Identidades notables

¿Es cierta la siguiente identidad? Esto es, ¿esta igualdad algebraica es válida para cualquier valor de $a$ y de $b$? $$a^5+b^5 = (a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2\, b^2 - a\, b^3 + b^4)$$

Veámoslo multiplicando los dos factores del segundo miembro; si es cierta, el resultado ha de ser igual a la expresión del primer miembro:
  $(a + b) (a^4 - a^3\, b + a^2 \,b^2 - a \,b^3 + b^4)=$
    $a \cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \, b^2 - a\, b^3 + b^4) + b\cdot (a^4 - a^3 \,b + a^2 \,b^2 - a\, b^3 + b^4)=$
      $a^5 - a^4 b + a^3 \,b^2 - a^2 \, b^3 + a\,b^4 + a^4\,b - a^3\, b^2 + a^2\, b^3 - a\, b^4 + b^5=$
        $a^5 + (a^4 b - a^4\,b) + (a^3\, b^2 - a^3\, b^2) + (a^2\, b^3-a^2\, b^3) + (a\,b^4 - a\,b^4) + b^5=$
          $a^5 + 0+0+0+0 + b^5=$
            $a^5 + b^5$
La identidad propuesta es, por tanto, cierta.

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Nota: Es fácil probar (de manera parecida) que la siguiente identidad también es cierta: $$a^5 - b^5 = (a - b) (a^4 + a^3\, b + a^2\, b^2 + a\, b^3 + b^4)$$

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Importante: Os aconsejo que recordéis estas otras identidades, muy sencillas, y muy útiles a la hora de resolver determinadas ecuaciones (realizando transformaciones convenientes), efectuar simplificaciones, y, también, para facilitar algunos cálculos numéricos, lo cual conviene a veces tenerlas en cuenta para realizarlos de manera eficiente:
Siendo $a,b\in \mathbb{R}$, se tiene:

1. $(a + b)^2=a^2 + 2ab+b^2$
2. $(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2$
3. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\,(a\,b+b\,c+a\,c)$
   
5. $(a+b)^3=a^3+ 3a^{2}b + 3ab^2+b^3$
6. $(a-b)^3=a^3- 3a^{2}b + 3ab^2-b^3$
7. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
   
8. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
   

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Cálculo de raíces de un polinomio, empleando (si se tercia) identidades para factorizarlo

A modo de ejemplo, voy a calcular las ráices reales y complejas del polinomio $P(x)=x^3+27$

Para encontrar las raíces de un polinomio debemos imponer la definición de ráiz de un polinomio: $P(x)=0$. Entonces,
  $x^3+27=0$
    $x^3+3^3=0$
A continuación, para factorizar el primer miembro, utilizaré la identidad $$a^3\pm b^3=(a\pm b)\,(a^2\mp a\,b+b^2)$$
con lo cual, el último paso puede expresarse de la forma
    $(x+3)\cdot (x^2-3x+3^2)=0$
      $(x+3)(x^2-3x+9)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3=0 \\ x^2-3x+9 =0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-3 \\ \\ \\ \dfrac{-(3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 9}}{2\cdot 1}= \newline\quad \quad \quad =\dfrac{3\pm 3 \,\sqrt{3}\,i}{2} = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i \end{matrix}\right.$

El conjunto de ráices de $P(x)$ es pues $$\{ -3\in \mathbb{R}\,,\, \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C} \,,\, \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\,\sqrt{3}}{2}\,i\right) \in \mathbb{C}\}$$

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Otra ecuación interesante en cuanto a la técnica idónea para resolverla

Una ecuación del tipo $x^x=x^2$, donde $x$ es una variable real, aunque quizás asuste un poco, no ofrece ninguna dificultad para encontrar la solución por tanteo; a poco que ensayemos, vemos que $3$ y $1$ satisfacen la igualdad: $1^1=1^3=1$ y lo mismo ocurre con $x=3$, pues tanto el primer miembro como el segundo dan como resultado $3^3=27$.

Bien, ¿pero habrá más valores que no podamos encontrar con tanta facilidad, digamos que 'a ojo de buen cubero'? Podríamos responder a esta pregunta con un 'no', pues si atendemos al trazo de las gráficas de las funciones de ambos miembros $y=x^x$ e $y=x^2$, la intersección de las mismas no se da en más de dos puntos, tal como se muestra en la siguiente figura. Ni $0$ ni ningún valor negativo corresponden a abscisas de puntos de intersección de los trazos.

