Un ejercicio de derivación entretenido

Derívese la función $y=x^{x^{x}}$

  $y=x^{x^{x}}$
    $\ln(y)=\ln\left(x^{x^{x}}\right)$
      $\ln(y)=x^x\,\ln(x)$
        $(\ln(y))'_x=(x^x\,\ln(x))'$
          $(\ln(y))'_y\cdot y'=(x^x\,\ln(x))'$
            $\dfrac{1}{y}\,y'=(x^x\,\ln(x))'$
              $\dfrac{1}{y}\,y'=(x^x)'\,\ln(x)+x^x\,(\ln(x))'$
En esta otra entrada del blog he calculado la derivada de $x^x$, que es igual a $(x^x)'=x^x\,(1+\ln(x))$; por otra parte, $(\ln(x))'=\dfrac{1}{x}$, con lo cual, la línea anterior queda:
              $\dfrac{1}{y}\,y'=x^x\,(1+\ln(x))\cdot\ln(x)+x^x\cdot \dfrac{1}{x}$
                $\dfrac{1}{y}\,y'=x^x\,\left((1+\ln(x))\cdot\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)$
                  $y'=x^{x^{x}}\cdot x^x\cdot \left((1+\ln(x))\cdot\ln(x)+\dfrac{1}{x}\right)$
                    $\displaystyle y'=x^{x^x+x}\cdot \dfrac{1}{x}\cdot \left(x\cdot \left(1+\ln(x)\right)\cdot\ln(x)+1\right)$
                      $\displaystyle y'=x^{x^x+x}\cdot x^{-1}\cdot \left(x\,\left(1+\ln(x)\right)\cdot\ln(x)+1\right)$
                        $\displaystyle y'=x^{x^x+x-1}\cdot \left(x\,\ln(x)+x\,\ln(x)\cdot \ln(x)+1\right)$
                          $\displaystyle y'=x^{x^x+x-1}\cdot \left(\ln(x^x)+\ln(x)\cdot \ln(x^x)+1\right)$
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Derivada de $k^x$, siendo $0\lt k\neq e$

Derívese la función $f(x)=k^x$

En primer lugar, hagamos algunos arreglos, que, como vamos a ver enseguida, son convenientes para poder utilizar la regla de derivación adecuada:
  $f(x)=k^x=(e^{\ln(k)})^x=e^{x\,\ln(k)}$
De ahí, por las reglas de derivación de la función exponencial e base $e$ y de la cadena (derivada de una función compuesta): Dada $f(x)=e^{u(x)}$, su función derivada es $f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)$; como $u(x)=x\,\ln(k)$, tendremos pues que
    $f'(x)=(x\,\ln(k))'\cdot e^{x\,\ln(k)}=\ln(k)\cdot e^{x\,\ln(k)}=\ln(k)\cdot k^x$
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Un ejemplo de derivación de una función compuesta

Se pide calcular la derivada de la función $\displaystyle f(x)=e^{\sin(x^3+\cos(x))}$

Denotemos $v(x)=x^3+\cos(x)$ y $u(v)=\sin(v)$, esclareciendo así la siguiente función compuesta: $f(x)=e^{u(v(x))}$

Por tanto, por la regla de la cadena se tiene que $\displaystyle f'_x=f'_u\,u'_v\,v'_x \quad (1)$, y siendo $f'_u=e^u$, $u'_v=\cos(v)$ y $v'_x=3x^2-\sin(x)$, aplicando $(1)$, se llega a $f'(x)=e^{\sin(x^3+\cos(x))}\cdot \cos(x^3-\sin(x))\cdot (3x^2-\sin(x))$

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Un ejemplo de resolución de una ecuación polinómica en el conjunto de los números complejos

En este ejercicio voy a obtener los números reales y complejos que satisfacen la igualdad $x^5+x=0$, recurriendo a las propiedades básicas del álgebra.

  $x^5-x=0$
    $x\,(x^4-1)=0$
      $x\,((x^2)^2-1^2)=0$
        $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0$ , por la identidad $a^2+b^2=(a+b)(a-b)$
Entonces,
  $x\,(x^2+1)(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\,1 \\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,i \end{matrix} \right.$ Luego el conjunto pedido es $\{-1,0,1,-i,i\}$

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Ejemplo de un polinomio con raíces complejas

En este ejercicio voy a encontrar las raíces rales y complejas del polinomio $x^3+8$.

