Jugando al dominó con probabilidades

ENUNCIADO. Considérese un juego de dominó [ 28 fichas, cada una de las cuales tiene un par de números, del $0$ al $7$, iguales o distintos ]. Un jugador elige $7$ fichas al azar, y la vez. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que entre las siete fichas haya exactamente cinco que tengan un '3' ?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de obtener exactamente cinco fichas con un mismo número ?

SOLUCIÓN.
Las $28$ fichas tienen la misma probabilidad de ser elegidas; utilizaremos, pues, la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio para calcular el número de casos favorables y el número de casos posibles.

a) Denotemos por $A_3$ al suceso pedido, entonces $$P(A_3)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A_3)}{N}$$ El número de casos en total, esto es el número de maneras de elegir un conjunto
de $7$ fichas a la vez de un total de $28$, $N$, es igual a $\binom{28}{7}=1\,184\,040$

Vamos a calcular ahora el número de casos favorables $N(A_3)$. Como hay $\binom{7}{5}$ maneras de elegir $5$ fichas que tengan un '3' ( ya que hay $7$ fichas que tengan un '3' ) y, por tanto, $\binom{28-7}{2}$ maneras de elegir las dos fichas restantes ( al haber $28-7$ fichas que no tengan el '3' ), llegamos a, por el principio multiplicativo, $$N(A_3)=\dfrac{\binom{7}{5}\cdot \binom{28-7}{7-5}}{\binom{28}{7}}=\dfrac{4\,410}{1\,184\,040}=\dfrac{49}{13\,156}\approx 0,0037$$

OBSERVACIÓN. La expresión obtenida corresponde a la probabilidad del modelo llamado hipergeométrico

b)
Ahora nos interesamos no sólo por que salga un '3', sino también por que salga también cualquiera de los otros seis números. Podemos repetir lo que acabamos de hacer para calcular la probabilidad de que entre las siete fichas haya exactamente cinco que tengan cualquiera de los otros seis números, por lo que resulta evidente que $P(A_0)=P(A_1)=\ldots=P(A_6)=\dfrac{49}{13\,156}$, luego la probabilidad pedida en este segundo apartado es $P(A_0 \cup \ldots \cup A_6)$, y siendo dichos sucesos incompatibles (1), resulta ser igual a $P(A_0)+\ldots+P(A_6)=7\cdot P(A_3)$ esto es $$7\cdot \dfrac{49}{13\,156}=\dfrac{343}{13\,156}\approx 0,0261$$

ACLARACIÓN 1: Para pensar con claridad, tengamos en cuenta que las $28$ fichas son las siguientes

06 
05  16
04  15  26
03  14  25  36
02  13  24  35  46  
01  12  23  34  45  56
00  11  22  33  44  55 66

Así que no es posible que los sucesos $A_i$ y $A_j$ ( donde $i$ y $j$ toman valores en $\{0,1,2,\ldots,6\}$ ) sean compatibles, ya que, por ejemplo, si $(i,j)=(3,4)$, fijado $i=3$ hay otras $6$ fichas que contienen el '3': $(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6)$ ; y, fijado $j=4$, hay otras $6$ fichas que contienen el '4': $(0,4),(1,4),(1,4),(4,4),(5,4),(6,4)$. Si pensamos en la posibilidad de tener cinco fichas con el '3' y con el '4', vemos que es imposible, habida cuenta que sólo disponemos de $7$ fichas, y sólo una, la $(3,4)$ contiene el '3' y el '4'. Lo mismo ocurre con los otros pares de números. Así que $A_i \cap A_j = \emptyset$, luego $P(A_i \cap A_j)=0$ para todo $i$ y todo $j$ ( con $i \neq j$ ) en $\{0,1,2,\ldots,6\}$, esto es, los sucesos $A_i$ y $A_j$ con $i \neq j$ son incompatibles.


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Repartiendo cartas

ENUNCIADO. Consideremos una baraja española. Se dan seis cartas a un jugador. ¿ Cuál es la probabilidad de que las seis cartas sean del mismo palo ?.

SOLUCIÓN. Todas las cartas tienen la misma probabilidad de ser elegidas, por lo que podemos aplicar la regla de Laplace. Emplearemos el método combinatorio.

