Calcular el ángulo entre los vectores ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu el pla euclidià $\mathbb{R}^2$. Calculeu l'angle format pels vectors
    $\vec{u}=(1,2)$
    i
    $\vec{v}=(-1,6)$

Resolució:
D'acord amb les definicions equivalents de producte escalar euclidià:
    $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_{x}\,v_{x}+u_{y}\,v_{y} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)$

    $\vec{u}\cdot\vec{v}=\left \| \vec{u} \right\|\,\left \| \vec{v} \right\|\,\cos\big(\measuredangle(\vec{u},\vec{v})\big) \quad \quad \quad (2)$
obtenim
    $\measuredangle (\vec{u},\vec{v})=\arccos\Bigg(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left \| \vec{u} \right\| \,\left \| \vec{v} \right\| }\Bigg) \quad \quad \quad (3)$

on el valor del producte escalar dels dos vectors és igual a
        $\vec{u}\cdot\vec{v}=1(-1)+2(6)$
                $=11$

I els mòduls dels vectors valen
        $\left\| \vec{u} \right\|=\sqrt{1^2+2^2} $
                $=\sqrt{5}$
i
        $\left\| \vec{v} \right\|=\sqrt{(-1)^2+6^2}$
                $=\sqrt{37}$

Substituint aquestes dades en l'expressió (3) trobem

    $\measuredangle (\vec{u},\vec{v}) \approx 36º 1' 39''$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el valor de los ángulos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el valor dels angles i l'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C, sabent que
  $a=7 \text{cm}$
  $b=8 \text{cm}$
  $c=13 \text{cm}$

Resolució:
Del teorema del cosinus
      $a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos(\alpha)$
tenim que
      $\alpha = \arccos \Bigg( \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}\Bigg)$
          $= \arccos \Bigg( \dfrac{8^2+13^2-7^2}{2 \cdot 8\cdot 13}\Bigg)\approx 27º\,47^{'}\,44,78^{''}$
            [serà útil emmagatzemar aquest resultat en una memòria de la calculadora ( $27º \,47^{'}\,44,78^{''} \rightarrow \text{Mem}$ ), per poder fer-ne ús en els càlculs que segueixen ]

Tenint en compte el teorema del sinus
      $\dfrac{\sin{\alpha}}{a}=\dfrac{\sin{\beta}}{b}=\dfrac{\sin{\gamma}}{c}$
podem escriure
      $\dfrac{\sin{\alpha}}{7}=\dfrac{\sin{\beta}}{8}$
            [recordem que tenim a la memòria de la calculadora el valor que hem calculat de l'angle $\alpha$ ]
llavors
      $\beta=\arcsin{\Big(\dfrac{8}{7}\,\sin\big(\alpha\leftarrow\text{Mem}\big)\Big)}$
          $\approx 32º\,12^{'}\,15,22^{''}$

El tercer angle $\gamma$ el calculem tenint en compte que la suma dels tres angles ha de ser igual a $180º$
      $\gamma=180º-(\alpha+\beta)$
          $=120º$

Per acabar, calculem l'àrea del triangle
      $\text{Àrea}=\dfrac{1}{2}\,c\,h \quad \quad \quad (1)$
on $h$ representa la longitud del segment perpendicular a $c$ que passa pel vèrtex C.

Si ens fixem amb el triangle rectangle AC'C calculem el valor de $h$ fent
      $h=b \, \sin(\alpha)$
          $=8 \cdot \sin\big(\alpha \leftarrow \text{Mem}\big)$

Substituint això en (1)
      $\text{Àrea}=\ldots \approx 24 \, \text{cm}^2$


$\square$

[nota del autor]

Clasificar la siguiente curva cónica. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Classifiqueu la següent corba cònica
    $3\,x^2+2\,y^2-24=0$
Determineu tots els seus elements i calculeu el valor de l'excentricitat. Representeu-la gràficament.

Resolució:
Podem escriure l'expressió de la forma
    $\dfrac{x^2}{\frac{1}{3}}+\dfrac{y^2}{\frac{1}{2}}=24$
I dividint ambdós membres per $24$ trobem l'expressió d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades
    $\dfrac{x^2}{\frac{24}{3}}+\dfrac{y^2}{\frac{24}{2}}=1$
que es pot posar de la forma
    $\dfrac{x^2}{\big(\sqrt{8}\big)^2}+\dfrac{y^2}{\big(\sqrt{12}\big)^2}=1 \quad \quad (1)$

D'acord amb l'expressió genèrica d'una el·lipse centrada a l'origen de coordenades
$\dfrac{x^2}{\square^2}+\dfrac{y^2}{\square^2}=1 \quad \quad (2)$
[ on els símbols quadrats dels denominadors indiquen els valors dels semieixos $a$ - lletra amb què, per conveni, es designa al semieix major - i $b$ - designació del semieix menor ]
i, a partir de la comparació de l'expressió concreta (1) amb aquesta expressió genèrica (2), podem veure que el semieix major $a$ es troba damunt de l'eix d'ordenades i el seu valor és igual a
$a=\sqrt{12}$
i, per altra banda, el valor del semieix menor $b$ és igual a
$b=\sqrt{8}$
i es situa, en aquest cas, damunt de l'eix d'abscisses.

