Los primos de Marsenne. ( Artículo escrito en catalán )

A la pàgina web del projecte Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) es pot llegir en un rètol de capçalera
            $2^p-1$ may be prime
que resumeix l'objectiu del projecte: trobar nombres primers de Marsenne com més grans millor. Aquest projecte és obert a la col·laboració de tothom, tan a la dels matemàtics professionals com a la dels matemàtics aficionats i persones que vulguin participar. Hom pot fer ús d'aquest programa que permet fer els càlculs. Hi ha, a més, premis monetaris per a qui trobi nous nombres de Marsenne primers.

El nombres naturals de Marsenne són nombres del tipus $2^n-1$ on ( $n$ és un nombre natural ); d'aquests, alguns són primers. S'ha demostrat que els nombres naturals de Marsenne $M_n$ només poden ser primers si $n$ ( l'exponent de la potència de base $2$ de l'expressió ) és un nombre primer. Per això, per designar els nombres de Marsenne primers s'escriu $2^p-1$. És important, però, aclarir que pas no tots els nombres de Marsenne del tipus $2^p-1$ ( on $p$ és primer ) són primers. És a dir, no tots els nombres construïts de la forma $2^p-1$ ( on $p$ és primer ) són nombres de Marsenne primers. Vet aquí la dificultat de trobar nombres de Marsenne primers cada vegada més grans.

Fa pocs dies (25/01/2013) que s'ha aconseguit un nou rècord: un nombre primer de $17\,425\,170$ xifres; és el 48è nombre de Marsenne primer, que es designa $M_{48}$. L'ha trobat el matemàtic Curtis Cooper . Podeu veure les xifres d'aquest nombre primer tan gran aquí. Ja sabeu que els nombres primers són molt important en teoria de nombres. Per altra banda, obtenir nombres primers tan grans com sigui possible és també molt important per raons pràctiques, per exemple, per poder garantir la seguretat dels sistemes criptogràfics actuals.

[nota del autor]

La función parte entera de un número real usando MAXIMA. ( Artículo escrito en catalán )

La funció part entera d'un nombre real
$[x]:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}$
dóna el nombre enter més petit i més proper a $x$

Exemples:
$[3'7]=3$
$[-1'1]=-2$
$[-1'9]=-2$
$[0'1]=0$
$[0'6]=0$

Cal fer servir la funció floor en la major part del programari matemàtic, com ara MAXIMA.

També es pot fer servir la instrucció entier (hom recorda millor la seva sintaxi); per exemple, fent:
        (%i1) entier(-2.1);
MAXIMA respon:
        (%io1) -3

[nota del autor]

Extracción de común denominador en una suma de fracciones algebraicas ( ejemplos de uso de MAXIMA ). (Artículo escrito en catalán )

Exemple 1
Extracció de denominador comú:

Considerem la suma de raccions algèbriques
$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x^2-1}$

Si volem expressar-la com una sola fracció farem
        (%i1) ratsimp(1/(x+1)+1/(x^2-1));

i MAXIMA respon

        (%o1) ${{x} \over{x^2-1} }$

Exemple 2
Desenvolupant una expressió trigonomètrica:

Considerem la raó suma de dos angles
$\sin{(x+y)}$

Si volem desenvolupar-la (obtindrem l'expressió de la identitat coneguda) farem
        (%i2) trigexpand(sin(x+y);

i MAXIMA respon

        (%o2) $\cos x\,\sin y+\sin x\,\cos y$

I, viceversa, si volem compactar l'expressió, escriurem
        (%i3) trigreduce(%o2);

i obtindrem

        (%o3) $\cos{(x+y)}$

[nota del autor]

Resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales con MAXIMA. ( Artículo escrito en catalán ).

MAXIMA permet trobar la solució d'equacions logarítmiques i exponencials fent ús de la instrucció solve, tal i com ja fèiem amb les equacions algebraiques. Ara que esteu estudiant les equacions transcendents, és interessant que en feu ús, per exemple, per comprovar si el resultat que heu obtingut amb llapis i paper és correcte. A continuació us mostro uns quants exemples.