Denotemos por $A$, el suceso "obtener seis cartas de alguno de los cuatro palos". Procedemos a calcular el número de casos favorables $N(A)$ a dicho suceso, así como el número total de maneras de elegir seis cartas, $N$, de entre las $40$ cartas que tiene la baraja.

El número de maneras de elegir seis cartas del primer palo, o del segundo, o del tercero, o bien del cuarto palo, podemos calcularlo de la siguiente forma: Como hay $\binom{4}{1}$ maneras de elegir un determinado palo y $\binom{10}{6}$ maneras de elegir seis cartas de uno de dichos cuatro palos, entonces $N(A)=\binom{4}{1}\cdot \binom{10}{6}=840$ casos favorables a dicho suceso. Por otra parte, el número total, $N$, de maneras de dar seis cartas es $\binom{40}{6}=3\,838\,380$

Entonces, por la regla de Laplace, $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{840}{3\,838\,380} \approx 0,00022 = 0,022\,\%$$

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Derivada de una suma de funciones

Función derivada de una suma de funciones derivables

Consideremos la función $\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)$. De la definición de derivada $\displaystyle y'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ podemos escribir $\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta (g(x)+h(x))}{\Delta x}$ y, por la propiedad aditiva del límit, queda
$\displaystyle f'_{x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta h(x)}{\Delta x}$
es decir
$\displaystyle f'(x)=g'(x)+h'(x)$

Ejemplo:
Dada la función $f(x)=x^3+x^2$, su derivada es $\big(x^3\big)^{'}+\big(x^2\big)^{'}=3\,x^2+2\,x$

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Derivada de un término potencial

Derivada de un término polinómico

Sea la función $f(x)=x^n$ donde $n$ representa un número natural. Nos proponemos encontrar la regla de derivación, esto es, la estructura de la función derivada.
De la definición de derivada de una función, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$ podemos escribir $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^n}{\Delta x}$$ y, por el desarrollo de la potencia de un binomio, $$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x^n+C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n})-x^n}{\Delta x}$$ Simplificando,
$$\displaystyle\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{C_{n,1}x^{n-1}\Delta x+...+C_{n,n-1}x \Delta x^{n-1}+\Delta x^{n}}{\Delta x}$$ Finalmente, para resolver la indeterminación de tipo $\displaystyle\frac{0}{0}$ con la que nos encontramos, extraemos factor común de $\Delta x$ y volvemos a pasar al límite, con lo cual encontramos el siguiente resultado $$\displaystyle C_{n,1}x^{n-1}$$ que es igual a $$n\,x^{n-1}$$ es decir, $$f^{'}(x)=n\,x^{n-1}$$

Ejemplo 1:
Dada la función $f(x)=x^3$, su derivada es $f^{'}(x)=3\,x^2$

Derivada de un término potencial, con exponente ( en general ) real

Se demuestra -- puede hacerse con ayuda de los logaritmos -- que la regla de derivación anterior se extiende a exponentes reales; es decir, si $$f(x)=x^p$$ donde $k \in \mathbb{R}$, entonces $$f^{'}(x)=k\,x^{k-1}$$

Ejemplo 2:
Dada la función $f(x)=\sqrt{x}$, podemos derivarla mediante dicha regla. Para ello, reescribimos la función de la forma equivalente $$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$$; así que, siendo $k=1/2$, su derivada es igual a $f^{'}(x)=\frac{1}{2} \, x^{-\frac{1}{2}}$

Ejemplo 3:
Dada la función racional $f(x)=\frac{1}{x}$, podemos derivarla mediante esa misma regla si expresamos previamente la función a derivar como $f(x)=x^{-1}$; entonces,
como $k=-1$, su derivada es $$f^{'}(x)=-x^{-2}$$ que podemos expresar de forma equivalente así $$f^{'}(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$$

Ejemplo 4:
Dada la función $$f(x)=x^{\pi}$$ la f. derivada es $$f^{'}(x)=\pi \, \cdot \, x^{\pi-1}$$

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Regla de derivación de la función $f(x)=e^x$

Sea la función $f:\,\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ definida de la forma $$f(x)=e^x$$
donde $e$ representa el número trascendente $2,71828 \ldots$, base de los logaritmos neperianos ( o naturales )

Nos proponemos encontrar la regla de derivación de esta función, es decir, la estructura algebraica de la función derivada de la función dada.