Per tant, els focus de l'el·lipse es situen damunt de l'eix $Oy$
i, atès que aquesta el·lipse és centrada a l'origen de coordenades, les seves coordenades són $F(0,c)$ i $F^{'}(0,-c)$
Tenint en compte que
$a^2=12$ i $b^2=8$, calculem el valor del paràmetre $c$ (vegeu la figura)
$c=\sqrt{a^2-b^2}=2$

Calculem el valor de l'excentricitat:
$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{12}}\approx 0,5774$

Coordenades dels vèrtexs:
$(0,\sqrt{12})$
$(0,-\sqrt{12})$
$(\sqrt{8},0)$
$(-\sqrt{8},0)$

$\square$

[nota del autor]

Averiguar si el número $544990290476$ es divisor de $-8965080454209385959267$. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Esbrineu si el nombre $544990290476$ és divisor de $-8965080454209385959267$

Nota:   Donat el considerable nombre de xifres, us recomano que feu servir algun programa de càlcul, com ara MAXIMA.

Solució:
Donats dos nombres $m$ i $n$, diferents de zero, tals que $\left|m\right| \ge \left| n\right|$, direm que $m$ és múltiple de $n$, si el residu de la divisió $m \div n$ és igual a zero. Si $m$ és múltiple de $n$, és evident que $n$ és divisor de $m$, i ho podem indicar de la forma   $n\,|\, m$ .

Fent ús de MAXIMA, hom disposa de la funció/comanda MOD(< dividend >,< divisor >) per calcular residus. Tal i com ja vaig comentar a l'entrada anterior d'aquest blog, cal recordar el fet que, si el divisor és negatiu, aquest programa fa la divisió per excés, mentre que si és positiu, la fa per per defecte. No obstant això, i cenyint-nos al que es demana a l'enunciat, no cal filar tan prim, atès que tan sols cal mirar si el residu és nul per demostrar que l'un és múltiple de l'altre ( si es donés el cas que $544990290476$ fos divisor de $-8965080454209385959267$ ), altrament, no cal pas donar amb precisió el valor que té (el residu): n'hi haurà prou que sigui diferent de zero per justificar el contrari.

En el cas que ens ocupa, el valor del residu de la divisió $-8965080454209385959267 \div 544990290476$ és igual a $125837920357 \neq 0$
      [ MOD(-8965080454209385959267,544990290476) ]
per tant
      $544990290476 $ no és divisor de $-8965080454209385959267$

$\square$

[nota del autor]

Clases de resto ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Avui, 20/11/2012 és dimarts. Us demanem: a) Quin dia de la setmana serà el 30/11/2012 ? ( No mireu el calendari ), b) Es pot resoldre aquest problema fent una divisió euclidiana (divisió de nombres enters, amb residu enter) ?

Solució:
  a)   De ben segur que la primera pregunta us semblarà molt fàcil de contestar. I sí que l'és de fàcil, certament: si la setmana té $7$ dies i avui, dia $20$, és dimarts, és ben clar que el dia $20+7=27$ serà el dimarts de la setmana vinent i, per tant, el dia $30$ ( $30=27+3$ ) correspondrà a un divendres, atès que és divendres al tercer dia després del dimarts. Aquesta és la resposta: el dia 30 de novembre serà divendres.

  b)   Bé, però - i ara vé l'interessant - quina relació té aquest problema amb la divisió entera (divisió euclidiana) ?. Vegem-ho. Adonem-nos que els dies de la setmana es van repetint de manera cíclica: cada $7$ dies torna a ser el mateix dia de la setmana. Llavors, podem resoldre el problema fent una simple divisió euclidiana: dividint el nombre de dies que passen, des del dia inicial fins al que volem determinar [ del dia 20/11 al dia 30/11/2012, que correspon a 30-20=10 dies ] entre $7$ ( que és la longitud del període del cicle, és a dir, el nombre de dies que té la setmana ).