Además, alternativamaente, si no se quiere recurrir al recurso de las gráficas, puede comprobarse que para valores negativos de $x$ el primer miembro es negativo, mientras que el segundo es positivo; y, para el valor $0$ de $x$, a pesar de que para el primer miembro se obtiene una indeterminación $0^0$, ésta se resuelve al tener en cuenta que $x^x$ es una función continua y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,x^x=1$ (puede comprobarse elaborando una tabla numérica con una hoja de cálculo), con lo cual, $(x^x)_{x=0}=1$, mientras que el valor del segundo miembro toma un valor distinto: $(x^2)_{x=0}=0^2=0\neq 1$.

No obstante, voy a resolver la ecuación empleando las técnicas del álgebra, pues me parece, que, para el caso que nos ocupa, es bastante interesante tomarnos la molestia de comprobar los valores de la solución de los que hemos hablado, y para otros casos en los que no sea tan fácil ver la solución tan 'alegremente', es evidente que no podremos prescindir de ello.

Recordemos que estamos buscando valores positivos de $x$. Para ello, una buena idea para empezar es extraer logaritmos en cada miembro de la igualdad:
  $x^x=x^2$
    $\ln(x^x)=\ln(x^2)$
      $x\,\ln(x)=2\,\ln(x)$
        $x\,\ln(x)-2\,\ln(x)=0$
          $(x-2)\cdot \ln(x)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-2=0 \\ \ln(x)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}2 \\ 1 \end{matrix}\right.$

En conclusión: la solución de la ecuación pedida $x^x=x^2$ consta de los siguientes valores: $\{1,2\}$

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Un problema de Olimpiada Matemática sobre números enteros positivos

En este artículo quiero mostrar la resolución de la ecuación $m+2\,m\,n+n=22$, donde $m$ y $n$ son números enteros positivos. No se trata de un ejercicio al uso en un curso estándar de bachillerato; en realidad, corresponde a un problema aparecido en alguna edición de la Olimpiada Matemática, pero creo que bien merece atención, por el valor formativo y por la estética del planteamiento, tal como enseguida veremos. Como idea general, en cuanto al enfoque de la resolución, se trata de factorizar la expresión algebraica que, toda vez transformada la ecuación convenientemente, permitirá razonar acerca de las posibilidades para obtener la cantidad el segundo miembro.

De entrada, no parece que el primer miembro se brinde de manera directa a la factorización que se persigue, por lo que vamos a multiplicar por $2$ ambos miembros, para que el tercer término del primer miembro sea más propicio a poder realizar la factorización de la que estamos hablando:
  $m+2\,m\,n+n=22$
    $2\,(m+2\,m\,n+n)=2\cdot 22$
      $2\,(m+2\,m\,n)+2\,n=44$
        $2\,m\,(1+2\,n)+2\,n=44$
Convendría ahora poder extraer factor común de $1+2\,n$, pero, para ello, nos falta un $1$ en el primer miembro, por lo que vamos a sumar $1$ a cada miembro; así, tenemos casi preparada la ecuación equivalente que se va a prestar a la factorización del primer miembro:
        $2\,m\,(1+2\,n)+2\,n+1=44+1$
          $2\,m\,(1+2\,n)+(1+2\,n)=45$
Ahora, ya sí, podemos realizar la factorización:
          $(2\,m+1)\,(1+2\,n)=45$
Notemos ahora que la cantidad del segundo miembro, expresada como producto de factores primos, es $45=3\cdot \cdot 5$; pero, como en el primer miembro tenemos dos factores algebraicos, nos interesa escribirla como producto de dos (y no de tres) factores, los cuales pueden ser: $1\cdot 45$, $45\cdot 1$, $3\cdot 15$, $15\cdot 3$, $9\cdot 5$ y $5 \cdot 9$

Por otra parte, si nos fijamos bien en las expresiones de la factorización del primer miembro, y teniendo en cuenta que $m$ y $n$ han de ser números enteros positivos, com el número entero positivo más pequeño es $1$ resulta que tanto $2\,m+1$ como $2\,n+1$ han de ser mayores o iguales que $2\cdot 1+1=3$, por lo que las dos primeras posibilidades, $1\cdot 45=45$ y $45\cdot 1=45$, debemos descartarlas por la inviabilidad de ese factor $1$. Entonces, sólo nos queda investigar las cuatro últimas posibilidades:

• Para la tercera posibilidad, $3\cdot 15=45$, tenemos que $2\,m+1=3$, luego $m=1$; y $2\,n+1=15$, por lo que $n=7$. Ya tenemos una parte de la solución: $(m,n)=(1,7)$
• Para la cuarta posibilidad, $15\cdot 2=45$, tenemos que $2\,m+1=15$, y por tanto $m=7$; y $2\,n+1=3$, por lo que $n=1$. Tenemos otro elemento de la solución: $(m,n)=(7,1)$
• Para la quinta posibilidad, $9\cdot 5=45$, se tiene que $2\,m+1=9$, es decir $m=4$; y $2\,n+1=5$, por lo que $n=2$, así que otro elemento de la solución: $(m,n)=(4,2)$
• Y, para la sexta posiblidad, $5\cdot 9=45$, se tiene que $2\,m+1=5$, en consecuencia $m=2$; y $2\,n+1=9$, por lo que $n=4$, así que el último elemento de la solución es $(m,n)=(2,4)$

Resumiendo, la solución viene dada por el siguiente conjunto de parejas $(m,n)$ de números enteros positivos: $$\displaystyle \left\{(1,7),(7,1),(4,2),(2,4)\right\}$$

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El uso de identidades puede facilitar la factorización de polinomios, para, por ejemplo, resolver una ecuación algebraica

He encontrado esta interesante ecucació $$x^4=(x-1)^4$$ Voy a resolverla en el conjunto de los números complejos

  $x^4=(x-1)^4$
    $x^4-(x-1)^4=0$
      $(x^2)^2-((x-1)^2)^2=0$
        $(x^2-(x-1)^2))(x^2+(x-1)^2))=0$
          $(x^2-(x^2-2x+1))(x^2+(x^2-2x+1))=0$
            $(x^2-x^2+2x-1)(x^2+x^2-2x+1)=0$ (aquí hago uso de la identidad $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)
              $(2x-1)(2\,x^2-2x+1)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x-1=0 & (1) \\ x^2-2x+1=0 & (2)\end{matrix}\right.$

1. De $(1)$ se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
2. Y, de $(2)$, $x=\dfrac{1}{2}\\ 2\,x^2-2x+1 = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 2\cdot 1}}{2\cdot 2}=\dfrac{2\pm \sqrt{-4}}{4}=$
             $=\dfrac{2\pm \sqrt{ 4\cdot (-1)}}{4}=\dfrac{2 \pm \sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}}{4}=\dfrac{2 \pm 2\cdot i}{4}=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{1}{2}\,i$

La solución está formada pues por dos valores complejos, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,i$ y $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\,i$, y un valor real, $\dfrac{1}{2}$. No ha de sorprendernos que obtengamos tres valores en la solución, y no cuatro, pues, en realidad, el polinomio $x^4-(x-1)^4$ es de tercer grado, ya que los términos de grado cuatro se anulan. $\diamond$

Cálculo de funciones derivadas

Derívese la función $y=(2^{x})^x$

$y=(2^{x})^x=2^{x\cdot x}=2^{x^2}=\left(e^{\ln(2)}\right)^{x^2}=e^{x^2\cdot \ln(2)} \therefore $
  $ \therefore y'=e^{x^2\cdot \ln(2)} \cdot (x^2\cdot \ln(2))'=2\,\ln(2)\cdot x\cdot e^{x^2\cdot \ln(2)} = 2\,\ln(2)\cdot x\cdot 2^{x^2} = 2\,\ln(2)\cdot x\cdot (2^{x})^x =$
    $= \ln(2^2)\cdot x\cdot (2^{x})^x = \ln(4)\cdot x\cdot (2^{x})^x $
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Cuidado con las potencias sucesivas a la hora de derivar

Derívese la función $y=2^{x^{0^{x}}}$, siendo $x\neq 0$

Como en la expresión de las sucesivas potencias que definen esta función no hay paréntesis que alteren la prioridad de las mismas, hay que ir atendiendo en primer lugar, y como es bien sabido (por las propiedades elementales), las potencias más externas (las que van apareciendo más arriba, actualizando la expresión que vaya quedando):
  $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}$, ya que, al ser $x\neq 0$, $0^x=0$
    Por tanto, tenemos $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}$
    Y como al ser $x\neq 0$, $x^0=1$, se tiene que $y=2^{x^{0^{x}}}=2^{x^0}=2^1=2=\text{constante}$
Por consiguiente, como la derivada de una función constante (no experimenta variación alguna) es, lógicamente, la función nula, concluimos que $y'=0$
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