De la definición de función derivada, $$\displaystyle \big(e^x\big)^{'}=\lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\,\dfrac{e^{x+\Delta \, x}-e^x}{\Delta\,x}$$
que podemos escribir de la forma$$\displaystyle \big(e^x\big)^{'}= e^{x} \cdot \lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^{\Delta \,x}-1}{\Delta\,x}$$
Es sencillo comprobar - mediante la elaboración de una tabla numérica - que $$\displaystyle \lim_{\Delta \, x \rightarrow 0}\, \dfrac{e^{\Delta \, x}-1}{\Delta\,x}=1$$

luego deducimos $$\big(e^x\big)^{'}=e^x$$

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Sentando chicos y chicas en una fila de butacas

ENUNCIADO. Cuatro chicos y cuatro chicas se quieren sentar en ocho butacas dispuestas en fila y numeradas. Se pide:
a) ¿ Cuántas ordenaciones son posibles ?
b) Antes de sentarse, sortean las butacas entre las ocho personas. ¿ Cuál es la probabilidad de que todas las chicas tengan al lado un chico ?.
c) Generalizar el resultado anterior para un $n/2$ chicos y $n/2$ chicas, siendo $n$ un número par

SOLUCIÓN.
a)
Como importa el orden, el número de ordenaciones posibles es $V_{8,8}=8!=40\,320$

b)
El espacio muestral $\Omega$ está formado por $8!$ sucesos, que son las ordenaciones posibles. Cada una de ellas tiene la misma probabilidad de ser elegida, luego podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida.

Denotemos por $A$ al suceso "todas las chicas tienen al lado un chico", entonces $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N} \quad \quad (1)$$ siendo $N=8!=40320$ ya que es el cardinal de $\Omega$.

Vamos ahora a calcular el número de casos favorables $N(A)$. Para ello emplearemos el método constructivo de recuento y el principio multiplicativo del recuento. Por tanto podemos anotar $$N(A)=8\cdot 4 \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square$$ La primera butaca puede ser ocupada por cualquiera de las ocho personas, ya sea chico o bien chica, luego hay $8$ posibilidades de elección para dicho sitio. Así que la segunda butaca ha de estar ocupada por alguna de las cuatro chicas, luego hay $4$ posibilidades de elección para la misma.

Para elegir la ocupación de la tercera butaca, debemos escoger entre los tres chicos restantes, así que tenemos $3$ posibilidades; y, como la cuarta butaca, ha de estar ocupada por una chica, podemos elegirla entre las tres chicas restantes. Por tanto podemos escribir: $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \square \cdot \square \cdot \square \cdot \square $$

Así, la quinta butaca ha de estar ocupada por un chico, y éste puede elegirse entre los dos chicos que aún no están sentados. La sexta butaca tendrá que estar ocupada por una chica, y como sólo faltan dos chicas por sentarse, podemos escribir $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \square \cdot \square$$

La sexta butaca deberá estar ocupada por un chico y la octava por una chica. Como sólo faltan por elegir un chico y una chica, llegamos finalmente a $$N(A)=8\cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1=1152$$

Por consiguiente, de (1), podemos calcular ya la probabilidad pedida $$P(A)=\dfrac{1152}{40320} \approx 0,029$$

c)
Observando la regularidad que aparece en el cálculo de $N(A)$, al calcular esta cantidad para $n=2,4,6,8,\ldots$, podemos generalizar el resultado de la forma $$N(A)=n\cdot \dfrac{n}{2}\cdot \left( (\dfrac{n}{2}-1)^2 \cdot (\dfrac{n}{2}-2)^2 \cdot \overset{\underbrace{n-1}}{\ldots} \cdot 2^2\cdot 1\right)$$ Por otra parte $N=V_{n,n}=n!$, con lo cual $$P(A)=\dfrac{n\cdot \frac{n}{2}\cdot \left( (\frac{n}{2}-1)^2 \cdot (\frac{n}{2}-2)^2 \cdot \overset{\underbrace{n-1}}{\ldots} \cdot 2^2\cdot 1\right)}{n!}$$ que, simplificando, también podemos expresar de la forma $$P(A)=\dfrac{\left(n\cdot (\frac{n}{2}-1)!\right)^2}{2 \cdot n!}$$

NOTA. Calculando la probabilidad para valores de $n$ crecientes, podremos observar lo que de antemano podemos esperar: a medida que $n$ crece, $P(A)$ irá decreciendo.