Interpretarem el valor del quocient com el nombre de grups de set dies que passen; i, el valor del residu, com la posició que ocupa l'últim dia dins de l'últim grup que es dóna en la repetició. Per tant, el valor del residu dóna, directament, la solució: el dia de la setmana corresponent. Fem-ho (i comprovem que el que obtenim coincideix amb la solució que hem trobat pel mètode elemental):

En fer la divisió
    $(30-20) \div 7$
trobarem, lògicament, que
      $r \prec 7$
atès que (teorema de la divisió euclidiana )
$\text{quocient}\big(D \div d\big)=q \;\wedge\; \text{residu}\big(D \div d\big)=r \Leftrightarrow D=d\cdot q + r$
    $\; \text{on}\; 0 \le r \prec \left|d\right| \, \text{i} \, \left|d\right| \le \left|D\right|$
        $d$, el divisor, val $7$, en aquest cas
        $D$, el dividend, val $30-20=10$, en aquest cas


Llavors, els valors que podem obtenir ( del residu ) són
    $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ i $6$
I, adonem-nos que
    si $r=0$, torna a ser un dimarts
    si $r=1$, serà un dimecres
    si $r=2$, serà un dijous
    si $r=3$, serà un divendres
    si $r=4$, serà un dissabte
    si $r=5$, serà un diumenge
    si $r=6$, serà un dilluns
    si $r=7$, tornarà a ser un dimarts
    etcètera

Mirem quant dóna el residu en el cas concret que correspon a les dades del problema:
    $\text{residu}\big((30-20) \div 7\big)=3$
de la qual cosa deduïm que serà un divendres.

Observació:
Quan parlem de quantitats cícliques d'una determinada longitud - com ara 7, en el cas del problema dels dies de la setmana - podem parlar de classes de nombres equivalents, en relació a un determinat reste ( dites també classes de reste ). La longitud del cicle s'anomena mòdul, i tots els nombres que en dividir-los pel valor del mòdul tenen el mateix reste són, des d'aquest punt de vista, equivalents. Parlarem de classes de reste mòdul m. Tot això té molt d'interès en teoria de nombres i en àlgebra.

Així, per exemple, arribem a la solució d'aquest problema concret ("... el dia 30/11 serà divendres"), a partir del fet que
    $\big(3 \equiv 10\big) \; \text{mod} \; 7$
que, de manera literal, podem expressar-ho així
      "10 equival a 3 mòdul 7"

Comentari:
No cal dir que aquesta manera de resoldre el problema és, sens dubte, la manera més eficaç de resoldre'l si el nombre de dies que passen no és un nombre tan petit com $10$, ans un nombre molt més gran, com ara $214$.

$\square$

[nota del autor]

Algoritmo babilónico para calcular una raiz cuadrada. ( Artículo escrito en catalán )

Hi ha diversos algorismes per calcular l'arrel quadrada d'un nombre real positiu; un d'ells, és el conegut com algorisme babilònic. L'algorisme babilònic és especialment interessant perquè es fonamenta en una noció geomètrica senzilla: la longitud del costat d'un quadrat és igual a l'arrel quadrada del valor de l'àrea del quadrat. [ Observació: en aquest article parlarem tan sols del valor positiu de l'arrel quadrada ].

Per exemple, és clar que l'arrel quadrada d'un nombre quadrat, com ara 4 (valor de l'àrea), és igual a 2 (valor de lna longitud del costat), perquè 2·2=4 ('àrea d'un quadrat es calcula multiplicant la longitud del costat per si mateixa).

Si el radicand r no és un nombre quadrat, llavors caldrà imaginar un rectangle l'àrea, de costats a i b, l'àrea del qual sigui igual a r, és a dir, a·b=r. Evidentment, hi ha vàries possibilitats per escollir a i b, això és evident, però no és rellevant com s'escull a i b. Fet això, cal redefinir les dimensions d'aquest rectangle per tal que, conservant l'àrea, s'apropi a un quadrat , de tal manera que les la diferència entre les longituds dels dos costats desiguals sigui més petita; això ho farem de la manera següent:
$a \leftarrow \dfrac{a+b}{2}$
i
$b \leftarrow \dfrac{r}{a}$
Continuarem aquest procés fins que la diferència entre els valors de $a$ i de $b$ sigui tan petit com vulguem, d'acord amb la precisió amb què desitgem fer el càlcul de l'arrel quadrada. Llavors, complirà
$\sqrt{r}\approx a$

Exemple:
Considerem el radical $\sqrt{13}$. Com que $13$ no és un nombre quadrat, cal anar fent el que hem exposat:
--------------------------------------------------------
Iteració número 1: $a =4 \quad \text{i} \quad b=13/4=3,25$
--------------------------------------------------------
Iteració número 2: $a=\dfrac{4+3,25}{2}=3,625 \quad \text{i} \quad b=\dfrac{13}{3,625}\approx 3,5862$
--------------------------------------------------------
Iteració número 3: $a=\dfrac{4+3,25}{2}=3,625 \quad \text{i} \quad b=\dfrac{13}{3,625}\approx 3,5862$
--------------------------------------------------------
Iteració número 4: $a=\dfrac{3,625+3,5862}{2}=3,6056 \quad \text{i} \quad b=\dfrac{13}{3,6056}\approx 3,6055$
--------------------------------------------------------
Iteració número 5: $a=\dfrac{3,6056+3,6055}{2}\approx 3,6056 \quad \text{i} \quad b=\dfrac{13}{3,6056}\approx 3,6056$
(...)

