funció en tots els punts del domini d'existència ?
  b) Recorregut $\mathcal{R}$ de la funció ( conjunt de valors que pren la funció )
  c) L'ordenada a l'origen de la funció ( ordenada del punt d'intersecció del traç de la funció amb l'eix d'ordenades )
  d) Arrels de la funció ( abscisses dels punts d'intersecció del traç de la funció amb l'eix d'abscisses )
  e) Hi ha mínim absolut ? Si n'hi ha doneu el seu valor
  f) Hi ha algun mínim local ? Si hi és, quant val el seu valor ?
  g) Quins són els intervals de creixement de la funció
  h) Quins són els intervals de decreixement de la funció
  i) Hi ha màxim absolut ? En cas afirmatiu, doneu el seu valor
  j) Hi ha algun màxim local ? En cas afirmatiu, doneu el seu valor

Solució:

  a) Domini d'existència: $\mathcal{D}=\{x\in\mathbb{R}:-0,5\le x \le 4\}$
que també es pot expressar en el llenguatge d'intervals de la forma
        $\mathcal{D}=[-0,5\;,\,4]\subset \mathbb{R}$
El traç de la funció no es trenca en cap punt del domini d'existènci i, doncs, és contínua en tot el seu domini d'existència.

  b) Recorregut: $\mathcal{R}=\{y\in\mathbb{R}:-2\le y \le 5\}=[-2\;,\,5]\subset \mathbb{R}$

  c) L'ordenada a l'origen de la funció és $3$

  d) Les arrels de la funció són $1$, $3$ i $3,6$ ( l'última és aproximada)

  e) Hi ha mínim absolut ( el menor valor que pren la funció ) i val $-2$

  f) La funció presenta un mínim local ( en els mínims locals la funció passa de ser decreixent a ser creixent ) que pren el valor $-1$

  g) Hi un sol interval de creixement: $(2\;,\;3,4)\subset \mathbb{R}$

  h) La funció és decreixent en dos intervals: $(-0,5\;,\;2)\subset \mathbb{R}$ i $(3,4\;,\;4)\subset \mathbb{R}$

  i) Hi ha màxim absolut i pren el valor $5$

  j) La funció presenta un màxim local ( on passa de ser creixent a decreixent ) i pren el valor $1$

$\square$

[nota del autor]

Cálculo de los vértices de un triángulo dadas las ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Els tres costats d'un triangle $\triangle{ABC}$ són segments de les rectes:
    $r:\,y=x+2$
    $s:\,y=-2x+4$
    $t:\,y=4$
Calculeu les coordenades dels vèrtexs del triangle.

Solució:
Designem per $A$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $r$ i $s$. Llavors,
    $A: \left\{\begin{matrix}y & = & x & + & 2\\ \\y & = & -2\,x & + & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_A=\dfrac{2}{3}\\ \\y_A=\dfrac{8}{3}\\\end{matrix}\right.$

Designem per $B$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $s$ i $t$. Llavors,
    $B: \left\{\begin{matrix}y & = & -2\,x & + & 4\\ \\y & = & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_B=0\\ \\y_B=4\\\end{matrix}\right.$

Designem per $C$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $r$ i $t$. Llavors,
    $C: \left\{\begin{matrix}y & = & x & + & 2\\ \\y & = & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_C=2\\ \\y_C=4\\\end{matrix}\right.$

Representem el gràfic amb l'objectiu didàctic de visualitzar gràficament la solució:

Resumint:
  Les coordenades dels vèrtexs del triangle $\triangle{ABC}$ són:
    $A\big(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3}\big)$
    $B(0,4)$
    $C(2,4)$



$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de trazo ( gráfico ) en un diagrama cartesiano que no representan una función. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu una correspondència definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, el gràfic cartesià de la qual és una recta perpendicular a l'eix d'abscisses. Podem dir que és una funció aquesta correspondència ?.

Nota:     Recordem que una correspondència entre un conjunt $A$ i un conjunt $B$ és aplicació (aquí, funció numèrica) si a cada element de $A$ li correspon $0$ ó $1$ element de $B$.

