Ejercicio de demostración de la veracidad de una identidad trigonométrica propuesta

Resolución de un triángulo general, calculando los ángulos a partir de las longitudes de los tres lados

Aplicación de la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo, conocidas las longitudes de sus tres lados

Ejemplo de resolución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Ejemplo de resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible

Un ejemplo de resolución de ecuaciones cuyos términos son fracciones algebraicas

Un ejemplo de factorización de polinomios.

Sobre el comportamiento de diversas sucesiones

Para que una sucesión tenga límite, esto es, para que converja, tiene que estar acotada; quiere decir ésto que ha de exisitir un número real $k$ tal que para todo valor del índice de la sucesión, $n$, se cumpla que $a_n \le k$, si es globalmente creciente; o bien, $a_n \ge k$, en caso de ser globalmente decreciente.

Aclaro por qué digo eso de 'globalmente': Una sucesión puede presentar un comportamiento creciente para, luego decrecer, o viceversa; sin embargo, contemplando la sucesión para valores lo suficientemente grandes de $n$, es posible que acabe creciendo o decreciendo; o incluso, que acabe oscilando entre dos o más valores, en cuyo caso, no podemos decir que converja a ninguno de ellos; por ese motivo, decimos que el valor del límite, si existe, ha de ser único.

La sucesión $a_n=-\dfrac{2}{n^2}$ es creciente y acotada pues $a_n \le 0$ ( en este caso, $k=0$ ), y el límite de la sucesión, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\,a_n=0$.

Como ya se ha avanzado en el segundo párrafo, puede darse el caso de que una sucesión no sea monótona; y, aunque esté acotada, el límite puede no existir, por ejemplo, tal es el caso de $b_n=(-1)^{n}\,\dfrac{n}{n+4}$, pues al pasar al límite ( al hacer $n \rightarrow \infty$ ) nos encontramos con que la sucesión oscila entre $-1$ y $1$, dependiendo de que $n$ sea par o bien impar; y, ante esta diatriba, diremos que el límite no existe.

Lo mismo ocurre con $d_n=5-\dfrac{1}{n^3}$, que es monótona decreciente ( decrece para valores consecutivos de $n$ ) y está acotada por $k=5$, esto es, $d_n \le 5$ para todo valor de $n$. El límite existe, y su valor es $5$, tal como, podemos comprobar al confeccionar una tabla de valores avanzados para los términos de la sucesión, y que, ciertamente, encontramos al pasar directamente al límite ( sustituyendo $n$ por $\infty$ ).

Si una sucesión monótona creciente no está acotada, decimos que diverge, y al pasar al límite encontraremos como resultado $+\infty$; si una sucesión monótona decreciente no está acotada es, también, divergente, y al pasar al límite nos econtraremos con $-\infty$.

No existe el límite de la sucesión $c_n=(-1)^{n}\,n^2$, por partida doble, pues además que no está acotada, tiende a $+\infty$ o a $-\infty$ según sea $n$ par o impar. $\square$

Ecuaciones trascendentes de tipo trigonométrico

Ecuaciones con términos exponenciales

Cálculos con radicales

El teorema de Ptolomeo y la razón áurea