Recordemos que, por el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado $n$ (n. natural) con coeficientes reales tiene $n$ raíces, las cuales pueden ser reales o bien complejas. Por otra parte, una raíz de un polinomio es todo número que lo anula, luego parto de dicha condición:
  $x^3+8=0$
    $x^3+2^3=0$
      $(x+2)(x^2-2\,x+2^2=0$, por la identidad $(a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
        Entonces, $(x+2)(x^2-2\,x+2^2=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+2=0 & \quad (1)\\ x^2-2\,x+4=0 & \quad (2)\end{matrix} \right.$ De $(1)$ se obtiene una primera raíz: $x=-2$, y de $(2)$ se tiene que $x^2-2x+4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}$
  $=\dfrac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}=\dfrac{2 \pm 2\,\sqrt{-3}}{2}=1\pm \sqrt{-3}= 1 \pm \sqrt{3\cdot (-1)}=1 \pm \sqrt{3}\cdot\sqrt{-1}=1\pm \sqrt{3}\,i$
Así pues, las raíces del polinomio pedido son: $r_1=-2 \in \mathbb{R}$, $r_2=1-\sqrt{3}\,i \in \mathbb{C}$ y $r_3=1+\sqrt{3}\,i \in \mathbb{C}$

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Una ecuación polinómica de tercer grado. Soluciones reales y complejas

En este ejercicio voy a resolver la ecuación $x^3+x^2+x+1=0$, en el conjunto de los números complejos.

Para ello, opto por factorizar, paso a paso, la expresión del primer miembro, recurriendo simplemente a las propiedades algebraicas elementales:
  $x^3+x^2+x+1=0$
    $x\cdot x^2+x^2+x+1=0$
      $x^2\,(x+1)+x+1=0$
        $x^2\,(x+1)+(x+1)=0$
          $(x+1)\,(x^2+1)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\\ x^2+1=0 \Leftrightarrow x^2=-1 \Leftrightarrow x=\pm\,\sqrt{-1}=\pm\,i\end{matrix}\right.$
Así pues, la solución viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-1,-i,i\}$

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Un problema sobre movimientos circulares uniformes

Dos cochecitos de juguete recorren un circuito circular, en sentidos opuestos, cada uno en el respectivo carril. El radio del circuito mide $4\,\text{m}$. Uno de ellos, $A$, se mueve con una velocidad lineal de $1\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ y el otro, $B$, a $3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Los dos coches, separados una distancia de $2\,\text{m}$ (longitud de arco que los separa), arrancan en el mismo instante. ¿Cuánto tardarán en cruzarse? ¿En qué posición se producirá dicho cruce?

Voy a resolver el problema planteándolo en términos de magnitudes angulares. La velocidad angular de $A$ es $w_A=\dfrac{v_A}{r}=\dfrac{3}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, y la velocidad angular de $B$, $w_B=\dfrac{v_B}{r}=\dfrac{1}{4}\,\dfrac{\text{rad}}{\text{s}}$. Por otra parte, como la longitud de arco que los separa antes de que se pongan en movimiento es $s_0=2\,\text{m}$, la separación angular correspondiente es $\theta_0=\dfrac{s_0}{r}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\,\text{rad}$

Situemos el sistema de referencia, pongamos que en la posición de salidad de $A$, entonces la ecuación del movimiento de $A$ es $\theta_{A}(t)=\theta_{0}(A)+w_A\,t=0+\dfrac{1}{4}\,t=\dfrac{1}{4}\,t$, y la ecuación del movimiento de $B$, $\theta_{B}(t)=\theta_{0}(B)+w_B\,t=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t$.

En el cruce, deberá cumplirse que la suma de las posiciones angulares sea igual a una vuelta completa, esto es $2\,\pi\,\text{rad}$, por consiguiente, escribiremos: $\theta_{A}(t)+\theta_{B}(t)=2\,\pi$, ecuación que permite calcular el tiempo que pasa desde que salen hasta que se cruzan:
  $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
    $\dfrac{1}{4}\,t+\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\,t=2\,\pi$
      $t+\dfrac{1}{2}=2\,\pi$
        $t=2\,\pi-\dfrac{1}{2} \approx 4,8 \,\text{s}$

Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $A$, simplemente calcularemos $\theta_{A}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}\cdot (2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $A$ (basta multiplicar por el valor del radio del circuito) es igual a $(\dfrac{4\,\pi-1}{8})\cdot 4 \text{m} = \dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m}$.

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Nota 1: Comprobamos que $\left(\dfrac{4\,\pi-1}{8}\,\text{rad}\right)+\left(\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}\right)=\dfrac{16\,\pi}{8}=2\,\pi\,\text{rad}$, como debe ser.

Nota 2: Para calcular la posición angular del punto de cruce referida a la posición de salida de $B$, calcularemos $\theta_{B}(2\,\pi-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot ( 2\,\pi-\dfrac{1}{2} )=\dfrac{12\,\pi+1}{8}\,\text{rad}$, que expresada en longitud de arco como distancia al punto de partida de $B$ es $(\dfrac{12\,\pi+1}{8})\cdot 4 \,\text{m} = \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m}$

Nota 3: Comprobemos que la suma de las longitudes de arco correspondientes a las posiciones de cruce calculadas (con respecto a la posición de salida de $A$, y de la posición de salida de $B$) sea igual a la longitud de la circunferencia; en efecto: $\dfrac{4\,\pi-1}{2}\,\text{m} + \dfrac{12\,\pi+1}{2} \,\text{m} = \dfrac{16\,\pi}{2}\,\text{m}=8\,\pi\,\text{m}$, que es igual a la longitud de la circunferencia del circuito: $2\,\pi\,r=2\,\pi\cdot 4=8\,\pi\,\text{m}$.

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