Cálculo de los vértices de un triángulo dadas las ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Els tres costats d'un triangle $\triangle{ABC}$ són segments de les rectes:
    $r:\,y=x+2$
    $s:\,y=-2x+4$
    $t:\,y=4$
Calculeu les coordenades dels vèrtexs del triangle.

Solució:
Designem per $A$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $r$ i $s$. Llavors,
    $A: \left\{\begin{matrix}y & = & x & + & 2\\ \\y & = & -2\,x & + & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_A=\dfrac{2}{3}\\ \\y_A=\dfrac{8}{3}\\\end{matrix}\right.$

Designem per $B$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $s$ i $t$. Llavors,
    $B: \left\{\begin{matrix}y & = & -2\,x & + & 4\\ \\y & = & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_B=0\\ \\y_B=4\\\end{matrix}\right.$

Designem per $C$ al vèrtex del triangle que correspon a la intersecció de les rectes $r$ i $t$. Llavors,
    $C: \left\{\begin{matrix}y & = & x & + & 2\\ \\y & = & 4\\\end{matrix}\right.$
i resolent aquest sistema d'equación, s'obté:
          $\left\{\begin{matrix}x_C=2\\ \\y_C=4\\\end{matrix}\right.$

Representem el gràfic amb l'objectiu didàctic de visualitzar gràficament la solució:

Resumint:
  Les coordenades dels vèrtexs del triangle $\triangle{ABC}$ són:
    $A\big(\dfrac{2}{3},\dfrac{8}{3}\big)$
    $B(0,4)$
    $C(2,4)$



$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de trazo ( gráfico ) en un diagrama cartesiano que no representan una función. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu una correspondència definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, el gràfic cartesià de la qual és una recta perpendicular a l'eix d'abscisses. Podem dir que és una funció aquesta correspondència ?.

Nota:     Recordem que una correspondència entre un conjunt $A$ i un conjunt $B$ és aplicació (aquí, funció numèrica) si a cada element de $A$ li correspon $0$ ó $1$ element de $B$.

Solució:
Si $P(k,0)$ és el punt d'intersecció de la recta $r$ [ que és perpendicular a l'eix $Ox$ i que, per tant, té per equació $r:\,x=k$ ( on $k$ és una constant ) ] amb l'eix d'abcsisses, és clar que aquesta correspondència no és una funció ( o aplicació ), perquè a un mateix ( i únic) valor $k$ del conjunt original li correspon infinits nombres reals com a imatge.
$\square$

[nota del autor]

Comentarios sobre la noción de concavidad y convexidad en el contexto del estudio de funciones. ( Artículo escrito en catalán )

Un conveni força emprat per decidir si una funció $y=f(x)$ és convexa en un punt $P$ és el següent: si qualsevol recta secant a la corba, paral·lela a la recta tangent que passa pel punt $P$, queda pel damunt de la recta tangent a $P$, hom diu que la corba és convexa en $P$; en cas contrari, hom diu que la corba és còncava en el punt $P$. En alguns llibres, no obstant això, el conveni és just el contrari. En aquest blog, faig ús del referit a dalt. Exemples senzills: a) direm que la paràbola $y=x^2$ és una corba convexa en tots els seus punts ( en cada punt, les rectes secants sempre queden pel damunt de la recta tangent), b) la paràbola $y=-x^2$ és una corba còncava en tots els seus punts ( en cada punt, les rectes secants sempre queden per sota de la recta tangent), c) la corba corresponent a $y=x^3$ és còncava per a tots els punts d'abscissa negativa i convexa per a tots els punts d'abscissa positiva ( en $x=0$ no és còncava ni convexa: és un punt d'inflexió, on justament canvia el comportament).
$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de resolución de ecuaciones con ayuda del programa MAXIMA. ( artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Un ejercicio de aplicación de la proporcionalidad inversa. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un recipient en forma de cub té la base inferior oberta. Submergim al mar aquest cub, que està ple d'aire i que té un volum de $1\,\text{m}^3$ ( conté mil litres d'aire ), fent-lo descendir verticalment, cap per avall, amb la cara oberta paral·lela a la superfície del mar, fins una profunditat on la pressió hidrostàtica té un valor triple al de la pressió atmosfèrica, quan es troba a la superfície del mar. Quin volum ocupa l'aire del recipient a aquesta profunditat ?

Nota:
  Quan el submergim el recipient, mantenim el recipient amb la base paral·lela a la superfície de l'aigua, sense inclinar-lo, per tal que no hi entri aigua per les vores. El nivell de l'aigua dins del recipient augmenta únicament degut a la pressió hidrostàtica.

