Cotas de error en las operaciones aritméticas básicas

Donada una suma $a+b$ o bé $a-b$, la fita d'error absolut del resultat $\Delta$ és igual a la suma de les fites d'error dels sumands $\Delta_{a}+\Delta_{b}$ Donat un producte $a \cdot b$ o bé un quocient $a / b$ , la fita d'error re del relatiu del resultat $\Delta$ és igual a la suma de les fites d'error relatiu dels sumands $\delta_{a}+\delta_{b}$ ( cal recordar que $\delta_{x} = \dfrac{\Delta_{x}}{x}$ ). Cal tenir en compte que els errors (absolut i relatiu) són quantitats positives, per tant, les seves fites també. Exemple: Considerem, per exemple, dues quantitats afectades d'error: $a=3,4 \pm 0,1$, amb dues xifres significatives (x.s.) i una xifra decimal significativa (1 x.d.s.), i $b=71,2 \pm 0,3$, amb 3 x.s. i 1 x.d.s. Ens proposem calcular el valor de la suma i del producte, juntament amb les fites d'error absolut dels resultats. Suma: La suma $a+b$ d'ambdues quantitats és igual a $\mathbf{74,6} \pm 0,4$ ja que $\Delta_{a}=0,1$ i $\Delta_{b}=0,3$. És a dir, podem descriure la incertesa del resultat mitjançant l'interval $74,2 < a+b < 75,0$ Una manera senzilla de comprovar que aquesta fitació és correcta consisteix a calcular el valor de la suma prenent els valors dels sumands per defecte ($(71,2-0,3) + (3,4-0,1) \approx \mathbf{74,2} $) i per excés ($(71,2+0,3) \cdot (3,4+0,1) \approx \mathbf{75,0} $). Producte: Pel que fa al producte $a \cdot b = 3,4 \cdot 71,2 \approx \mathbf{24}0 $ (cal aproximar a dues xifres significatives, perquè la data menys precisa, $3,4$ en té dues), li correspon una fita d'error absolut que calcularem tot seguit. Tractant-se d'una operació producte, tal i com hem dit a dalt, es compleix que la seva fita d'error relatiu ha de ser igual a la suma de les fites d'error relatiu dels factors: $\dfrac{0,1}{3,4} < 0,03$ i $\dfrac{0,3}{71,2} < 0,01$, per tant $\delta_{a}=0,03$ i $\delta_{b}=0,01$. Llavors; $\delta_{a \cdot b} = 0,03+0,01 = 0,04$ i, d'aquí, $\Delta_{a \cdot b} = 0,04 \cdot \mathbf{24}0 < 10$ Finalment, podem escriure el resultat del producte de la forma $a \cdot b = \mathbf{24}0 \pm 10$ Tal com hem fet adés amb el resultat de la suma, una manera elemental de comprovar la correcció d'aquest resultat consisteix a calcular el valor del producte prenent els valors dels factors per defecte ($(71,2-0,3) \cdot (3,4-0,1) \approx \mathbf{23}0 $) i per excés ($(71,2+0,3) \cdot (3,4+0,1) \approx \mathbf{25}0 $). I, efectivament, trobem $\mathbf{23}0 < a \cdot b < \mathbf{25}0$, tal i com esperàvem.