Potencia de un punto con respecto de una circunferencia

Potencia de un punto $P(x,y)$ con respecto a una circunferencia $\mathcal{C}$, de radio $r$ y centro $C(x_C,y_C)$, es el valor constante que se obtiene al trazar cualquier recta secante a $C$, pongamos que en los puntos $A$ y $B$ de la misma, o bien, otra cualquiera, secante a cualquier otra pareja de puntos $E$ y $F$ de la circunferencia. Esto es, $\text{Pot}_{\mathcal{C}}(P) = \overline{PA}\cdot \overline{PB}=\overline{PE}\cdot \overline{PF}=\ldots$

Sin pérdida de generalidad, podemos trazar la recta secante de la que hablamos en la definición de potencia de un punto ( con respecto a una circunferencia dada ) de modo que pase por el centro de la circunferencia, y por tanto cortando a la misma, en dos puntos $A$ y $B$ diametralmente opuestos, siendo $d$ la distancia $\text{dist}(P,C)$ de $P$ al centro de la circunferencia. Entonces $$\text{Pot}_{\mathcal{C}}(P)=(d-r)\cdot (d+r) = d^2-r^2$$ y teniendo en cuenta que $(\text{dist}(P,C))^2=(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2$, podemos escribir que $$\text{Pot}_{\mathcal{C}}(P)=(x_P-x_C)^2+(y_P-y_C)^2-r^2 \quad \quad (1)$$

Por otra parte, trazando desde $P$ una recta tangente a la circunferencia ( hay dos rectas tangentes, una con tangencia en $Q$ y otra con tangencia en $Q'$ ), se configura un triángulo rectángulo ( véase la figura ), con hipotenusa igual a $d$ y uno de los catetos igual al radio, $r$, así que, por el teorema de Pitágoras, deducimos que $(\overline{PQ})^2$ ha de ser igual a $d^2-r^2$; ahora bien, $d^2-r^2$ es el valor de la potencia de $P$, por consiguiente podemos escribir también que $$ \text{Pot}_{\mathcal{C}}(P)=(\overline{PQ})^2$$

Ejemplo 1. Se considera la circunferencia $\mathcal{C}\equiv (x-1)^2+(y-2)^2-4=0$ y el punto interior a la misma $P(2,3)$. La potencia de $P$ con respecto de $\mathcal{C}$ es pues $$\text{Pot}_{\mathcal{C}}(P)=(2-1)^2+(3-2)^2-4=-2 \prec 0$$

Ejemplo 2. Se considera la misma circunferencia, $\mathcal{C}\equiv (x-1)^2+(y-2)^2-4=0$, y, ahora, el punto exterior a la misma $P(5,6)$. La potencia de $P$ con respecto de $\mathcal{C}$ es pues $$\text{Pot}_{\mathcal{C}}(P)=(5-1)^2+(6-2)^2-4=28 \succ 0$$

Ejemplo 3. Se considera la misma circunferencia, $\mathcal{C}\equiv (x-1)^2+(y-2)^2-4=0$, y el punto de su lugar geométrico $P(1,0)$. Ahora, la potencia de $P$ con respecto de $\mathcal{C}$ es pues $$\text{Pot}_{\mathcal{C}}(P)=(1-1)^2+(0-2)^2-4=0$$

Observación: El valor de la potencia de un punto exterior a la circunferencia es mayor que cero; es menor que cero si el punto es interior a la circunferencia; y, es igual a cero, si el punto está en la circunferencia.

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Sean dos circunferencias $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$. El lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia con respecto de sendas circunferencias es una recta, que se denomina centro radical de dichas circunferencias.

Ejemplo. Se consideran las circunferencias $\mathcal{C}_1\equiv (x-1)^2+(y-1)^2-4=0$ y $\mathcal{C}_2\equiv (x-5)^2+(y-1)^2-9=0$. Procedamos a determinar la ecuación del eje radical de estas dos circunferencias. Denotemos por $X(x,y)$ un punto genérico de dicho eje, que cumplirá la condición de lugar geométrico, por lo que $$\text{Pot}_{\mathcal{C}_1}(X)=\text{Pot}_{\mathcal{C}_2}(X)$$ luego, de (1), tenemos que $$(x-1)^2+(y-1)^2-4=(x-5)^2+(y-1)^2-9$$ esto es $$xx^2-2x+1+y^2-2y+1-4=x^2-10x+25+y^2-2y+1-9$$ y simplificando llegamos a $$\text{eje radical}\equiv 8x-19=0$$

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Denominamos centro radical de tres circunferencias al punto de intersección de los tres ejes radicales que se forman tomando las tres circunferencias por parejas.