Exemple 1:

Volem resoldre l'equació $\ln{(2+x)}=3$ fent ús de MAXIMA:
Teclegem:
          (%i1) solve(log(2+x)=3,x);
I MAXIMA respon:
          (%o1) [x=%e^3-2]
és a dir,
$x=e^3-2$

Exemple 2:

Equació $2^x=5$
Teclegem:
          (%i2) solve(2^x=5,x);
I MAXIMA respon:
          (%o2)
                    $\left[ x={{\log 5}\over{\log 2}} \right]$
és a dir,
$x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$
Recordem que per visualitzar l'expressió decimal aproximada (amb la precisió estàdard de 16 x.s.) caldrà fer ús de la instrucció
          (%i3) %o2,numer;
i obtindrem
          (%o3) 2.321928094887362

Exemple 3:

Equació $7^{x^2+1}=1$
Teclegem:
          (%i4) solve(7^(x^2+1)=1,x);
I MAXIMA respon:
          (%o4) $\left[ x=-i , x=i \right]$
és a dir,
$x=\pm \, i \in \mathbb{C}$
Com es pot observar, en aquest cas, trobem la solució
en el conjunt dels nombres complexos.
$\square$

[nota del autor]

Polinomios. Raíces de un polinomio. ( Artículo escrito en catalán ).

Exemple       Considerem el polinomi A(x) = 2x⁶-5x⁴+4x²-1, esbrineu si -1 és una arrel del polinomi.

Primer de tot, cal recordar que una arrel (o zero) d'un polinomi (de variable x) és tot valor de la variable que anul·la el polinomi, és a dir, quan substituïm en l'expressió del polinomi el símbol "x" pel valor considerat, el resultat és igual a zero. Ara, però, us demano que esbrineu si el nombre proposat és una arrel, sense fer, però, el que és més natural (la substitució) sinó que ho feu fent ús del teorema del residu. [Comentari. No penseu pas que això és un caprici, ben al contrari, quan es tracta de cercar arrels dins d'un conjunt de possibles nombres racionals, el que ara veureu és força eficaç, perquè quan trobem una arrel, també determinarem els coeficients del polinomi quocient, el qual, a la vegada, es pot intentar factoritzar, i així, successivament, fins arribar a un polinomi primer ]. Per això, caldrà fer la divisió, la qual es pot fer fent ús de l'algorisme general de la divisió o bé fent servir l'algorisme de Ruffini, que és vàlid per aquest tipus de divisions (el divisor és un polinomi de grau u del tipus "x-a"). Vegeu el resultat de la divisió a sota:     | 2 0 -5 0 4 0 -1 -1 | -2 2 3 -3 -1 1 -------------------------------------     | 2 -2 -3 3 1 -1 0 Observem que el reste de la divisió és igual a zero, per tant, aquest és el valor del polinomi A(x=-1) i, doncs, x=-1 és una arrel de A(x). Comentari. Per altra banda, i posant en pràctica el que s'ha dit en el primer comentari, com que ja s'ha fet la divisió, coneixem també els coeficients del polinomi quocient, per tant, podem aprofitar per fer un primer pas de factorització del polinomi donat:             2x6-5x4+4x2-1 =(2x5-2x4-3x3+3x2+x-1)(x-(-1))

Descomposición de una fracción algebraica impropia como suma de un polinomio y una fracción algebraica propia. ( Artículo escrito en catalán ).

ENUNCIADO.
Expresar la siguiente fracción algebraica impropia como suma de un polinomio y una fracción algebraica propia
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}$

SOLUCIÓN.
Realizando la división $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
encontramos que el polinomio cociente es $x$, y que el polinomio resto és $2\,x+1$
con lo cual, por el teorema de la división de polinomios, podemos escribir:
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
$\square$

Ejercicio de descomposición de una fracción algebraica en suma de fracciones algebraicas simples

ENUNCIADO
Descomponer en suma de fraccions
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)} \quad \quad \text{on} \; a,b \in \mathbb{R} \; \text{siendo}\; a \neq b$

SOLUCIÓN.
Es necesario determinar el valor de los coeficientes $m,n \in \mathbb{R}$ tales que
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduciendo a común denominador la expresión del segundo miembro de la igualdad, vemos que
    $\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
con lo cual
    $\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
esto es
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
e igualando los coeficientes de los términos del mismo grado de sendos miembros de la igualdad, se llega al siguiente sistema de ecuaciones
    $\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
y, resolviéndolo, obtenemos
    $m=\dfrac{1}{b-a}$
y
    $n=\dfrac{1}{a-b}$
Con lo cual podremos escribir:
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{1}{b-a}\,\dfrac{1}{x+a}+\dfrac{1}{a-b}\,\dfrac{1}{x+b}$
$\square$