Errores de medida. Cotas de error absoluto y relativo. Propagación de los errores de medida a través de sumas, restas, productos y cocientes.

Al tratar de obtener el valor exacto, $x$, de una magnitud, se efectúa una serie de medidas experimentales, que dan lugar a un valor aproximado de dicha magnitud -- por ejemplo, la media $\bar{x}$ de las mismas --, con una cota de error absoluto $\Delta x \ge 0$, pudiendo escribir: $x=\bar{x}\pm \Delta x$. Y denominamos cota de error relativo a $\delta x =\dfrac{\Delta x}{\left| \bar{x} \right| }$.

El error en las medidas se propaga a través de los cálculos que realizamos con ellas, de modo que para una suma, $s\approx \bar{x}+\bar{y}$, tenemos que $\Delta s \approx \Delta x + \Delta y$.

Para una diferencia, $d\approx \bar{x}-\bar{y}$, ocurre lo mismo: $\Delta d \approx \Delta x + \Delta y$; sin embargo, hay que tener en cuenta que si $x \approx y$, entondes $\delta d = \dfrac{\Delta d}{\left| \bar{x}-\bar{y}\right|}$ puede ser muy grande.

Para un producto, $p\approx \bar{x}\,\bar{y}$, se tiene $\Delta p \approx \bar{x}\, \Delta y + \bar{y}\,\Delta x$, y $\delta p \approx \delta x +\delta y$

Para un cociente, $q \approx \dfrac{\bar{x}}{\bar{y}}$, se tiene $\Delta q \approx \dfrac{\bar{x}}{\bar{y}} \left( \dfrac{\Delta x}{\bar{x}} + \dfrac{\Delta y}{\bar{y}}\right)$, y $\delta q \approx \delta x +\delta y$

$\square$

[nota del autor]

Funciones inyectivas, exhaustivas y biyectivas. ( Artículo escrito en catalán ).

Producte cartesià de dos conjunts:
Donats dos conjunts
$A=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$
i
$B=\{b_1,b_2,\ldots,b_m\}$
anomenem producte cartesià de $A$ per $B$ i es designa per $A \times B$ al conjunt $n\cdot m$ de parells ordenats
$A \times B= \{(a_i,b_j): i=1,2,3,\ldots,n \quad j=1,2,3,\ldots, m\}$

Relació binària:
Donats dos conjunts $A$ i $B$, i el seu producte cartesià $A \times B$, es defineix una relació binària $\mathcal{R}$ entre els conjunts $A$ i $B$ com un subconjunt $G$ de $A \times B$. Llavors, donat un parell ordenat $(x,y) \in G$, direm que $x$ està relacionat amb $y$ ( o que a $x$ li correspon $y$ ) i s'expressa $x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y $.

La representació gràfica del conjunt de parells ordenats $G=\{(x,y)| x \overset{\mathcal{R}}{\rightarrow} y \;,\; x\in A \; i \; y\in B\}$ s'anomena graf de la relació binària entre $A$ ( conjunt inicial o de partida ) i $B$ ( conjunt final o d'arribada ).

Donada, doncs, la relació binària $\mathcal{R}$, al conjunt d'elements $\{x: (x,.)\in G \subset A \times B \}$, és a dir, als elements de $A$ als quals els correspon algun element de $B$ per la relació binària $\mathcal{R}$ s'amena conjunt objecte ( o domini de $\mathcal{R}$ ) i al subconjunt de $B$ format pels elements que són imatge d'algun element del conjunt objecte ( és a dir el conjunt de les antiimatges ) s'anomena conjunt imatge.

Relacions funcionals (aplicacions):
Si a cada element del conjunt objecte li correspon $0$ o $1$ element del conjunt imatge direm que la relació binària $\mathcal{R}$ definida entre $A$ i $B$ és de tipus funcional ( o que $\mathcal{R}$ és una aplicació ). Tractant-se d'una aplicació ( o relació funcional ) el conjunt objecte s'anomena domini d'existència ( o camp d'existència ), i, al conjunt imatge recorregut.

Aplicacions entre conjunts numèrics (funcions numèriques):
En particular, si els conjunts d'inici i d'arribada ( i, per tant, el camp d'existència i el recorregut ) són conjunts numèrics, parlarem de funcions numèriques.

Exemples de relacions binàries que són aplicacions:
Exemple:   Una successió com ara la de terme general $f(n)=n+1$ és una aplicació definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ ) i, per tant, és una funció numèrica; el seu gràfic és un conjunt de punts aïllats i, per això, anomenem a aquest tipus de funcions ( com ara, les successions ), funcions discretes.

Exemple:   Una aplicació definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ ( $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ) , com ara, $f(x)=x+1$ és una funció numèrica ( el gràfic és una recta, i el seu gràfic és un traç continu).

Exemple:   Una relació binària definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ en $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com ara, $f(x)=\left|\sqrt{x}\right|$ ( valor absolut de l'arrel quadrada ) és una aplicació ( funció numèrica) ja que la presència de l'operació valor absolut evita que hi hagi dues imatges per a un mateix valor $x$ del domini d'existència, la qual cosa la invalidaria com aplicació.