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Recuentos

ENUNCIADO. ¿ Cuántos múltiplos de $5$ hay entre $11$ y $63$ ?

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1. Una manera sencilla de hacer el recuento -- descartamos, por supuesto, el proceso tedioso de escribirlos uno a uno y contar aditivamente todos y cada uno de los múltiplos pertinentes --, consiste en encontrar el menor y el mayor de dichos múltiplos de $5$; el menor es, obviamente, $15$; y, el mayor, claramente, $60$. Entonces, teniendo en cuenta que los múltiplos consecutivos de $5$ se obtienen sumando $5$ unidades al precedente, deducimos que dicho número de múltiplos de $5$ comprendidos entre $11$ y $63$ es igual a $\dfrac{60-5}{5}+1$, esto es, $10$. El lector se preguntará: ¿ Por qué le sumamos uno ? Pues por la misma razón que el número de postes necesarios para que queden $n$ espacios entre ellos, es $n+1$.

Procedimiento 2. Llamemos a este procedimiento procedimiento interesante, pues el anterior ya lo venimos aplicando, desde hace tiempo, en otros cursos más básicos. Si podemos establecer una aplicación uno a uno ( biyección ) entre el conjunto de los números naturales consecutivos, hasta un cierto número, y el conjunto de los sucesivos múltiplos de $5$, mayores que $11$ y menores que $63$, el cardinal del conjunto de partida habrá de ser igual al del conjunto de llegada, con lo cual, tendremos listo el recuento. Como enseguida vamos a ver, en el caso que nos ocupa sí es posible establecer dicha aplicación uno a uno. En otros casos, sin embargo, puede que no lo sea.

Veamos dicha aplicación uno a uno. Como todo número natural multiplicado por $5$ es un múltiplo de $5$, podemos bosquejar una expresión que 'fabrique' múltiplos de $5$; ésta que sigue, como idea primaria, vale $5\cdot \diamond $, donde $\diamond$ designa un número natural arbitrario; ahora bien, no hemos terminado; debemos conseguir expresar el conjunto de los números múltiplos de $5$ consecutivos, y para ello necesitamos una variable independiente. Demos pues un pasito más; esa variable independiente, a la que denotaremos por $i$, ha de protagonizar el recuento, por tanto es necesario que $i\in \{1,2,3,\ldots\}$. Así, podemos ir perfilando la siguiente expresión en función de $i$: $5\cdot ( \lozenge + i )$ ( donde $\lozenge$ denota un número natural arbitrario; y, ajustando el primer sumando del paréntesis para que, siendo $i=1$, el valor de la expresión sea lo más próximo a $15$ ( que es el primer múltiplo ), vemos que el valor que debe tomar el parámetro $\lozenge$ es $2$; y, así, llegamos a la siguiente función $f(i)= 5\cdot (i+2)$ para $i=1,2,3,\ldots$, cuyos valores son los sucesivos múltiplos de $5$. Si $i=1$, $f(1)=15$, que es el primer múltiplo de $5$ que nos interesa. Por otra parte, encontramos que si $i=10$, $f(10)=60$ que es el mayor múltiplo de $5$ menor que $63$, luego el número de dichos múltiplos es $i=10$

A modo de ejemplo, apliquemos ahora este procedimiento a otro problema similar: ¿ Cuántos múltiplos de $11$ hay entre $13$ y $123$ ?. Vamos a ello. Queremos establecer una aplicación biyectiva entre los conjuntos $\{1,2,3,\ldots,i_{\text{máximo}}\}$ y $\{22,33,44,\ldots,121\}$, que deberá ser de la forma $f(i)=11\cdot ( a+i)$, para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$ y donde $a$ es número entero que, en su papel de parámetro, debemos determinar. Lo hacemos de la siguiente manera. Como para $i=1$, $f(1)=22$ ( el primer múltiplo ), tenemos la siguiente igualdad $22=11\cdot (a+1)$, de donde encontramos $a=1$. Entonces la función que buscábamos es $f(i)=11\cdot (1+i)$ para $i=1,2,3,\ldots,,i_{\text{máximo}}$. Ahora es inmediato ver que el mayor múltiplo de $11$ comprendido entre $13$ y $123$ es $122$, que corresponde a $f(10)$, luego como $i_{\text{máximo}}=10$, el número de múltiplos pedido es $10$
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