Distancia de un punto a una recta

ENUNCIADO. Sea un punto $P(x_P,y_P)$ y una recta $r\equiv Ax+By+C=0$. Demúestrese que la distancia euclídea de $P$ a $r$ es $$\text{dist}(P,r)=\dfrac{|Ax_P+By_P+C}{|\sqrt{A^2+B^2}|}$$

SOLUCIÓN. Consideremos un punto genérico de $r$, $X(x,y)$, y el vector $\overset{\rightarrow}{XP}=(x_P-x,y_P-y)$. Entonces, $$\text{dist}(P,r)=\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proy}}_{\vec{n}_1}\,\overset{\rightarrow}{XP} \right\| = |\langle \overset{\rightarrow}{XP}, \vec{n}_1 \rangle| \quad \quad (1)$$ donde $\vec{n}_1$ es un vector unitario perpendicular a $r$.

Siendo $\vec{u}_r=(B,-A)$ un vector director de $r$, sabemos que un vector perpendicular a la misma es $\vec{n}=(A,B)$ y el vector unitario en su misma dirección y sentido es $$\vec{n}_1=\left( \dfrac{A}{|\sqrt{A^2+B^2}|},\dfrac{B}{|\sqrt{A^2+B^2}|}\right)$$ y del producto escalar $$\langle (x_P-y_P,y_P-y),\left( \dfrac{A}{|\sqrt{A^2+B^2}|},\dfrac{B}{|\sqrt{A^2+B^2}|}\right)\rangle$$ obtenemos $$\dfrac{Ax_P+By_P-Ax-Ay|}{|\sqrt{A^2+B^2}}$$ y teniendo en cuenta la ecuación general de la recta $Ax+By+C=0$, $-Ax-By=C$, por consiguiente y según (1), $$\text{dist}(P,r)=\dfrac{|Ax_P+By_P+C|}{|\sqrt{A^2+B^2}|}$$

EJEMPLO. Se considera la recta $r\equiv x-y+1=0$ y el punto $P(1,1)$. Calcúlese la distancia euclídea de $P$ a $r$.
SOLUCIÓN. Aplicando la fórmula que acabamos de justifcar y teniendo en cuenta que $A=C=1$ y $B=-1$ y $x_P=y_P=1$, tenemos que $\text{dist}(P,r)=\dfrac{1\cdot 1+(-1)\cdot 1+1}{|\sqrt{1^2+(-1)^2}|}=\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}$ unidades de longitud arbitrarias.
$\square$