A mida que anem submergint el recipient, la pressió creixent va reduint el volum de l'aire a l'interior del recipient ( el nivell de l'aigua, que entra per la base, oberta, va augment i comprimint l'aire ); és a dir, les magnituds pressió i volum, dins del recipient, estan en relació inversa: en augmentar la pressió, disminueix el volum ocupat per l'aire. Sabem que si es considera l'aire ( aproximació ) como un gas ideal, llavors es compleix la llei de Boyle-Mariotte:
                $p_{1}\,v_{1}=p_{2}\,v_{2}=p_{3}\,v_{3}=\ldots = \text{constant}$

Observació:
Entre dues situacions, doncs, podem escriure
    $p_{1}\,v_{1}=p_{2}\,v_{2}$
relació en la qual, efectivament, identifiquem formalment la de les magnituds inversament proporcionals perquè, a més a més del que s'ha dit a la nota adjunta ( $ p \propto \frac{1}{v}$ ), podem escriure aquesta igualtat també així

                                    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{v_{1}}}=\dfrac{\;p_{2}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

Solució:
De la relació de proporcionalitat inversa entre les magnituds pressió $p$ i volum $v$ ( comentada a l'observació i a la nota adjunta a l'enunciat del problema)

                                    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{v_{1}}}=\dfrac{\;p_{2}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

i tenint en compte les dades numèriques
  $p_2=3\,p_1$
  $v_1=1 \, \text{m}^3$

trobem que

    $\dfrac{\;p_{1}\;}{\frac{1}{1}}=\dfrac{\;3\,p_{1}\;}{\frac{1}{v_{2}}}$

i d'aquí,

    $3\,p_{1}\,v_{2}=p_{1}$

simplificant

    $3\,v_{2}=1$

d'on

    $v_{2}=\dfrac{1}{3} \, \text{m}^3$

        $\approx 333 \, \text{dm}^3$

$\square$

[nota del autor]

Resolución del problema de los aniversarios empleando ( como herramienta de cálculo ) una calculadora programable. ( artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Un grup de $n$ persones es troben reunides en una festa. Quant val la probabilitat que almenys dues d'aquestes persones compleixin anys el mateix dia de l'any ?

Resolució:
Per la propietat del contrario s'ha de complir que
P("almenys dues persones facin anys el mateix dia de l'any") =
1-P("no hi hagi coincidència")

Suposant, primer que tot, que el nombre n de persones sigui igual a 365 la probabilitat que no hi hagi cap coincidència és igual a
(365/365)(364/365)(363/365)...(1/365)

Aquest resultat es pot generalitzar per a qualsevol n (n<=365) fent el producte successiu: PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)

Per tant la probabilidad demanada és igual a
1-PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)

Particularitzant per dos casos significatius (n=2 y n=365) (he fet servir una calculadora TI Voyage200 ... DERIVE) obtindrem la probabilitat demanada:

a) PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)|n=365
-----> pràcticament és igual a la unidad, como era de esperar

b) PRODUCTE((365-i)/365,i,0,n-1)|n=2
-----> 0.0027
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de función inyectiva, exhaustiva y biyectiva. ( artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
1.
Determineu el camp ( o domini ) d'existència, $D_f$, i el recorregut $R_f$, de la funció
    $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}\cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left|\sqrt{x^2-4}\right|$

2. Tal com es defineix aquesta funció:
a) És injectiva ?
b) És exhaustiva ?
c) És bijectiva ?

Solució:

1.
La funció està definida per a valors de $x$ més grans o iguals a $2$ o bé per a valors de $x$ més petits o iguals que $-2$, és a dir,
    $D_f=\{x\in \mathbb{R} : \left|x\right| \ge 2 \}$
Per altra banda, la funció recorre tots el nombres reals a excepció dels nombres negatius, llavors el recorregut de la funció ( o conjunt imatge de $f$ ) és
    $R_f=\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$

2.
  a)
No és injectiva perquè per a cada valor del recorregut li correspon dues antiimatges ( dos valors diferents del domini d'existència); per exemple,
    $f(2)=f(-2)=0$
    $f(3)=f(-3)=\left|\sqrt{5}\right|$
    $f(4)=f(-4)=2\,\left|\sqrt{3}\right|$
    $\ldots$

  b)
No hi ha cap element del recorregut $R_f \subset \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ que no tingui antiimatge, per tant $f$ és exhaustiva

  d)
Una funció és bijectiva si, i només si, és injectiva i exhaustiva; per tant, la funció donada, en no ser injectiva, no és bijectiva.

$\square$

[nota del autor]