Exemples de relacions binàries que no són aplicacions:
Exemple:   Una relació binària definida de $\mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ en $\mathbb{R}$
( $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ ), com ara, $f(x)=\sqrt{x}$ ( arrel quadrada ) no és una aplicació perquè és bivaluada ( a un mateix element del conjunt objecte li corresponen dues imatges: una positiva i l'altra negativa; per exemple, $\sqrt{4}=\pm 2$ ).

Tipus de funcions (aplicacions):
Una funció pot ser:
  aplicacions injectives
Una funció $f$ és injectiva si donats dos o més valors iguals del seu recorregut ( codomini ), llavors les seves antiimatges també són iguals.
  aplicacions exhaustives
Una funció $f$ és exhaustiva si per ta tot valor del seu recorregut ( o codomini ) existeix antitimatge.
  aplicacions bijectives
Una funció $f$ és bijectiva si és injectiva i exhaustiva.

Exemple de funció que és injectiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és injectiva perquè per a un valor donat del seu recorregut ( codomini ) $y_k$ exiteixen un únic valor com antiimatge: $x_{k}=y_{k}-1$ .


Exemple de funció que no és injectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $f(x)=x^2$ no és injectiva perquè per a un valor donat del seu recorregut ( codomini ) $y_k$ exiteixen dues antiimatges $+\left|\sqrt{y_k}\right|$   i   $-\left|\sqrt{y_k}\right|$; per exemple, donat $y_{k}=4$, trobem dues antiimatges diferents: $x_{k_1}=-2$ i $x_{k_2}=2$.

Exemple de funció que és exhaustiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és injectiva perquè per a qualsevol parell de valors iguals del seu recorregut ( $y_1 = y_2$ ), llavors les respectives antiimatges ( $x_1=y_1-1$   i &   $x_2=y_2-1$ ) també són iguals.

Exemple de funció que no és exhaustiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ de finida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és exhaustiva perquè tots els valors negatius del seu recorregut ( que és, segons la definició, $\mathbb{R}$ ), no tenen antiimatge; per exemple, $y=-1$ no té antiimatge perquè $\sqrt{-1}$ no és un nombre real.   Nota: Evidentment, si es redefineix el recorregut ( o codomini ) de la forma $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ sí que és exhaustiva.

Exemple de funció que és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x+1$ és bijectiva perquè és injectiva i exhaustiva.

Exemple de funció que no és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és bijectiva, atès que no és exhaustiva ni injectiva.

Exemple de funció que no és bijectiva:
La funció $f:\mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\}$ definida de la forma $y \equiv f(x)=x^2$ no és bijectiva perquè, malgrat sí que és exhaustiva en haver redefinit el recorregut (vegeu un exemple anterior), no és injectiva.

[nota del autor]

Los primos de Marsenne. ( Artículo escrito en catalán )

A la pàgina web del projecte Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) es pot llegir en un rètol de capçalera
            $2^p-1$ may be prime
que resumeix l'objectiu del projecte: trobar nombres primers de Marsenne com més grans millor. Aquest projecte és obert a la col·laboració de tothom, tan a la dels matemàtics professionals com a la dels matemàtics aficionats i persones que vulguin participar. Hom pot fer ús d'aquest programa que permet fer els càlculs. Hi ha, a més, premis monetaris per a qui trobi nous nombres de Marsenne primers.

El nombres naturals de Marsenne són nombres del tipus $2^n-1$ on ( $n$ és un nombre natural ); d'aquests, alguns són primers. S'ha demostrat que els nombres naturals de Marsenne $M_n$ només poden ser primers si $n$ ( l'exponent de la potència de base $2$ de l'expressió ) és un nombre primer. Per això, per designar els nombres de Marsenne primers s'escriu $2^p-1$. És important, però, aclarir que pas no tots els nombres de Marsenne del tipus $2^p-1$ ( on $p$ és primer ) són primers. És a dir, no tots els nombres construïts de la forma $2^p-1$ ( on $p$ és primer ) són nombres de Marsenne primers. Vet aquí la dificultat de trobar nombres de Marsenne primers cada vegada més grans.

Fa pocs dies (25/01/2013) que s'ha aconseguit un nou rècord: un nombre primer de $17\,425\,170$ xifres; és el 48è nombre de Marsenne primer, que es designa $M_{48}$. L'ha trobat el matemàtic Curtis Cooper . Podeu veure les xifres d'aquest nombre primer tan gran aquí. Ja sabeu que els nombres primers són molt important en teoria de nombres. Per altra banda, obtenir nombres primers tan grans com sigui possible és també molt important per raons pràctiques, per exemple, per poder garantir la seguretat dels sistemes criptogràfics actuals.

[nota del autor]

La función parte entera de un número real usando MAXIMA. ( Artículo escrito en catalán )

La funció part entera d'un nombre real
$[x]:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}$
dóna el nombre enter més petit i més proper a $x$

Exemples:
$[3'7]=3$
$[-1'1]=-2$
$[-1'9]=-2$
$[0'1]=0$
$[0'6]=0$

Cal fer servir la funció floor en la major part del programari matemàtic, com ara MAXIMA.

