Sabemos que una recta viene determinada por un punto y un vector en su misma dirección. Así que si, fijada una dirección, esto es, un vector director de la misma, si dejamos libre el punto de manera que una recta en la dirección fijada se desplace paralelamente a sí misma podemos escribir las rectas del hazd de rectas paralelas en forma vectorial: $\mathcal{H}\equiv (x,y)=(x',y')+\lambda (u_x,u_y)$, donde $\lambda$ es el parámetro ( $\lambda \in \mathbb{R}$ ) de dicha ecuación vectorial y $u_x$ y $u_y$ son son las coordenadas del vector, que aparecen ahora como datos.
A partir de dicha ecuación vectorial podemos escribir las ecuaciones paramétrica de cualquier recta del haz $$\left\{\begin{matrix}x=x'+\lambda\,u_x \\ y=x'+\lambda\,u_y \end{matrix}\right.$$ Despejando el parámetro $\lambda$ e igualando los segundos miembros de las dos ecuaciones obtenidas llegamos a la ecuación enforma continua $$\dfrac{x-x'}{u_x}=\dfrac{y-y'}{u_y}$$ y, de aquí, podemos escribir la ecuación del haz de rectas paralelas en la dirección del vector $\vec{u}=(u_x,u_y)$ la forma $$\mathcal{H}\equiv u_{y}\,(x-x')= u_{y}\,(y-y') \quad \quad \,m,n\in \mathbb{R}, \text{constantes}$$
EJEMPLO. Se considera el haz de rectas paralelas en la dirección del vector $\vec{u}=(3,2)$. Se pide:
a) Escribir la ecuación del haz
b) Determinar la ecuación de la recta del haz que contiene al punto $Q(5,6)$. Hallar otro punto de dicha recta, distinto de $Q$
SOLUCIÓN.
a) $$\mathcal{H}\equiv 2,(x-x')= 3\,(y-y')\,; \,\forall x',y'\in \mathbb{R}$$
b) Sustituyendo $x'$ e $y'$ por las coordenadas de $Q$ obtenemos $2\,(x-5)=3\,(y-6)$ y de ahí la ecuación de dicha recta en forma continua, $$r_{Q}\equiv \dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y-6}{2}$$
Dando ahora un valor cualquiera a una de las dos variables, pongamos que $x:=8$ y despejando la otra variable, obtenemos $y=2\cdot \dfrac{8-5}{3}+6=8$; así, un punto de la recta $r_Q$ distinto del punto $Q$ es $R(8,8)$
$\square$