Solució:
Si $P(k,0)$ és el punt d'intersecció de la recta $r$ [ que és perpendicular a l'eix $Ox$ i que, per tant, té per equació $r:\,x=k$ ( on $k$ és una constant ) ] amb l'eix d'abcsisses, és clar que aquesta correspondència no és una funció ( o aplicació ), perquè a un mateix ( i únic) valor $k$ del conjunt original li correspon infinits nombres reals com a imatge.
$\square$

[nota del autor]

Comentarios sobre la noción de concavidad y convexidad en el contexto del estudio de funciones. ( Artículo escrito en catalán )

Un conveni força emprat per decidir si una funció $y=f(x)$ és convexa en un punt $P$ és el següent: si qualsevol recta secant a la corba, paral·lela a la recta tangent que passa pel punt $P$, queda pel damunt de la recta tangent a $P$, hom diu que la corba és convexa en $P$; en cas contrari, hom diu que la corba és còncava en el punt $P$. En alguns llibres, no obstant això, el conveni és just el contrari. En aquest blog, faig ús del referit a dalt. Exemples senzills: a) direm que la paràbola $y=x^2$ és una corba convexa en tots els seus punts ( en cada punt, les rectes secants sempre queden pel damunt de la recta tangent), b) la paràbola $y=-x^2$ és una corba còncava en tots els seus punts ( en cada punt, les rectes secants sempre queden per sota de la recta tangent), c) la corba corresponent a $y=x^3$ és còncava per a tots els punts d'abscissa negativa i convexa per a tots els punts d'abscissa positiva ( en $x=0$ no és còncava ni convexa: és un punt d'inflexió, on justament canvia el comportament).
$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de resolución de ecuaciones con ayuda del programa MAXIMA. ( artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Un ejercicio de aplicación de la proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un recipient en forma de cub té la base inferior oberta. Submergim al mar aquest cub, que està ple d'aire i que té un volum de $1\,\text{m}^3$ ( conté mil litres d'aire ), fent-lo descendir verticalment, cap per avall, amb la cara oberta paral·lela a la superfície del mar, fins una profunditat on la pressió hidrostàtica té un valor triple al de la pressió atmosfèrica, quan es troba a la superfície del mar. Quin volum ocupa l'aire del recipient a aquesta profunditat ?

Nota:
  Quan el submergim el recipient, mantenim el recipient amb la base paral·lela a la superfície de l'aigua, sense inclinar-lo, per tal que no hi entri aigua per les vores. El nivell de l'aigua dins del recipient augmenta únicament degut a la pressió hidrostàtica.

A mida que anem submergint el recipient, la pressió creixent va reduint el volum de l'aire a l'interior del recipient ( el nivell de l'aigua, que entra per la base, oberta, va augment i comprimint l'aire ); és a dir, les magnituds pressió i volum, dins del recipient, estan en relació inversa: en augmentar la pressió, disminueix el volum ocupat per l'aire. Sabem que si es considera l'aire ( aproximació ) como un gas ideal, llavors es compleix la llei de Boyle-Mariotte:
                $p_{1}\,v_{1}=p_{2}\,v_{2}=p_{3}\,v_{3}=\ldots = \text{constant}$

Observació:
Entre dues situacions, doncs, podem escriure
    $p_{1}\,v_{1}=p_{2}\,v_{2}$
relació en la qual, efectivament, identifiquem formalment la de les magnituds inversament proporcionals perquè, a més a més del que s'ha dit a la nota adjunta ( $ p \propto \frac{1}{v}$ ), podem escriure aquesta igualtat també així

                                    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{v_{1}}}=\dfrac{\;p_{2}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

Solució:
De la relació de proporcionalitat inversa entre les magnituds pressió $p$ i volum $v$ ( comentada a l'observació i a la nota adjunta a l'enunciat del problema)

                                    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{v_{1}}}=\dfrac{\;p_{2}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

i tenint en compte les dades numèriques
  $p_2=3\,p_1$
  $v_1=1 \, \text{m}^3$

trobem que

    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{1}}=\dfrac{\;3\,p_{1}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

i d'aquí,

    $3\,p_{1}\,v_{2}=p_{1}$

simplificant

    $3\,v_{2}=1$

d'on

    $v_{2}=\dfrac{1}{3} \, \text{m}^3$

        $\approx 333 \, \text{dm}^3$

$\square$

[nota del autor]