També es pot fer servir la instrucció entier (hom recorda millor la seva sintaxi); per exemple, fent:
        (%i1) entier(-2.1);
MAXIMA respon:
        (%io1) -3

[nota del autor]

Extracción de común denominador en una suma de fracciones algebraicas ( ejemplos de uso de MAXIMA ). (Artículo escrito en catalán )

Exemple 1
Extracció de denominador comú:

Considerem la suma de raccions algèbriques
$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x^2-1}$

Si volem expressar-la com una sola fracció farem
        (%i1) ratsimp(1/(x+1)+1/(x^2-1));

i MAXIMA respon

        (%o1) ${{x} \over{x^2-1} }$

Exemple 2
Desenvolupant una expressió trigonomètrica:

Considerem la raó suma de dos angles
$\sin{(x+y)}$

Si volem desenvolupar-la (obtindrem l'expressió de la identitat coneguda) farem
        (%i2) trigexpand(sin(x+y);

i MAXIMA respon

        (%o2) $\cos x\,\sin y+\sin x\,\cos y$

I, viceversa, si volem compactar l'expressió, escriurem
        (%i3) trigreduce(%o2);

i obtindrem

        (%o3) $\cos{(x+y)}$

[nota del autor]

Resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales con MAXIMA. ( Artículo escrito en catalán ).

MAXIMA permet trobar la solució d'equacions logarítmiques i exponencials fent ús de la instrucció solve, tal i com ja fèiem amb les equacions algebraiques. Ara que esteu estudiant les equacions transcendents, és interessant que en feu ús, per exemple, per comprovar si el resultat que heu obtingut amb llapis i paper és correcte. A continuació us mostro uns quants exemples.

Exemple 1:

Volem resoldre l'equació $\ln{(2+x)}=3$ fent ús de MAXIMA:
Teclegem:
          (%i1) solve(log(2+x)=3,x);
I MAXIMA respon:
          (%o1) [x=%e^3-2]
és a dir,
$x=e^3-2$

Exemple 2:

Equació $2^x=5$
Teclegem:
          (%i2) solve(2^x=5,x);
I MAXIMA respon:
          (%o2)
                    $\left[ x={{\log 5}\over{\log 2}} \right]$
és a dir,
$x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$
Recordem que per visualitzar l'expressió decimal aproximada (amb la precisió estàdard de 16 x.s.) caldrà fer ús de la instrucció
          (%i3) %o2,numer;
i obtindrem
          (%o3) 2.321928094887362

Exemple 3:

Equació $7^{x^2+1}=1$
Teclegem:
          (%i4) solve(7^(x^2+1)=1,x);
I MAXIMA respon:
          (%o4) $\left[ x=-i , x=i \right]$
és a dir,
$x=\pm \, i \in \mathbb{C}$
Com es pot observar, en aquest cas, trobem la solució
en el conjunt dels nombres complexos.
$\square$

[nota del autor]

Polinomios. Raíces de un polinomio. ( Artículo escrito en catalán ).

Exemple       Considerem el polinomi A(x) = 2x⁶-5x⁴+4x²-1, esbrineu si -1 és una arrel del polinomi.

Primer de tot, cal recordar que una arrel (o zero) d'un polinomi (de variable x) és tot valor de la variable que anul·la el polinomi, és a dir, quan substituïm en l'expressió del polinomi el símbol "x" pel valor considerat, el resultat és igual a zero. Ara, però, us demano que esbrineu si el nombre proposat és una arrel, sense fer, però, el que és més natural (la substitució) sinó que ho feu fent ús del teorema del residu. [Comentari. No penseu pas que això és un caprici, ben al contrari, quan es tracta de cercar arrels dins d'un conjunt de possibles nombres racionals, el que ara veureu és força eficaç, perquè quan trobem una arrel, també determinarem els coeficients del polinomi quocient, el qual, a la vegada, es pot intentar factoritzar, i així, successivament, fins arribar a un polinomi primer ]. Per això, caldrà fer la divisió, la qual es pot fer fent ús de l'algorisme general de la divisió o bé fent servir l'algorisme de Ruffini, que és vàlid per aquest tipus de divisions (el divisor és un polinomi de grau u del tipus "x-a"). Vegeu el resultat de la divisió a sota:     | 2 0 -5 0 4 0 -1 -1 | -2 2 3 -3 -1 1 -------------------------------------     | 2 -2 -3 3 1 -1 0 Observem que el reste de la divisió és igual a zero, per tant, aquest és el valor del polinomi A(x=-1) i, doncs, x=-1 és una arrel de A(x). Comentari. Per altra banda, i posant en pràctica el que s'ha dit en el primer comentari, com que ja s'ha fet la divisió, coneixem també els coeficients del polinomi quocient, per tant, podem aprofitar per fer un primer pas de factorització del polinomi donat:             2x6-5x4+4x2-1 =(2x5-2x4-3x3+3x2+x-1)(x-(-1))