Resultat:
Com podem veure a dalt, les longituds dels dos costats s'igualen a partir de la cinquena iteració, coincidint amb tres xifres decimals exactes pel cap baix; és a dir,
                        $\sqrt{13}\approx 3,6056$

Si desitgem més precisió, caldrà fer els càlculs prenent més xifres significatives; fent, és clar, més interacions.

$\square$

Aquest algorisme es pot implementar fent ús d'un ordinador o bé d'una calculadora programable, escrivint un programa. Hi ha molts llenguatges de programació adequats (C, Java, el llenguatge que incorpora MAXIMA, etcètera; per això, a continuació, donarem un esbós del programa, escrivint-lo en una mena de pseudocodi:

        // Càlcul de $\sqrt{r}$
  COMENÇA
        // entrada de dades
    radicand:=r // entrada del valor del radicand (volem calcular l'arrel quadrada d'aquest nombre)
    a:=a_0; // entrada de la longitud d'un dels costats del rectangle (a_0 < r)     b:=r/a; // longitud d'un dels costats del rectangle
    precisió:=p; // valor més petit de la diferència (en valor absolut) entre a i b
        // càlcul iteratiu
    FES MENTRE abs(a-b)>precisió
        a:=(a+b)/2;
        b:=r/a;
    FI DE FES
        // sortida
    ESCRIU "arrel de r=",a
  ACABA

$\square$

[nota del autor]

Cálculo del máximo común divisor mediante el algoritmo de las diferencias. ( Artículo escrito en catalán )

    Una manera molt natural de calcular el màxim comú divisor de dos nombres naturals a i b consisteix a prendre al més petit de tots dos com a quantia patró i mirar si comprèn exactament al més gran; si això és així, el màxim comú divisor és igual al més petit de tots dos i, en cas contrari, cal iterar aquest operació de resta, canviant el minuend pel resultat i mantenint el subtrahend si aquesta diferència dóna un nombre més gran que aquest (altrament, cal intercanviar el minuend pel subtrahend). Això es repeteix fins obtenir una diferència igual a zero. Llavors, lògicament, el màxim comú divisor de tots dos nombres ( a i b ) és igual al valor del minuend (que és igual al nou subtrahend). Escriurem aquest algorisme d'una forma més polida:

procediment mcd_diferencies(a,b);
comença
  defineix m:enter; // variable auxiliar
    fes
        {
          si a < b llavors 
             {m:=a, a:=b; b:=m}
          a:=a-b;
        }
    mentre |a-b|> 0
  escriu "mcd(a,b)=",a;
acaba.

Exemple:
    Calculeum el màxim comú divisor dels nombres naturals 15 i 12 fent ús de l'algorisme de les diferències:
------------------------
pas número 1:
    $a=15$ i $b=12$     (a és més gran que b )
per tant fem
    $a \leftarrow 15-12$     (a=3, b=12)
i com que |a-b| > 0, continuem
------------------------
pas número 2:
    $a=3$ i $b=12$     ( a és més petit que b )
per tant fem
    $m \leftarrow 3$, $a \leftarrow 12$, $b \leftarrow 3$
    $a \leftarrow 12-3$     (a=9, b=12)
i com que |a-b| > 0, continuem
------------------------
pas número 3:
    $a=9$ i $b=12$     ( a és més petit que b)
per tant fem
    $m \leftarrow 9$, $a \leftarrow 12$, $b \leftarrow 9$
    $a \leftarrow 12-9$     (a=3, b=9)
i com que |a-b| > 0, continuem
------------------------
pas número 4:
    $a=3$ i $b=9$     ( a és més petit que b)
per tant fem
    $m \leftarrow 3$, $a \leftarrow 9$, $b \leftarrow 3$
    $a \leftarrow 9-3$     (a=6, b=3)
i com que |a-b| > 0, continuem
------------------------
pas número 5:
    $a=6$ i $b=3$     ( a és més gran que b)
per tant fem
    $a \leftarrow 6-3$     (a=3, b=3)
i com que |a-b| = 0, concloem que mcd(15,12) = 3 i acabem.
$\square$

Observació:     Aquí s'ha implementat l'algorisme a mà perquè els nombres de l'exemple són petits. Si els nombres fossin més grans convindria fer ús d'algun llenguatge de programació per poder implementar de manera automàtica l'algorisme en un ordinador o en una calculadora programable. Suggereixo MAXIMA.

[nota del autor]